ОКФиКВ, 03 лекция (от 27 февраля)

Материал из eSyr's wiki.

Версия 15:00, 29 февраля 2008

Диктофонная запись второй части лекции:

Впервые мы сталкиваемся со случаем финитного движения.

Мы должны поставить мат. условия к тому, что частица не проникает сквозь стенки ямы. ξ(-x/2) = ξ(x/2) = 0. Посмотрим, какой спектр получается в этом случае. Теперь мы должны решать уравнение Ш.. У нас здесь три области. Когда решается задача с конечной глубиной, трудность в решении для каждой области, а потом сшивать их. Тут проще потому, что в области 1 и 3 ... равно 0. А в области 2 случай ничем не отл. от свободного движения чатицы. В области 1 и 3 волновая функция 0, а в области 2 это Ce^{+/- ikx}. Тогда получается вот какая картина: надо брать суперпозицию этих функций. Частным реш. явл. каждая из функций, общим решением решается супрерпозиция функций. ... Но есть ещё одно решение: ... . Чему равняется k? Лектор ещё раз запишет уравнение Ш. в области 2, и теперь он просто подставляет Ce^ikx. Ну и так далее. k зависит от энергии. Если энергия задана, то k = sqrt(2me/h). ... Граничные условия у нас 0, значит, cos обращается в 0 здесь, здесь, и ... . Соответственно, cos обращается в 0 в дискретных точках. То есть, мы получаем квантование векторf k в рез-те граничных условий. Не все знач. удовл гранич. условиям, отсюда и получается квантование. Каждому этому значению k соответствует энергия, получаем квантованный спектр энергий, в данном случае дискр. кв. спектр энергий. Чтобы сделать заключение, исследуем второй случай. ... Ставим граничное условие, равенство к 0 на границе, опять же приводит к квантованию вектора k, и теперь такое квантование: π/2 n, n --- чётное.

Теперь мы можем резюмировать наши результаты. Наличие гр. условий приводит к дискр. энерг. спектру и дискр. набору волновых функций. Лектор их выпишет: ... . Вот результат мат. иссл. --- решения ур. Ш. Каки реузльтаты получаем: интересный эффект --- квантовый параллелизм. Он явл. следвтвием принципа суперпозиции. В обычной механике шар может лететь либо вперёд, либо назад. А в квантовой механике мы имеем решение: ... --- две волны, напр. противоположно друг другу. Но мы же стационарное решение нашли. А если подставить общее? Какой вид будет иметь полное решение тогда? ... Тогда ясно, что эти 2 волны распространяются в разных нпр. Фиксируете фазу, ддиф. по t, и получаете: ... . Мы впервые столкнулись с квантовым параллелизмом, в котором частица обл. обпр. импульсом. Это суперпозиц. сост. Характеристики суперпозиц. сост. неопределены. Нарисуем график: просто косирнус, n=2, первое возб. сост., это неч. функция. И, соответственно, уровни энергии: .... . И дальше, по мере возрастания n, дальше мы получаем, что уровни расходятся, E_n ~ n^2, следовательно, расстояние пропорционлаьно n. Что главное: энерг. спектр при наличии гранич условий становится дискретным. В квантовой механике получаем дискр. сост., и благодаря этому возм. квантовые вычисл. Интуиция подск., что чтобы реализ бит, нужна система с двумя состояниями. Если оставим два уровня, то это и есть кубит. Но есть отличие: он может находиться в суперпозиционном состоянии, давая экспоненциально большой выигрыш, и преимущества квантового компьютинга сидят в самой квантовой механике. В классической механике непр. энергетический спектр. А где появляются обертона? Серипач изм. длину волны, изменяется звучания. Изменяются гранич. условия. Гранич. условия приводят к квантованию. k квантовано, может принимать разреш знач, и екаждому значению k соответствует свой уровень энергии e_n. Дискр. энерг. спектр. Будет ещё один --- зонный спектр.

