Материал из eSyr's wiki.

Предыдущая лекция | Следующая лекция

Параграф 4.

Пункт 1.

Свойства

3. Пусть ф-ции f1 и f2 интегрируемы по Лебегу на множестве Е. Тогда их сумма тоже интегрируема по Леюегу. Вытекает это из того, что s_t^1 + s_t^2 ≤ s_t ≤ s_T ≤ ≤ s_T^1 + s_T^2.

4. Если ф-ция интегрируема на E1 и E2, то она интегрируема на их объединении.

5. Пусть две огр. интегр. ф-ции связапны отношением f1(x) ≥ f_2(x), тогда их интегралы на E связаны тем же отношением. Это так, так как их разность всегда положительно, следовательно интеграл разности строго положителен.

Эти свойства можно заменять на почти всюду выфполнимые.

Пункт 2. Интеграл Лебега от неогр. неотр. изм. ф-ции на изм. множестве конечной меры

Пусть f(x) неотрицательна, измеримая, вообще говоря, неограниченная. Для положительного N введём срез функции: f_N(x) = f(x), f(x) ≤ N; N, f(x) > N. Эта функция измерима: E[f_N > a] = E[f > a], a < N; ∅, a≥ N.

Если существует предел I_N = &integral;_E f_N(x)dx при N, стремящемся к беск., то предел I есть интеграл f(x). Кстати, I_N монотонна. И вопрос в том, равен ли предел бесконечности или это огр. величина.

Суммир. функция моджет принимать беск. значение только на мн-ве меры 0.

• E_0 = E[f(x) = ∞]
• I_N = &integral;_E f_N(x)dx ≥ &integral_E_0 f_N(x)dx ≥ N[E_0]

Из определения вытекает, что свойства 2—5 справедливы и для суммир. функций.

Теорема 3 (Полная аддитивность интеграла Лебега). Пусть множество E конечной меры представимо в виде объединения измеримых попарно непересекающихся множеств:

• |E| < +∞, E = ∪_k=1^∞ E_k, E_i ∩ E_j

Тогда:

• Если f(x) суммируема на E, то она суммируема на каждом E_k и справедливо равенство
  • &integral;_E f(x) = ∑_k=1^∞ &integral;_E_k f(x)dx (*)
• Если f(x) суммируема на E_k, и ряд сходится, то f(x) суммируемо на E и справедливо равенство (*)

Остаток R_n = ∪_k=n+1^∞ E_k. |R_n| → 0 в силу сигма-аддитивности меры: |R_n| = &Sum_k=n+1^∞|E_k|. Пусть 0 ≤ f(x) ≤ M, тогда 8 ≤ &integral;_E f(x) dx = ∑_k=1^n &integral;_E_k f(x) dx ≤ M|R_n| → 0, отсюда всё следует.

Пусть f(x) неогр. Тогда &integral;_E_k fdx ≤ &integral;_E fdx.

• &integral;_E f_N(x)dx = ∑_k=1^n &integral;_E_k f_N(x) dx ≤ ∑_k=1^n &integral;_E_k f(x) dx (**)

Это верно для любых N. утремим N к беск.:

• &integral;_E f(x)dx ≤ ∑_k=1^n &integral;_E_k f(x) dx

Осталось доказать сходимость суммы справа.

• &integral;_E f_N(x) dx ?пуж ∑_k=1^n &integral;_E_k f_N(x) dx
• N → ∞ &integral;_E f(x) dx < ∑_k=1^n &integral;_E_k f(x) dx

Отсюда всё получим. В чатности, (*). чтд

Теорема 4 (Абсолютная непрерывность интеграла Лебега). Пусть f(x) измеримая неотрицательная суммируемая на E функция. Тогда для ∀ε > 0 найдётся δ > 0 такое, что для любого измеримого подмножества e_δ ∈ E, |e_δ| < δ → &integral;_e_δ f(x)dx < ε

Докахательство. Из опр. суммируемости следует, что существует такое N, что &integral;(f(x) − f_N(x))dx < &espilon;/2. Тогда:

• &integral_e_δ f(x)dx = &integral_e_δ (f(x) − f_N(x))dx + &integral_e_δ f_N(x)dx ≤ &integral_e_δ (f(x) − f_N(x))dx + N|e_δ| ?деж ε/2 + N|e_δ| < ε

δ < ε/2N