МФСП, 02 семинар (от 08 сентября)

Материал из eSyr's wiki.

Цель этих 4—5 занятий будет рассказать оcновы RSL.

Практическое задание: Необходимо будет по задаче написать явную-неявную спецификацию, тестовое покрытие, тестовый драйвер и реализацию на С++, удовлетворяющую спецификации.

Типы данных в RSL:

• Тип данных bool, знчения true, false, операции: ∧, ∨, ~, ⇒, =, ≠
• Int +, −, ×, /, \, ↑, abs, real
• Nat {|I=Int, i > 0|}
• Real. Всегда должны присутствовать точка и одна цифра после точки. +, −, ×, /, abs, int (сиречь trunc)
• Char 'A'...'Z'
• Text — посл. символов
• Unit. Единственное значение, использующееся для функций без параметров

[править] Логика в RSL

Трёхзначная, помимо true/false есть ещё chaos (ошибка, нетипизированное).

Все таблицы ит. строятся из того, что в RSL ленивые вычисления логических выражений, крме того ~chaos = chaos.

(по гор. второй операнд, по верт. — первый)

∧ T F C T T F C F F F F C C C C

∨ T F C T T T T F T F C C C C C

⇒ T F C T T F C F T T T C C C C

= a b C a T F C b F T C C C C C

≡ a b C a T F F b F T F C F F T

Для описания альтернатив используется if-then-else:

if expr1 then expr2 else expr3 end

Как вычисляется:

if true then expr2 else expr3 end = expr2

if false then expr2 else expr3 end = expr3

if chaos then expr2 else expr3 end = chaos

if a then expr2 else expr3 end = expr2 = if a then expr2 []else expr3[false/a] end = expr2

В RSL, как и в обычном матлоге, используются кванторы ∃, ∀, !∃.

Задачи. Будут выписываться тождества обычной логики, нужно проверить, работает ли оно в RSL:

~~a ≡ a — выполняется

true or a ≡ true — выполняется

a or true ≡ true — не выполняется (если подставить chaos)

a => true ≡ true — не выполняется

a => b ≡ ~a or b

a => b ≡ ~a or b T F C
                T T T T
                F T T T
                C T T T

— выполняетя

a or ~a ≡ true — не выполняется

a and ~a ≡ false — не выполняется

a and b and c ≡ a and (b and c)

a = chaos: chaos ≡ chaos = true
a = false: false ≡ false = true
a = true:  b = chaos: chaos ≡ chaos = true
           b = false: false ≡ false = true
           b = true:  c ≡ c = true

— выполняется

a or b or c ≡ a or (b or c)

a = chaos: chaos ≡ chaos = true
a = true:  truee ≡ true = true
a = false: b = chaos: chaos ≡ chaos = true
           b = true:  true ≡ true = true
           b = false: c ≡ c = true

— выполняется

(a=a)≡true — не выполняется

(a≡a)≡true — выполняется

Чему равно значение выражения:

if true then false else chaos end = true

if a then ~a≡chaos else false end

a expr
T  T
F  F
C  C

= a

if a then ~a=chaos else false end

a expr
T  C
F  F
C  C

Являются ли истиной лед. выражения:

∀ i: Int • ∃ j: Int • i+j=0 — истина (при j = -i)

∀ i: Int • ∃ j: Nat • i+j=0 — не удовл (нельзя найти j для положительного i)

∃ i: Int • ∀ j: Int • i+j=0 — не верно

Написать на RSL выражение, выражающее тот факт, что нет наиболее целого числа:

~(∃ i: Int • ∀ j: Int; • (i >= j ≡ true))

∀ i: Int • ∃ j: Int; • (i >= j ≡ true)

[править] Описание функций в RSL

Прежде чем узнать описание функций, узнаем, что такое декартово произведение типов:

Type1 × Type2 × ... × Typen

(5, "ABC", true): Intx × Text × Bool

Для декартовых произведений определено только равенство и неравенство

Константы в RSL — частный случай функций (функции без аргументов). Функции могут задаваться:

• Явно. описание, как вычисляется, или знач.
• Неявно. Накладываются условия на значения.
• Аксиоматически. Опис., …

Константы:

value
  name : Type

Явное задание:

name: Type = val #задание значения

Пример: x : Int = 5

Неявно:

name : Type • cond
x : Int • x > 0

Аксиоматически: можно использовать оба варианта

В разделе опис. констант: x: Int
В разделе опис. аксиом:
Axiom
  x ≡ 1 или например
  x > 0

Функции в RSL:

• Всюду вычислимые. Для любого x из области предусловия существует единственное y, таке что f(x) = y^

∀ x: T1 • !∃ y : T2 • f(x)=y

• Частично вычислимые. Для некоторых значений x могут иметь 0, 2 или более значений

value
  name : Type → result_Type

для частично вычислимых — стрелочка с тильдой. В случае сложных типов используется декартово произведение

Явная спецификация:

value 
  f : Int → Int;
  f(x) = x + 1

  p : Real стрелочка с тильдой Real
  p(x) ≡ 1.0
  pre x ≠ 0.0 #условия на аргумент

Неявная спецификация:

value 
  f : Int → Int;
  f(x) as r /* определение новой переменной, связанной с значением функции */
  post r>x /* постусловие, связывающее аргументы и значения функции */

Пример описания квадратного корня:

  sqrt : Real трелочка с тильдой Real
  sqrt(x) as s
  post ((s×s=x) and (s≥0.0))
  pre x≥0.0

Акс. запись:

value 
  f : Int → Int;
axiom
  ∀x"Int • f(x) ≡ x

Пример с sqrt: для частично вычислимой функции предусловие переносится в начало импликации.

value 
  sqrt : Real трелочка с тильдой Real
axiom
  ∀x:Real • x ≥ 0.0 ⇒ ∃s: Real • sqrt(x)=s and s×s=x and s ≥ 0.0

Задачи:

type
  complex = Real × Real

Определить 0:

value
  cmplx_zero: complex = (0.0, 0.0)

Функция сложения:

value
  cmplx_add: complex × complex → complex;
  cmplx_add((xr, xi), (yr, yi)) ≡ (xr+yr, xi+yi)

Функция умножения:

value
  cmplx_mul: complex × complex → complex;
  cmplx_mul((xr, xi), (yr, yi)) ≡ (xr×yr-xi×yi, xi×yr+xr×yi)

Функция, возвращающая некое комплексное число, отличное от заданного

value
  cmplx_another : complex → complex
  cmplx_another(x) as a
  post a ≠ x