ОКФиКВ, 01 лекция (от 13 февраля)

Материал из eSyr's wiki.

[править] Курс квантовой механики

Введение в квантовую механику, специфическое, такого курса мы не найдём. Это квантовая механика под углом зрения теории информации. Это очень простая квантовая механика, она позволит выработать квантовую интуицию, позволит понять принцип действия квантового компьютера.

Квантовая механика — наука о микрообъектах — .... и элементарных частицах.

Начала развиваться в начале прошлого века, в формулы Планка, которая определяет критерии, надо ли описывать объект классически или квантовым образом. Давайте этот критерий введём сразу.

Зачем студенты ВМК изучать КМ? Ответ на этот вопрос лектор даст чуть позже. Этот ответ утвердительный, он покажет, что КМ нужно изучить студенту ВМК.

Поскольку у нас есть объект изучеия, микрообъект, то нужны криетрии, которые позволяют его отличить. Пусть у нас есть микрообъект. Этот микрообъект локализован в пространстве $Δ x$ и имеет импульс $p = m v$ . Определим произведение $p\times\Delta x$ — действие. Как мы видим, размерность этой величины — Дж × с. И в 1908(?) году была Планком введена величина $\hbar$ (h с чертой), постоянная Планка, которая равна 10^-27 эрг × с. Если действие сравнимо с постоянной Планка $p\times\Delta x \le \hbar$ , то этот объект — микрообъект, и его надо описывать законами микромира.

Пример с вращением электрона вокруг ядра

Давайте возьмём пример: электрон вразается вокруг ядра, величина его локализации — 10^-8 см, скорость его порядка 10⁸ см/с, масса порядка 10^-27 г, и если перемножим $p\times\Delta x \approx 10^{-27}$ — порядка $\hbar$ .

Рассмотрим другой пример: v ~ 1, m ~ 1, Δx ~ 1, действие — порядка 1 эрг/с

Между объекта макро- и микромира существует колоссальная разница, и эта разница есть постоянная Планка.

Квантовая механика — очень простая наука, математический аппарат квантовой механики очень прост. Тем не менее, сами создатели квантовой механики говорят, что квантовую механику никто не понимает. Фейман говорил, что не понимает, Бор говрил, что квантовую механику не понимает тот, кто не испытывает шока. Основная трудность — в интерпретации результатов, получаемых с использованием имеющегося математического аппарата. Математический аппарат создан в 1920 годах и существует 100 лет, не только подтверждая, но и предсказывая явления, и одно из щупалец квантовой механики протянулось в область информатики с возможным апофеозом в виде создания квантового компьютера. Математический аппарат работает, созданы технологии, работают, но с интерпретацией проблемы постоянные, постоянные попытки дать интерпретацию отличную от Гейзендбергской интерпретации, мы с ней столкнёмся, она дает реалистическую, необъективную теорию мира. Такие альтернативы существуют, теории скрытых параметров, многих миров, мы могли видеть толстую книжку Дойча, который создал один из первыйх эффективных алогоритмов для квантового компьютера, он также был философом, и он описывал теорию многих миров.

Как сказал лектор, будем рассматривать квантовую механику в приложении к теории информации, которая была создана всего несколько десятков лет назад. И сейчас будет нарисована схема того, какую структуру квантовая механика имеет:

[править] История

1900 — зарождение
1920—1930 — развитие
1940. Изобретение полупроводникового транзистора. Это классический прибор, работающий по законам квантовой механики. Не было бы квантового мира, не было бы его. Транзистор — классический бит. Начиная с 1950-х годов и по настоящее время полупроводниковый транзистор используется в качестве бита, только физический размер уменьшается.
1960. Лазер. Играет выдающуюся роль в передаче информации: световоды, фотоны как кубиты.
2000 (можно 5 лет отнять). Квантовая информация
? год. Полномасштабный квантовый компьютер. Компьютер, регистр которого основан на квантовых битах, кубитах. Что это такое и как его описывать, познакомимся в курсе.

По оси у справа — число атомов, которым реализуется число бит, по х — календарное время

Этот закон показывает, что в районе 2020—2030 года мы получим транзистор, реализуемый 1 атомом. Конечно, когда входишь в новую область, в область квантовой механики, то неизвестно дальнейшее поведение этой прямой. Тем не менее, мир движется к реализации транзистора одним атомом, а атом работает по законам квантовой механики, следовательно, это будет кубит, и законы у него совершенно другие.

