История математики, 12 лекция (от 20 ноября 2008 года)

Материал из eSyr's wiki.

• Диктофонная запись: http://esyr.org/lections/audio/math_history_2008_winter/HM_08_11_20.0.ogg http://esyr.org/lections/audio/math_history_2008_winter/HM_08_11_20.1.ogg

Есть темы, которые автоматически озн. незачёт, это машины Беббиджа и Чебышев.

суб 6, 13 1030
пон 8, 15 1430 П-8а
вт  9, 16 0845 790
чтв 11    1215 П-8а

Каждая группа должна выбрать два варианта.

Что должно входить во введение: вы читали научные статьи. Любая статья имеет преамбулу, которая содержит, откуда возникла проблема, какую цель ставите вы, что достигнуто и что осталось. Информация о том, откуда задача, что есть в этом направлении, что собираетесь сделать, что уже сделано, а что осталось сделать в дипломе.

Продолжение рассказа о петербургской математической школе, а именно, о Пафнутии Львовиче Чебышёве, о его вкладе в науку, возродил реноме теорвер, много сделал в теории чисел, теории инт. и, самое главное, в теории приближений функций. Кроме того, вырастил ряд учеников.

Одним из них был Андрей Андреевич Марков старший (1856-192...). Родился в семье дьякона. Из дьяконов его отец стал серьёзным адвокатом. Марков поступил в петербургский университет, когда лекции там читал Чебышев, попал под его влияние и заинтересовался теми проблемами, которыми занимался Ч. Серьёзно Марков раскрылся, когда начал работать с Чебышевым. В унивситетские годы он провёл деят. большую, и за дипломную работу получил золотую медаль. Затем он активно занялся пед. деятельностью и написанием учебников, которые в то время были актуальны. Напр., написал пособие по теории вероятности. Затем написал книгу по исчислению конечных разностей, но в то время он не рассматривался серьёзно. Он профессор, академик. С очень ярко выраженной, акт. гражданской позицией: когда Горького не приняли в академию, он попросил его исключить из академии, когда Толстого отлучили от церкви, он просил, чтобы его тоже отлучили. Боролся за прогресс. систему образования в высших учеб. заведениях. Занимался достаточно широким кругом проблем в мат: диф. ур., теор. функций, теор. вероятности, теор. приближений функций. Получил некие интересные оценки. Получил оценку для нек вида: если max |P_n(x)| = M, то |P_n'(x)| ≤ 2Mn^2/(b-a), причём для нек. функций оценка эта достаточно точна. На основе этой оценки можно получить оценку следедующего рода: |P_n^{(r)}| ≤ M2^r/(b-a)^r * n^2(n-1)^2...(n-r+1)^2.

Теория вероятности Наибольший вклад Марков внёс туда. Продолжил дело, начатое Чебышевым по исследованию больших чисел и ЦПТ. Чебышев предложил метод по доказательству ЦПТ, но не стал его развивать, надеясь, что ученики сделают это. Так и произошло. Марков смог тонкими, изящными методами смог ЦПТ доказать. Лучшее доказательство не смог предложить никто, пока этим не занялся Ляпунов.

Что лектор хотел бы отметить в работах М: внёс многое в иссл. стохаст. влуч. процессов, зависимых посл. случ. вел-н. Он иссл. суммы завис. случ. вел-н, связанных в цепь. Отсюда название — цепи М. Если нек. система в момент t_k нах. в сост. ω_i, а в след. момент нах. в ω_j, то вер. перехода — p_ij, и получ матр. вер., и М иссл. такого рода матрицы. При этом он разл. след вида случаи: если состю системы зависит только от сост. в пред. момент, то это простые цепи, иначе сложные. И он показал, что наиболее сложные теоремы, даже для сложных цепей, форм. близко к тому, как это было для нез. сл. вел-н. М для подтв. своей теории не хватало мат. или, скорее, знания природы физпроцессов, поэтому он рассм. цепи на примере худ. произв. В физпроцессах их уже исп. Колмогороов. Вот то, что лектор хотел сказать про ААМ старшего.

