Функциональный Анализ, теормин

Материал из eSyr's wiki.

[править] Открытые и замкнутые множества на прямой. Канторово множество и его свойства

Рассматриваются всевозможные множества на R. Определяются объединение, пересечение, дополнение, разность
x₀ ∈ R — предельная для E, если в любой окрестности этой точки есть точки, принадлежащие Е
Множество предельных точек E — производное множество E'
E ⊂ E' — E — плотное в себе
E' ⊂ E E замкнуто
E = E' — E совершенно
x₀ — внутренняя точка E, если существует её окрестность, которая вместе с самой точкой полностью принадлежит E
int E — внутренность E — множество внутренних точек E
int E = E — Е открыто
Пересечение конечного числа открытых множеств — открыто.
Пересечение бесконечного числа открытых множеств может не быть открытым
Если множество E – замкнуто, то его дополнение CE – открыто
Если множество E – открыто, то его дополнение CE – замкнуто
Объединение любого числа открытых множеств – открыто
Пересечение любого числа замкнутых множеств – замкнуто
Любое открытое множество E на прямой является объединением конечного или счётного числа попарно непересекающихся интервалов
Любое замкнутое множество на прямой получается удалением из R конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов
Любое совершенное множество на прямой получается удалением из R конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов, которые не имеют общих концов друг с другом
Канторово множество — совершенное множество меры 0 и мощности континуум, строится из [0; 1] выкидыванием средней трети и повтореня этого процесса для бесконечности для получающихся отрезков