Материал из eSyr's wiki.

Предыдущая лекция | Следующая лекция

[править] Параграф 4.

[править] Пункт 1.

[править] Свойства

3. Пусть ф-ции f1 и f2 интегрируемы по Лебегу на множестве Е. Тогда их сумма тоже интегрируема по Леюегу. Вытекает это из того, что s_t^1 + s_t^2 ≤ s_t ≤ s_T ≤ ≤ s_T^1 + s_T^2.

4. Если ф-ция интегрируема на E1 и E2, то она интегрируема на их объединении.

5. Пусть две огр. интегр. ф-ции связапны отношением f1(x) ≥ f_2(x), тогда их интегралы на E связаны тем же отношением. Это так, так как их разность всегда положительно, следовательно интеграл разности строго положителен.

Эти свойства можно заменять на почти всюду выфполнимые.

[править] Пункт 2. Интеграл Лебега от неогр. неотр. изм. ф-ции на изм. множестве конечной меры

Пусть f(x) неотрицательна, измеримая, вообще говоря, неограниченная. Для положительного N введём срез функции: f_N(x) = f(x), f(x) ≤ N; N, f(x) > N. Эта функция измерима: E[f_N > a] = E[f > a], a < N; ∅, a≥ N.

Если существует предел I_N = &integral;_E f_N(x)dx при N, стремящемся к беск., то предел I есть интеграл f(x). Кстати, I_N монотонна. И вопрос в том, равен ли предел бесконечности или это огр. величина.

Суммир. функция моджет принимать беск. значение только на мн-ве меры 0.

• E_0 = E[f(x) = ∞]
• I_N = &integral;_E f_N(x)dx ≥ &integral_E_0 f_N(x)dx ≥ N[E_0]

Из определения вытекает, что свойства 2—5 справедливы и для суммир. функций.

Теорема 3 (Полная аддитивность интеграла Лебега). Пусть множество E конечной меры представимо в виде объединения измеримых попарно непересекающихся множеств:

• |E| < +∞, E = ∪_k=1^∞ E_k, E_i ∩ E_j

Тогда:

• Если f(x) суммируема на E, то она суммируема на каждом E_k и справедливо равенство
  • &integral;_E f(x) = ∑_k=1^∞ &integral;_E_k f(x)dx (*)
• Если f(x) суммируема на E_k, и ряд сходится, то f(x) суммируемо на E и справедливо равенство (*)

Остаток R_n = ∪_k=n+1^∞ E_k. |R_n| → 0 в силу сигма-аддитивности меры: |R_n| = &Sum_k=n+1^∞|E_k|. Пусть 0 ≤ f(x) ≤ M, тогда 8 ≤ &integral;_E f(x) dx = ∑_k=1^n &integral;_E_k f(x) dx ≤ M|R_n| → 0, отсюда всё следует.

Пусть f(x) неогр. Тогда &integral;_E_k fdx ≤ &integral;_E fdx.

• &integral;_E f_N(x)dx = ∑_k=1^n &integral;_E_k f_N(x) dx ≤ ∑_k=1^n &integral;_E_k f(x) dx (**)

Это верно для любых N. утремим N к беск.:

• &integral;_E f(x)dx ≤ ∑_k=1^n &integral;_E_k f(x) dx

Осталось доказать сходимость суммы справа.

• &integral;_E f_N(x) dx ?пуж ∑_k=1^n &integral;_E_k f_N(x) dx
• N → ∞ &integral;_E f(x) dx < ∑_k=1^n &integral;_E_k f(x) dx

Отсюда всё получим. В чатности, (*). чтд

Теорема 4 (Абсолютная непрерывность интеграла Лебега). Пусть f(x) измеримая неотрицательная суммируемая на E функция. Тогда для ∀ε > 0 найдётся δ > 0 такое, что для любого измеримого подмножества e_δ ∈ E, |e_δ| < δ → &integral;_e_δ f(x)dx < ε

Докахательство. Из опр. суммируемости следует, что существует такое N, что &integral;(f(x) − f_N(x))dx < &espilon;/2. Тогда:

• &integral_e_δ f(x)dx = &integral_e_δ (f(x) − f_N(x))dx + &integral_e_δ f_N(x)dx ≤ &integral_e_δ (f(x) − f_N(x))dx + N|e_δ| ?деж ε/2 + N|e_δ| < ε

δ < ε/2N