Редактирование: Функциональный Анализ, 04 лекция (от 28 сентября)

Материал из eSyr's wiki.

Перейти к: навигация, поиск

Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.

Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
-
[[Функциональный Анализ, 03 лекция (от 21 сентября)|Предыдущая лекция]] | [[Функциональный Анализ, 05 лекция (от 05 октября)|Следующая лекция]]
+
== From Ebaums Inc to MurkLoar. ==
-
 
+
We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race.
-
<!-- перерыв -->
+
Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated.
-
 
+
Dig yourself a grave - you will need it.
-
= Параграф 4. =
+
-
== Пункт 1. ==
+
-
 
+
-
=== Свойства ===
+
-
3. Пусть ф-ции f1 и f2 интегрируемы по Лебегу на множестве Е. Тогда их сумма тоже интегрируема по Леюегу. Вытекает это из того, что s_t^1 + s_t^2 &le; s_t &le; s_T &le; &le; s_T^1 + s_T^2.
+
-
 
+
-
4. Если ф-ция интегрируема на E1 и E2, то она интегрируема на их объединении.
+
-
 
+
-
5. Пусть две огр. интегр. ф-ции связапны отношением f1(x) &ge; f_2(x), тогда их интегралы на E связаны тем же отношением. Это так, так как их разность всегда положительно, следовательно интеграл разности строго положителен.
+
-
 
+
-
Эти свойства можно заменять на почти всюду выфполнимые.
+
-
 
+
-
== Пункт 2. Интеграл Лебега от неогр. неотр. изм. ф-ции на изм. множестве конечной меры ==
+
-
 
+
-
Пусть f(x) неотрицательна, измеримая, вообще говоря, неограниченная. Для положительного N введём срез функции: f_N(x) = f(x), f(x) &le; N; N, f(x) &gt; N. Эта функция измерима: E[f_N &gt; a] = E[f > a], a < N; &empty;, a&ge; N.
+
-
 
+
-
Если существует предел I_N = &integral;_E f_N(x)dx при N, стремящемся к беск., то предел I есть интеграл f(x). Кстати, I_N монотонна. И вопрос в том, равен ли предел бесконечности или это огр. величина.
+
-
 
+
-
Суммир. функция моджет принимать беск. значение только на мн-ве меры 0.
+
-
 
+
-
* E_0 = E[f(x) = &infin;]
+
-
* I_N = &integral;_E f_N(x)dx &ge; &integral_E_0 f_N(x)dx &ge; N[E_0]
+
-
 
+
-
Из определения вытекает, что свойства 2—5 справедливы и для суммир. функций.
+
-
 
+
-
Теорема 3 (Полная аддитивность интеграла Лебега). Пусть множество E конечной меры представимо в виде объединения измеримых попарно непересекающихся множеств:
+
-
* |E| &lt; +&infin;, E = &cup;_k=1^&infin; E_k, E_i &cap; E_j
+
-
Тогда:
+
-
* Если f(x) суммируема на E, то она суммируема на каждом E_k и справедливо равенство
+
-
** &integral;_E f(x) = &sum;_k=1^&infin; &integral;_E_k f(x)dx (*)
+
-
* Если f(x) суммируема на E_k, и ряд сходится, то f(x) суммируемо на E и справедливо равенство (*)
+
-
 
+
-
Остаток R_n = &cup;_k=n+1^&infin; E_k. |R_n| &rarr; 0 в силу сигма-аддитивности меры: |R_n| = &Sum_k=n+1^&infin;|E_k|. Пусть 0 &le; f(x) &le; M, тогда 8 &le; &integral;_E f(x) dx = &sum;_k=1^n &integral;_E_k f(x) dx &le; M|R_n| &rarr; 0, отсюда всё следует.
+
-
 
+
-
Пусть f(x) неогр. Тогда &integral;_E_k fdx &le; &integral;_E fdx.
+
-
* &integral;_E f_N(x)dx = &sum;_k=1^n &integral;_E_k f_N(x) dx &le; &sum;_k=1^n &integral;_E_k f(x) dx (**)
+
-
Это верно для любых N. утремим N к беск.:
+
-
* &integral;_E f(x)dx &le; &sum;_k=1^n &integral;_E_k f(x) dx
+
-
Осталось доказать сходимость суммы справа.
+
-
* &integral;_E f_N(x) dx ?пуж &sum;_k=1^n &integral;_E_k f_N(x) dx
+
-
* N &rarr; &infin; &integral;_E f(x) dx &lt; &sum;_k=1^n &integral;_E_k f(x) dx
+
-
Отсюда всё получим. В чатности, (*). чтд
+
-
 
+
-
Теорема 4 (Абсолютная непрерывность интеграла Лебега). Пусть f(x) измеримая неотрицательная суммируемая на E функция. Тогда для &forall;&epsilon; &gt; 0 найдётся &delta; > 0 такое, что для любого измеримого подмножества e_&delta; &isin; E, |e_&delta;| &lt; &delta; &rarr; &integral;_e_&delta; f(x)dx &lt; &epsilon;
+
-
 
+
-
Докахательство. Из опр. суммируемости следует, что существует такое N, что &integral;(f(x) &minus; f_N(x))dx &lt; &espilon;/2. Тогда:
+
-
* &integral_e_&delta; f(x)dx = &integral_e_&delta; (f(x) &minus; f_N(x))dx + &integral_e_&delta; f_N(x)dx &le; &integral_e_&delta; (f(x) &minus; f_N(x))dx + N|e_&delta;| ?деж &epsilon;/2 + N|e_&delta;| &lt; &epsilon;
+
-
 
+
-
&delta; &lt; &epsilon;/2N
+
-
 
+
-
{{Функциональный Анализ}}
+
-
{{Lection-stub}}
+

Пожалуйста, обратите внимание, что все ваши добавления могут быть отредактированы или удалены другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. eSyr's_wiki:Авторское право).
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!


Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, использованные на этой странице:

Получено с http://esyr.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%2C_04_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%28%D0%BE%D1%82_28_%D1%81%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8F%D0%B1%D1%80%D1%8F%29
Личные инструменты
Разделы