Для того, чтобы понять, как работаю квантовые приборы, регистры, как решаются простейшие задачи, оценить сложность более реалистических задач (задачи быстрой факторизации), чтобы всё это понимать, необходимо выработать квантовую интуицию и понимать это.

Зачем студенту ВМК понимать квантовую механику? Формально мы изучаем физику и это завершающий курс. И всё же каждый культурный человек, тем паче студент ВМК должен знать не в объёме, соответстующем научно-популярное литературе, а глубже, понимать, что творится в этом мире.

Итак, мы закончили введение, теперь приступим к самому курсу, тем не менее, не можем сразу приступить к квантовой механике, необходимо повторить ретроспективно классическую физику, частицы и волны — этот пункт необходимо ретроспективно обозреть.

[править] Повторение классической физики

Теоретически изучение сводится к введению модели, и далее изучается математическая модель. И если мы проанализируем, какие модели в классической физике, то обнаружим, что есть всего лишь две модели: модель частици и модель волны. В этих терминах объясняется весь классический мир. Из частиц собираются тела, тела могут быть заряжены, при движ испускаются волны, и так далее. Между частицами и полями есть постоянное взаимодействие, и этим взаимодействием объясняется окружающий мир.

Траектория частицы

Почему так? Начнём с того, что такое частица. Частица — сущность, задаваемая своей траекторией $r (t) = x (t), y (t), z (t)$ , то есть она локализована. В противоположность, волна делокализована (например, волна на воде). Простейшее описание волны (простейшее волновое поле): $Ψ(x, t) = A sin(ω t - k x)$ — простейшая монохроматическая плоская волна. Почему плоская — все частицы в определённых плоскостях имеют одну фазу. $k$ — волновое число, связано с длиной волны $λ$ , $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ . В квантовой механике $k$ играет самостоятельную определённую роль. В квантовой механике возникает задача, в самом начале 20-го века, когда эксперимент продвинулся в область микромира, экспериментаторами в разных областях были получены результаты, которые не моглы быть описаны классической физикой. И они не оставили попытки описания. Первым описал это Планк. Эксперимент заставил физиков сменить, как говорят философы, парадигму — набор постулатов в отношении микрочастиц. Вместо того, чтобы рассматривать их как частицы, их начали рассматривать как волны. Это звучит странно, но тем не менее эксперименты заставили экспериментаторов сделать это.

Картина дифракции рентгеновских лучей на кристалле

Прозрачка: вверху это картина дифракции рентгеновских лучей на кристалле (в соли). Рентгеновское излучение имеет длину волны порядка расстояния между атомами. Волны рассеиваются и накладываются. Это так называемая лаограмма(?), которая могла восстановить структуру кристалла и многое другое. Этот факт был известен со времён Рентгена. Что внизу — картина та же самая по сути, но тут излучался пучок электронов. Один вид картинки заставляет нас сказать, что электрон должен носить волновые свойства.

Картина дифракции рентгеновских лучей на поликристалле

Ещё прозрачка: это поликристалл (много маленьких кристаллов, повёрнутых под разными углами случайным образом: переход от кристалла к аморфным телам происходит через них, в аморфных телах они очень маленькие). Картины совершенно идентичные от рентгеновских лучей и электронов.

Лектор предупреждает, что мы вынуждены работать без перерыва.

Перейдём к следующему очень важному пункту: начинаем под давлением эксперимента строить квантовую механику, а квантовая механика строилась введением постулатов. Если посмотреть на любую науку, то она начинается с постулатов, и всё просто и понятно, пока не дойдём до постулатов и не зададимся вопросом, откуда они взялись. Мы вводим постулаты, которые позвоялют объяснить экспериментальные данные и далее начинаем вводить матаппарат.

Упрощенная схема опытов Дж. Томсона по дифракции электронов. K – накаливаемый катод, A – анод, Ф – фольга из золота.

Следующий пункт — дифракция (рассеивание) электронов. Есть какая-то неоднородность в кристалле. Падает излучение, каждый атом рассеивает (лучи дифрагируют на решётке), и потом интерференционную картину анализируют. Так вот. Дифракция частиц на кристаллах изучалась впервые Дэвиссоном и Джерменом — двумя молодыми американцами, которые сделали такой эксперимент: направили пучок электронов на кристалл никеля. Принципиальная схема: это очень простой эксперимент.