Теперь качественно обсудим те изменения, которые произойдут в случае реальной ямы. У нас есть аппарат, и даже не решая, мы можем сделать выводы. С чего начинаем: с записи гамильтониана. В области 2 ничего не меняется, уравнение Ш. такое же. А теперь в области 3: в обл. 3 нужно u_0 учесть, и получаем: ... . Теперь, какое соотношение между u_0 и e? Нас будет интересовать связанное движение, и каждый ответит, что e < u_0? ЧТОбЫ ДВИжЕНИЕ бЫЛО СВЯЗНЫМ. ... Это означает, что у нас есть две возможности, два решения. Какое выбрать из этих двух решений? Ясно, что убывающее, возрастающее не удовлетворяет условиям нормировки. Обсудим физический смысл. ... Это область, в которой полная энергия меньше, че мпотенциальная. Внутри ямы, наоборот: ... . Но вне ямы e < u_0. Это невозможно в классической физике. Поскольку к полной энергии добавляется положительно опр. форма. Эта область называется ... . Квантовая частица может проникать в классич. недоступную область. Это качественный вывод. Какое следствие отсюда: несколько видоизменённых задач. ... Летит частица, волна слева направо. И вот частица попадает вот в эту область, а это энергия частицы, e < u_0. В некотором смылсе это аналог классической задачи: катится шарик со скоростью v, масса m, высота h. вопрос, что произойдёт? Как решать в классич. случае, понятно: сравнить кин. и пот. энергию. В квантовом случае оказывается, что частица проходит через этот барьер (туннелирует), с определённой вероятностью отражается. Мы не найдём точно туннелирование, мы найдём экспоненциальный фактор. ... Это и будет вероятность просачивания/прохождения/туннелирования. Эффект туннелирования очень часто встречается в физике. При распаде идёт эффект туннелирования. Мы дома сталкиваемся с эффектом туннелирования. Например, если мы имеем контакт двух проводов. Электроны встречают слой диелектрика, и туннелируют. При этом возрастают примеры и сопротивление. Это простейжий пример эффекта туннелирования.

Осталось полчаса, и лектор хотел бы перейти к движению частицы в периодическом потенциале, но сначала лектор устроит проверочку.

Очень интересный и важный тип движкения. Предыдущий тип движения тоже очень важный тип, как пример --- движение электрона в атоме, там кулоновская яма. Тут жен примером является движение электрона в кристалле.

Ничего нового в подходе не езобретаем и изобрести не можем, действуем по схеме. КМ --- набор рецептов. Вот мы решили уравн Ш., и говорим, волна бежит сюда, волна бежит сюда, берём суперпозицию. Но где масса электрона? На этот вопрос КМ не отвечает, в первом постулате говорится. Это не вопрос КМ, КМ его отметает. Ни наа что другое КМ не претендует. Это от\дна из причин, по которой многие не удовлетворены КМ.

Ставим задачу. Есть у нас кристалл --- периодическое чередование атомов. Вообще, там трёхмерное движение, но мы рассм. одномер. движение. Получается такой одномерный кристалл. Ионы в кристалле создают периодический потенциал u(x). Главное что --- при приближении электрона к ядру его потенциал уменьшается. Важным оказывается только одно обстоятельство: периодичность движения. И мы отражаем эту периодичность такой формулой: ... . Эта функция, которая вляется периодической, может быть разложена в ряд Фурье таким образом ... . Вот всё, что мы можем. А, мы ещё можем записать гамильтониан: ... . Это довольно сложная задача. Но в общем виде можно получить качественное решение. Как мы будем рассуждать? Представьте: кристалл, периодическая структура, влетает в кристалл волна. Что будет происходить с волной, когда она входит в период. структуру. Тот, кто изучал волну, скажет, что происходит дифракция, рождаются дифрагированные волны. Вот это и будет волновое поле электрона в кристалле. Построим волновой пакет --- сумму волн. Теперь у нас есть решение: ... . Леткор просто подставил разложение потенциала в уравнение. Отсаётся вопрос, что такое ek' --- это энергия возмущённого электроном кристалла (?). Теперь преобразуем его следующим образом --- умножим на e^-ikx и проинтегрируем. ЛЕктор запишет результат: ... . Что же отсюда следует: если мы запускаем волну, то в результате дифракции появляются дифрагированные волны, сдвинутые на некоторую обратную решётку. Это означает, что в этом пакете не будет никаких волн кроме исходных волн и сдвинутых. Только такие волны должны фигурировать в пакете. Давайте запишем этот волновой пакет. ... . Это и есть решение ур. Ш. Конечно, мы его не решили, мы предугадали форму. Но так оно и есть. Придадим ему канонический вид. ... Это и есть решение решение ур. Ш. Это волна, аплитуда которой промодулирована. Какими свойствами она обладает:

• ... явл. периодической функцией с периодом решётки
• ... явл. периодической функцией ....

Функция ψk называется функцией Блоха или блоховской функцией. Этот результат явл. сутью теоремы Блоха: волна в кристале имеет блоховский вид