Функциональный Анализ, теормин

Материал из eSyr's wiki.

Открытые и замкнутые множества на прямой. Канторово множество и его свойства

• Рассматриваются всевозможные множества на R. Определяются объединение, пересечение, дополнение, разность
• x₀ ∈ R — предельная для E, если в любой окрестности этой точки есть точки, принадлежащие Е
• Множество предельных точек E — производное множество E'
• E ⊂ E' — E — плотное в себе
• E' ⊂ E E замкнуто
• E = E' — E совершенно
• x₀ — внутренняя точка E, если существует её окрестность, которая вместе с самой точкой полностью принадлежит E
• int E — внутренность E — множество внутренних точек E
• int E = E — Е открыто
• Пересечение конечного числа открытых множеств — открыто.
• Пересечение бесконечного числа открытых множеств может не быть открытым
• Если множество E – замкнуто, то его дополнение CE – открыто
• Если множество E – открыто, то его дополнение CE – замкнуто
• Объединение любого числа открытых множеств – открыто
• Пересечение любого числа замкнутых множеств – замкнуто
• Любое открытое множество E на прямой является объединением конечного или счётного числа попарно непересекающихся интервалов
• Любое замкнутое множество на прямой получается удалением из R конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов
• Любое совершенное множество на прямой получается удалением из R конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов, которые не имеют общих концов друг с другом
• Канторово множество — совершенное множество меры 0 и мощности континуум, строится из [0; 1] выкидыванием средней трети и повтореня этого процесса для бесконечности для получающихся отрезков