Катод — кусок металла который нагревается, на который подаётся напряжение, ставится экран, дальше ставится анод — металлическая пластина, на неё поадётся положительное напр, и разность потенциалов равна U. Тогда мы получаем монохроматический пучок электронов. Все электроны имеют одну и ту же энергию, потому что тепловая энергия очень мала, и из закона сохранения $eU = \frac{mv^2}{2}$ получаем, что все электроны вылетают со скоростью $v = \sqrt{\frac{2eU}{m}}$ , $p = mv = \sqrt{2meU}$ , такая простая схема позволяет привести электроны в одно сост. В КМ пропадает понятие скорости, она заменяется импульсом.

Этим занимались Д-Ж, и что они получили: ту картину, которую показывали.

Дифракция электрона на двух щелях

Добавим себе немного математики, посмотрим, как эта картина получается: рассмотрим самую простую модель: есть непр. экран, падает непр. волна, два отверстия в экране (дифракция на двух щелях) --- очень простая матмодель.

От первого отверстия бежит волна под углом $Θ$ $e - i (ω t - k x)$ , вторая волна $e - i (ω t - k (x + Δ))$ , и эти вде волны образуют поле $Ψ; = Ψ 1 + Ψ 2$ . Если взять фотпластинку, то получим $| Ψ 2 |$ --- энергию. В результате получим $|\Psi_1 + \Psi_2|^2 = |A|^2 \times |e^{ikx} + e^{ik(x + \Delta)}|^2$ , $4|A|^2\cos^2(ka\sin\frac{\Theta}{2})$ , $Δ = a sinΘ$

Аналогично в решётке:

Эти эксперименты были известны до Д-Ж, и были давно проведены в оптике.

Много позже, в наше вемя, повторили этот эксперимент на щелях, меняя пучок электронов. Далее, можно менять напряжение, и тогда будет меняться угол, и Д-Ж это проверили. Но чтобы это проверить, нужно иметь волну, в оптике она известна, а какую использовать для электронов? Они использовали волну де Бройля, он высказал гипотезу, что с каждым электроном связана волна (плоская в простейш случае) $Ψ = A e i (k x - ω t)$ , $p = \hbar k$ , $\hbar\omega = \frac{p^2}{2m}$ , и тогда Д-Ж могли подставить эту формулу, и тогда меняя напряжение, можно подсказать положение максимума и экспериментально подтвердить гипотезу.

Что самое главное, подтверждались не только числа, он и зависимости, и тогда у физиков ничего не оставалось, кроме как принять две гипотезы:

электорн --- волна
если электрон имеет импульс $p$ , то он задаётся волной де Бройля.

Планк первым ввёл константу, дальше шло развитие КМ вглубь и вширь, и каждая новая зависимость содержала эту константу.

КМ вводилась под давлением экспериментов, которые делались молодыми учёными, зачастую невежественными. Гейзенберг когда вводил матричную КМ, не знал, что такое матрица.

Тогда встаёт вопрос: какой физический смысл этой волны? Достаточно долгое время ответ на этот вопрос отсутствовал, наконец, Бор дал ответ, опять же, под давлением эксперимента, приходим к этой статичстической интерпретации.

А что, елси один электрон пустим? Это был умозрительный эксперимент до недавнего времени. Пустили один электрон, дифракция на двух щелях (прозрачка). Казалось бы, что будет слабая интерференция. На самом деле см. профр. Получаем вероятностную интерпретацию. Ничего не остаётся, как принять следующее: квадрат модуля волн. функции --- вероятность нахождения электрона в данной точке.

$dP(y) = \frac{dN(y)dy}{N}$

Тогда коэф. пропорциональности есть плотность вероятности dN(y)/N

Если записать $Ψ(r, t)$ , то $| Ψ(r, t) | 2$ --- вероятность того, что электрон будет находится в $t$ в $r$

Первый постулат квантовой механики. Любой микрообъект полностью характеризуется заданием функции $Ψ(r, t)$ .

Дополнение: волновая функция имеет статистический смысл. Плотность вероятности того, что объект будет обноружен в заданное время в заданном месте.

Что осталось за кадром: почему точка, если есть поле дифракции, то есть это уже поле, а почему точка-то получается? Здесь мы сталкиваемся с основной проблемй превращения функции, котрая содержит фантастическую информацию, при измерении в точку --- коллапс информационного поля волновой функции --- основная проблема алгоритмов КК. Эта информация создаёт несравненный с классическим объём информации, но при измерении получаем всего один бит (по ср. с кубитом). При квантовых выч. получим ту же картину.

Основы квантовой физики и квантовых вычислений

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12