Следующая выдающаяся личность, это Ляпунов. Александр Михайлович Ляпунов. Жил с ... по 1918. Тоже был студентом Ч. В отилчие от М, он был с молодых лет был целеустремленный человек, который знал, что цель его жизни наука, и только наука. Чрезвычайно добросовестный, талантливый, эрудированный, многосторонний, не боявшийся сложностей в науке. Он поступил в петерб. унив., тоже получил медаль за диплом и оставлен в университет для подготовки к проф. званию. На самом деле он получил от Чебышева предложение заняться серьёзнейшей математической проблемой об уст. и равн. движ. жидкостей. Задачу, которую Ч предлагал многим, но не получал отклика. Ч считал, что она очень сложна, но также считал, что настоящие математики должны браться за такие задачи. Эта задача возн. из астрономии, история создания планетных тел. Л эта проблема интересовала в начале и в конце творческой деятельности. Что касается Л, ему предложили место в ..., и он два года занимался только тем, что готовил конспекты своих лекций. Студенты его очень любили, чувствовали в нём недюжинный ум, что это было намного выше того, с чем они привыкли общаться, и они боялись задавать вопросы на лекции, в рез-те выбирали одного самого умного, который уже и задавал все вопросы. Лектор он был блестящий и чрезвычайно добросовестный.

Какой конкретно вопрос отн. вращ. жидкостей: если предположить, что сфера является фигурой равн. для скорости вращения &eps;, то если изменить скорость вращения, будет ли фигура сохр? Л установил, что фиг. равн. явл. эллипсоиды вращ., если есть малые неодн., то фигура билзка к сферич.

Франц. акад. уст. премию за решение этой проблемы, и ею получил француз ..., через 5 лет после того, как Л защитил решение в качестве докторской. Л указал для каждой задачи точность и количество прибл для уст. равновесия. ...

Необходимость этих приближений показала жизнь: Пуанкаре показал, что фигуры грушевидной формы устойчивы, разг. диск. с Л, зак. его победой и теория Дарвина мл. лопнула.

Л же разр. и теорию уст. мех. систем. Устойчивость по Л.

М доказал ЦПТ методом, предл. Ч. К этой же задаче обр. и Л. И своими изящными, тонкими методами, непохожими на те, что исп. М, доказал ЦПТ в самых широких предположениях. После него более широких никто и не предлагал. При этом он исп. введённые ими функц., которые он наз. хар. функциями.

Он изучал распр. зарядов и дип. по пов. То есть, зад. Дирихле для ур. ЛАпласа.

Это основное направление, где Л получил фундаментальные рез-ты.

Умер он в 1918 году, покончил с собой. Его жена заболела туберкулёзом, отпр. на юг, в Одессу, он вместе с ней. До него дох. сведения, что его имение сожжено, и что его библ. была сожжена. У нгео было депр. сост. И в тот день, когда умерла его жена, он стрелялся, успешно.

след персонаж — Софья Васильевна Ковалевская. Незаурядная женщина. Во всех отн. искл. Талантливая, обаятельная, энергичная, разносторонняя, великолепный литератор. С очень бурной жизнью. Она действ. выд. математик. Когда она стала проф. Стокг. универс., то было сказано, что не было лучших профессоров любого пола за всю ист. Стокг. унив. Родилась в семье отст. генерала. Легенда говорит, что с раннего возр. проявляла незаур. способности. На оклейку её комнаты пошли страницы матана Остроградского, она их изучала, и потом, когда изучала математику, как вспоминала их. Педагог был потр. её талантами.

К была литератором, и бросала матем, занималась лит, бросала лит, заним мат.

Нужно было получ. обр., но в России девушки к высш. обр. не допускались. Тогда нужно ехать за гр., в надежде, что в нек. странах можно получ. доступ к лекц. профессуры. Но как попасть загр? Для девушки вариант --- фиктивный брак, по которому она и пошла. ...

Надо ехать к Вейрштрассу. В Германию. Но в это время парижская комунна, и в итоге её сестра ок. в тюрьме, и Софью с мужем устр. побег в тюрьме. И осле этого К поехала в Берлин. Приехала в университет, её туда не пустили, поехала домой к В, но он как раз и считал, что не женское это дело, но был вежлив, поэтому дал три сложнейших задачи, и был изумлён её способностями и взял в итоге себе в ученики. К 24 годам она уже написала 3 серьёзн. работы. Первая — об уравн. в част. произв. Вторая — о форме колец Сатурна. Она изуч. работу Лапласа и пришла к выводу, что там содерж. неточности, указав, какой, на самом деле, формы кольза Сатурна. Третье — привед. абелевых инт. к инт. эллипт. За эти работы по ходатайству В её была присв. степень доктора философии.

Теперь она матем., она поехала в Россию. Но там её пост. на место: её нигда не разр. занимались преп. деят. Но в это же время было предл. работать сначала в Зельсинфорксе, потом в Стокгольме. Тут история не очень бурная, дело в том, что и Владими Анофриевич, и Софья, попали под влияние своего времени, время быстрого и криминального обогащения. Торговля недв., спеуулят. вещи и так далее. В. А. не был к этому приспособлен и втянулся по уши и погорел, и она, вместе с ним. Кончилось это тем, что Ковалейский не увидел другого выхода, кроме как самоуб. и покончил жизнь самоубийством. Софья стрелялась тоже, но осталась жива.

