СППМ/ЧУМ, 02 лекция (от 23 марта)

• c:

  <a,b> <c>
  /  \ /
<a>  <b> = J(b)
  \  /
    ∅

• Объед. идеалов c и a,b:

     <a,c>
     /  \
  <a,b> <c>
  /  \  /
<a>  <b> = J(b)
  \  /
    ∅

• Объед. идеалов d:

     <d>
      |
     <a,c>
     /  \
  <a,b> <c>
  /  \  /
<a>  <b> = J(b)
  \  /
    ∅

Операции над множествами.

Далее нам потр. ЧУМ спец. вида:

 x_2
 /  \
x_1 x_3

Это Z_3. Их наз. заборами или зигзагами.

x_1 x_3
 \  /
 x_2

Это Z_3^d.

 y_2  y_4
 /  \ /
y_1 y_3

Z_4

Одеу опрер. мы уже знаем — вщятие двойств. Дмаграмма Х. получ. перевёрнутая.

Вторая операция: добавление наиб. или наим. элемента. Будем обозн. P^.

, <Q, ≤_q>, то P ∪ Q наз. множеством объед., а порядок задан след. образом: x ≤ y ⇔ x ≤_P y || x ≤_Q y. Частично мы делаем вот для чего: обычно все ЧУМ необозримы, и какая-то их классиф., нет её. Например, попытка разл. ЧУМ в прямую сумму и рассм. компоннты. Наск. она удачна, увидим позже. Вторая операция — порядковая сумма, P +O Q. Это тоже ЧУМ с носителем, порядок опред. след. образом: x ≤ y, если либо x ≤_P y || x ≤_Q y || (x ∈ P && x ∈ Q). Операция некоммут., но ассоц. Что на ур. диаграмм Х.: надо построить ДХ P, сверху постр. Q, и все макс. эл. P соед. с мин. эл. Q. Z_4 +O Z_3: x_2 / \ < вот здесь можно разрезать x_1 x_3 | >< | < вот здесь можно разрезать y_2 y_4 / \ / < здесь — нельзя. y_1 y_3 Лубое ЧУМ. разл. в множ. упор. или неуп. элементоа. Лексикограф. сумма: <P, ≤_P>, причём с каж. эл-том P связано ЧУМ <Q_p, ≤_p>. Сейчас будет подстановка: ∑_p Q_p. Его элементы — пары (p,q), а порядок — след. образом: (p, q) ≤ (p', q') ⇔ (p <_P p') || ((p = p') && (q ≤_p q')) На уровне диагграмм Х.: надо нарис. P, откинуть все линии, вместо каждого эл-та нарис. Q, и соед. элементы макс. и мин. элементы. b u w y / \ \ / | .z a c v x P Q_a Q_b Q_c by | bx / | \ / | \ au av cz \ / aw Призведения Прямое произведение P × Q есть упорядоч. мн-во с носителем P × Q, порядок задаётся след. образом: (p, q) ≤ (p', q') ⇔ p ≤_P p' && q ≤_Q q'. На ур. диагр. Х. вместо каждого элемента из P ставим Q и соед. соотв. элементы. < Пример Z_3 × Z_4 > P × Q ~= Q × P. Однако диагр. Х. будут совершенно непохожи. Важна след. теорема: каждый частич. порядок вложим в произв. соотв. цепей: P ⊂-> C_1 &times ... × C_k. По поводу прямой суммы: 1 озн. один элмент, если есть P+Q, то есть и nP. Что такое n1? Антицепь из n элементов. А что такое 1 +O 1 +O ... +O 1? n-элем. цепь. Z_3 вкл. в 2 &times 2, Z_4 вкл. в 2 &times 3/ Интересное мн-во S_3: d e f |\/ \/| |/\ /\| a b c S_3 вкл. 2^3 Теорема Оре: любое подх. мн-во вкл. в подх. произв. цепей. Минимальное k наз. мультипликативной размерностью. У Z_3 и Z_4 она равна 2, у S_3 — 3. Прямое произведение. Если P×Q ~= P×R ⇒ Q ~= R. P^n ~= Q^n ⇒ P ~= Q. Степень. Есть два ЧУМ, <P, ≤_P>, <Q, ≤_Q>, P^Q — множество всех изотонных отобр. из Q в P: {f: Q → P | f — изотонная}, порядок: f ≤ g: ∀_Q x: f(x) ≤_P q(x) Для д. Х. нет простого алгоритма. для примера лектор построит Z_4^{Z_3}: < пример > 2 &times' 3: bz / \ by az / \ / bz ay \ / ax Что известно про степень:

• P^Q ~= P^R ⇒ Q ~= R
• P^Q ~= R^Q. Гарри ... предп, что из этого следует, что P ~=R. Док. нет до сих пор, хотя для многих ЧУМ это справедливо.

• P × (Q + R) ~= P×Q+P×R
• P^{Q × R} ~= (P^Q)^R

• 1^P ~= 1
• 2^n ~= (n + 1)

• n^P ~= (2^{n-1})^P ~= 2^{n-1 × P}

• X^^δ = G(x)
• X^^∇ = L(x)

• (a |_| b) П c = (a П c) |_| ( b П c)

• Z_k
• Забор с соед. кр. элементами. Малая корона — s_n
• Двудольное ЧУМ, по n элементов, где верх. связ. со всеми ниж, кроме своего индекса: a_i < b_i, i ≠ j. Это наз. большая корона — S_n.