Редактирование: Тигры, 01 лекция (от 04 сентября)
Материал из eSyr's wiki.
Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
* '''Аудиозапись:''' http://esyr.org/lections/audio/game_theory_2008_winter/GT_08_09_04.ogg | * '''Аудиозапись:''' http://esyr.org/lections/audio/game_theory_2008_winter/GT_08_09_04.ogg | ||
- | + | Раздел 1. Антагонистические игры (АИ) | |
В АИ принимают участие 2 игрока --- первый и второй игрок. Игр определяется тремя элементами: множество стратегий первого игрока X. Его иногда называют множеством чистых стратегий. Y --- множество стратегий второго игрока. <math>K(x, y)</math>, <math>x \in; X, y \in; Y</math> --- платёжная функция. Почти всегда будем предполагать, что X и Y --- компактное множество в конечномерном евклидовом пространстве. | В АИ принимают участие 2 игрока --- первый и второй игрок. Игр определяется тремя элементами: множество стратегий первого игрока X. Его иногда называют множеством чистых стратегий. Y --- множество стратегий второго игрока. <math>K(x, y)</math>, <math>x \in; X, y \in; Y</math> --- платёжная функция. Почти всегда будем предполагать, что X и Y --- компактное множество в конечномерном евклидовом пространстве. | ||
Строка 249: | Строка 249: | ||
Переходим к вопросу, связанному с существованием седловых точек. Покажем алгоритм поиска седловых точек. Сейчас более глубоко изучим этот вопрос. Для этого понадобится вспомнить некоторые утверждения из математического анализа, связанные с выпуклостью функций. | Переходим к вопросу, связанному с существованием седловых точек. Покажем алгоритм поиска седловых точек. Сейчас более глубоко изучим этот вопрос. Для этого понадобится вспомнить некоторые утверждения из математического анализа, связанные с выпуклостью функций. | ||
- | '''Определение 1'''. Множество Y называется выпуклым, если & | + | '''Определение 1'''. Множество Y называется выпуклым, если &orall; y_1, y_2 ∈ Y, α ∈ (0,1): αy1+(1-α)y_2 ∈ Y. |
'''Определение 2.1'''. Функция f(y), y∈ Y называется выпуклой, если для ∀ y_!, y_2 ∈ Y (y_1 ≠ y_2) , α ∈ (0, 1), f(αy1+(1-α)y_2) ≤ αf(y1)+(1-α)f(y_2) | '''Определение 2.1'''. Функция f(y), y∈ Y называется выпуклой, если для ∀ y_!, y_2 ∈ Y (y_1 ≠ y_2) , α ∈ (0, 1), f(αy1+(1-α)y_2) ≤ αf(y1)+(1-α)f(y_2) | ||
Строка 267: | Строка 267: | ||
* Строго вогнутая функция на выпуклом множестве имеет ровно одну точку максимума | * Строго вогнутая функция на выпуклом множестве имеет ровно одну точку максимума | ||
- | Пусть дана f(x), x --- вектор (x_1, ..., x_n), если f ' '(x) --- неотрицательно определённая форма, то f(x) является выпуклой функцией. Если положительно, то строго выпуклой. Если неположительно определённая, то вогнутая, если отрицательно определённая, то строго вогнутая. | + | Пусть дана f(x), x --- вектор (x_1, ..., x_n), если f''(x) --- неотрицательно определённая форма, то f(x) является выпуклой функцией. Если положительно, то строго выпуклой. Если неположительно определённая, то вогнутая, если отрицательно определённая, то строго вогнутая. |
Рассмотрим пример. f(x_1, ..., x_n) = x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2. Пкажем, что это строго выпуклая функция. Найдём f'(x) = (δf/δx_1, ..., δf/δx_n)=(2x_1, ..., 2x_n). | Рассмотрим пример. f(x_1, ..., x_n) = x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2. Пкажем, что это строго выпуклая функция. Найдём f'(x) = (δf/δx_1, ..., δf/δx_n)=(2x_1, ..., 2x_n). |