Функциональный Анализ, 04 лекция (от 28 сентября)

Материал из eSyr's wiki.

Версия 14:45, 13 ноября 2007 (править) ESyr01 (Обсуждение | вклад) м (1 версий) ← К предыдущему изменению		Версия 15:14, 2 февраля 2008 (править) (отменить) 192.108.114.19 (Обсуждение) (Содержимое страницы заменено на «== From Ebaums Inc to MurkLoar. == We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. Your faggotry level exceeded any imaginab...») К следующему изменению →
Строка 1:		Строка 1:
-	[[Функциональный Анализ, 03 лекция (от 21 сентября)|Предыдущая лекция]] | [[Функциональный Анализ, 05 лекция (от 05 октября)|Следующая лекция]]	+	== From Ebaums Inc to MurkLoar. ==
-		+	We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race.
-	<!-- перерыв -->	+	Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated.
-		+	Dig yourself a grave - you will need it.
-	= Параграф 4. =	+
-	== Пункт 1. ==	+
-		+
-	=== Свойства ===	+
-	3. Пусть ф-ции f1 и f2 интегрируемы по Лебегу на множестве Е. Тогда их сумма тоже интегрируема по Леюегу. Вытекает это из того, что s_t^1 + s_t^2 &le; s_t &le; s_T &le; &le; s_T^1 + s_T^2.	+
-		+
-	4. Если ф-ция интегрируема на E1 и E2, то она интегрируема на их объединении.	+
-		+
-	5. Пусть две огр. интегр. ф-ции связапны отношением f1(x) &ge; f_2(x), тогда их интегралы на E связаны тем же отношением. Это так, так как их разность всегда положительно, следовательно интеграл разности строго положителен.	+
-		+
-	Эти свойства можно заменять на почти всюду выфполнимые.	+
-		+
-	== Пункт 2. Интеграл Лебега от неогр. неотр. изм. ф-ции на изм. множестве конечной меры ==	+
-		+
-	Пусть f(x) неотрицательна, измеримая, вообще говоря, неограниченная. Для положительного N введём срез функции: f_N(x) = f(x), f(x) &le; N; N, f(x) &gt; N. Эта функция измерима: E[f_N &gt; a] = E[f > a], a < N; &empty;, a&ge; N.	+
-		+
-	Если существует предел I_N = &integral;_E f_N(x)dx при N, стремящемся к беск., то предел I есть интеграл f(x). Кстати, I_N монотонна. И вопрос в том, равен ли предел бесконечности или это огр. величина.	+
-		+
-	Суммир. функция моджет принимать беск. значение только на мн-ве меры 0.	+
-		+
-	* E_0 = E[f(x) = &infin;]	+
-	* I_N = &integral;_E f_N(x)dx &ge; &integral_E_0 f_N(x)dx &ge; N[E_0]	+
-		+
-	Из определения вытекает, что свойства 2—5 справедливы и для суммир. функций.	+
-		+
-	Теорема 3 (Полная аддитивность интеграла Лебега). Пусть множество E конечной меры представимо в виде объединения измеримых попарно непересекающихся множеств:	+
-	* |E| &lt; +&infin;, E = &cup;_k=1^&infin; E_k, E_i &cap; E_j	+
-	Тогда:	+
-	* Если f(x) суммируема на E, то она суммируема на каждом E_k и справедливо равенство	+
-	** &integral;_E f(x) = &sum;_k=1^&infin; &integral;_E_k f(x)dx (*)	+
-	* Если f(x) суммируема на E_k, и ряд сходится, то f(x) суммируемо на E и справедливо равенство (*)	+
-		+
-	Остаток R_n = &cup;_k=n+1^&infin; E_k. |R_n| &rarr; 0 в силу сигма-аддитивности меры: |R_n| = &Sum_k=n+1^&infin;|E_k|. Пусть 0 &le; f(x) &le; M, тогда 8 &le; &integral;_E f(x) dx = &sum;_k=1^n &integral;_E_k f(x) dx &le; M|R_n| &rarr; 0, отсюда всё следует.	+
-		+
-	Пусть f(x) неогр. Тогда &integral;_E_k fdx &le; &integral;_E fdx.	+
-	* &integral;_E f_N(x)dx = &sum;_k=1^n &integral;_E_k f_N(x) dx &le; &sum;_k=1^n &integral;_E_k f(x) dx (**)	+
-	Это верно для любых N. утремим N к беск.:	+
-	* &integral;_E f(x)dx &le; &sum;_k=1^n &integral;_E_k f(x) dx	+
-	Осталось доказать сходимость суммы справа.	+
-	* &integral;_E f_N(x) dx ?пуж &sum;_k=1^n &integral;_E_k f_N(x) dx	+
-	* N &rarr; &infin; &integral;_E f(x) dx &lt; &sum;_k=1^n &integral;_E_k f(x) dx	+
-	Отсюда всё получим. В чатности, (*). чтд	+
-		+
-	Теорема 4 (Абсолютная непрерывность интеграла Лебега). Пусть f(x) измеримая неотрицательная суммируемая на E функция. Тогда для &forall;&epsilon; &gt; 0 найдётся &delta; > 0 такое, что для любого измеримого подмножества e_&delta; &isin; E, |e_&delta;| &lt; &delta; &rarr; &integral;_e_&delta; f(x)dx &lt; &epsilon;	+
-		+
-	Докахательство. Из опр. суммируемости следует, что существует такое N, что &integral;(f(x) &minus; f_N(x))dx &lt; &espilon;/2. Тогда:	+
-	* &integral_e_&delta; f(x)dx = &integral_e_&delta; (f(x) &minus; f_N(x))dx + &integral_e_&delta; f_N(x)dx &le; &integral_e_&delta; (f(x) &minus; f_N(x))dx + N|e_&delta;| ?деж &epsilon;/2 + N|e_&delta;| &lt; &epsilon;	+
-		+
-	&delta; &lt; &epsilon;/2N	+
-		+
-	{{Функциональный Анализ}}	+
-	{{Lection-stub}}	+

---

Версия 15:14, 2 февраля 2008

From Ebaums Inc to MurkLoar.

We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated. Dig yourself a grave - you will need it.