Ей была предл. проф. должность в стокг. универс., и стала преп. с токг. универс., очень успешно. Было время, когда она читала 12 разл. курсов. Студенты её обожали.

Она занималась и науч. работой успешно. Опубл. работу о прохожд. луча черз кристалл с двойным преломлением. Дост. сложная работа, 1883 год. Франц. академия предл. премию за реш. задачи, имевшей назв. матем. русалки, за её неуловимость. О вращении твёрдого тела вокруг неподв. точки. На объявл. рез. конкурса первое место и большая премия, 5000 франков была вручена работе под девизом. Девиз был такой: ... . Восторгу не было предела, когда увидели, что автором явл. Софья ковалевская. За дальн. разв. она получ. премию от Шведской акад. наук.

Жизнь её была недолгой, в 1891 году она сконч. от туберк. в Ст., там и похоронена.

И для России, и для Швеции эта была большая трагедия.

Ч её тоже опека, пытался вытащить из спек. дел, но она сказала, что покончила с матем.

[править] Философ. напр. в мат.

Совр. мат. отл. не только широтой пост. вопросов, но и глубиной изучения, глубиной постр., пересмотром осн. матем. Это совок. ист., фил., методлог. осн. док. теорем(?).

Основу для этого задал Евклид, и за него никто лучше не сделал до Гильберта.

Таких фил. напр. можно рассм. три. И каждое из них имеет своё напр.

• Логицизм
• Интуиционизм
• Формализм

Что дало осн. для этого: созд. совр. теории множ., что связано с именем Кантора. Хаусдорф на осн. этого постр. новую теор. интегр., ... . Факт., всю новую матем.

Теор. мн. казалась столь незыблемой, что в матем. не удет больше кризисов.

Но оказалось, что были найдены противореч. в самой теор. мн-в. Пример: пусть M — множество всех мн-в, а P(M) — множ. его подмн-в. До этого Кантор доказал, что P(M) неэквив. ни M, ни дному из его подмн-в. Тогда P(M), с одной тсороны, вх. в M, с другой, мощнее M.

Логицизм. Основополож. были Ферге(? и Рассел (1872—1970). Был замеч. философ, матем, и пост. задачу поставить матем. на осн. логики. ОН был не первый, ещё Лейбниц искал в огике осн. матем, искал всеобщ. метод позн., которому логика должна способствовать. Они хотели все мат. понятия сформ. в терминах логики и док.дальше лог. средствами любые лог. утв., в том числе и аксиомы. Расчёт был на то, что логика непогрешима. Все мат. понятия можно свести к понятия нат. числа, а опер. над нат. числами можно свести к логике. Всё зам., но Рассел обн. противор. в логике. Например, парадок брадобрея.

Ф и Р пытались найти выход из этой ситуации, какой: напр., теория типов. Есть мн. 0-го типа, мн-ва первого типа сост. только из мн-в 0-го ипа и так далее, и опер. разр. только на одном этаже, тогда исч. мн-ва всех мн-в, но где гарантия, что не будет других?

Интуиционизм. Сторонники были давно, нач. с Паскаля, Гаусса, Пуанкаре, Кронекер. Но серьёзным идеологом был Брауэр. Они считали что в осн. всего должна быть интуациЯ, главный ист. и главный критерий.

Близко к этому были конструктивисты. Они считали, что только то утв. имеет право на сущ., которое подкр. алгоритмом получ. объекта. Более того, они запр. переносит на еск. те понятия, имевшие сущ. в конец. Как след., нет искл. третьего, следовательно, нет док. от противного, и летит вся матем, которая на ней построена. Серьёхна констр. матем. сущ. Её апологетом ыл ААМ младший, сейчас Этим заним. Успенский. Они созд. констр. матем. очень сложную, но показали, что это возможно.

Формалисты. Идеологом этого напр. явл. Гильберт. Всем мат. понятияи и теоремы есть символы и действия над ними, чисто форм. Главный тезис: полнота и непротивореч. Все выводы должны след. абс. формально, но если они вып., если никаких нар. в исп. аксиом нет, все действия доп., то выводы правильны. Он вып.при примернов 1930г году книгу под назв. "... геометрии", где он попыт. постр. всю геом. таким обр., и справился с этим. Он расч. написать осне. матем, исх. из этого принципа, но вдруг теорем Гёделя: нельзя док. непротивореч. полной аксиом. системы. Значит, и это знание рушится.

Что же получ: цель, которую пост. Гильберт, никуджа не делась — стремится к чёткой аксиом., полной системе непротивореч. Не смотря на то, что док. непротивор. полной истемы невозможно.