История математики, 10 лекция (от 06 ноября 2008 года)

Материал из eSyr's wiki.

• Диктофонная запись: http://esyr.org/lections/audio/math_history_2008_winter/HM_08_11_06.ogg

Переходим к периоду, который по градации Колмогорова наз. совр. матем, с середины 19 в. по наше время. Весьма отн. деление, поск. некоторые разд. математики начали принц. измеение раньше, нек. позжн. Чем характерен этот преиод:

Другое предст. о понятиях строгости, другие предст. о понятиях матем, новые предст. о сист. приёмов, в част. новые предст. о ... решении нек. проблем математики, напр. понятий сущ. и единственности. Например, во времена Э. решали сложнейшие задачи, обыкн. ур.,в частных произв., сложные инт., но при этом не задумывались, насколько строго это всё происходит, сущ. ли решение нек. задач, если сущ., обязательно ли оно единственное. Эти вопр. возникли в нач. 20 столетия. Эти вопр. связпаны с именами замеч. учёных, В алгебре ... Абель, Галуа. В области ... Коши, вейерштрасс, Больцано, Лаплас, Лежандр, Пуассон, Фурье. Их же имена связаны с новыми подзходами решения ОДУ, ур. с компл. переменной, задач мат. физики.

Наверное, так, попредметно, и можно говорить об этом периоде. Например, о наиб. важных дост. в обл. алгебры.

Гаусс (1777—1855). В 19 веке чуть ли не офиц. присвоили титул короля математики. Родился он в семье мелкого бизнесмена, органищовавшего и комплектовавшего группы по строит. фонтану. Легенда гласит, что маленький Карл обратил внимание отца на ошибки в расчётах, когда ему было 3 года. На протяжении всей жизни Карл всё время считал. Проивилось это не то в 7 лет, не то в 10. В то время в классе учились ученики разных возрастов, и учитель должен был охватить всех, и поск. пока нужно было побеседовать со старшими учениками, надо было занять маленьких, и он предложил просуммировать все числа от 1 до 100 (до 40). Только он дал задание, как Карл сказал, что у него готово, чем шокировал учителя.

Карл увлекался всякого рода вы., и где-то с 15-летнего возраста начал решать задачи числ. зхаартера, напр, решил составить таблицу десят. предст. чисел вида 1/n, n от 1 до 1000.

Ещё Г. занимался вписыванием в круг правильных многоугольников. Если 2^n+1 — простое число, то можно вписать. В результате чего вписал 17-угольник, и считал величайшим своим достидением, и просил увековечить это на своём надгробии.

Потом Г. занялся осн. теоремой алгебры, о количестве корней ур. К тому моменту, когда Г. приступил к решению проблемы, многие её пытались доказать, и считали, что доказывали. Но до него считали, что реш. существуют, а потом доказывали, что их ровно n. Доказательство было очень сложное, вып. он его в 19-летнем возрасте и предст. как докторскую диссератцию. В посл. он привёл два других док-ва, значительно более простых.

Если говорим об алгебре, то нельзя не вспомнить метод гаусса решения систем уравнений.

В физике можно вспоминть елиницу изм. Гаусс. В математике — нормальное распределение.

Г. увлёкся вопросами астрономами. К этому моменту была открыта Церера. Её первооткр. перестал ей интерес. и потерял её из виду. Многие астрономы не могли её найти. Гаусс расчитал траекторию и сказал, где она находится.

Много Г. занимался теорией компл. чисел, сам термин компл. число ввёл Гаусс.

Вторая проблема: нах. корней алг. уравнения. Мы знаем, что во времена эпои возр. большой класс в реш. ур. внесли ... . Были найдены формулы для реш. ур. 3 и 4 степени. А как насчёт решения ур. более высоких степеней? Тут можно вспомнить норвежца Абеля. Он попытался найти решение дляур. высоких степеней, думал, что нашёл, потом нашёл ошибку. И, по аналогии с Лобачевским, пришёл к невозм. решения ур. высоких степней в общем виде, и он доказал это. Кроме этого он изучал .... в результате чего они были названы абелевыми интегралами. Он занимался сходимостью рядов (признак сх. рядов Абеля). Абель ввёл понятие равн. сходимости.

Галуа (1811—1832). ОЧень яркая личность в истории науки, нестандартная, непривычная, неординарная. Его отец преподавал матем. в нач. классах. Он был принят в гимназию, гуманит. гимназию, но в возрасте 15 лет в классе риторики он. заинт. риторикой матем, заинт. атем и за неск. недель достиг. фант. результатов и написал серьёзную науч. работу, которую отпр. в парижскую академию наук, не получил ответа. Референтом был Пуассон, первый раз он потерял работу, второй раз написал, что не может понять, о чём написано. А мальчишка продолжал работать и активно занимался полит. деятельностью. Галуа влился в орг. "друзья народа", был чрезвычайно активный.

Этот мальчик дважды пытался поступить в фр. политех. школу. Дважды не поступал, поск. считал, что вопросы тривиальные. После этого он поступил в нормальную школу. В этой нормальной школе был директор, который как флюгер реагировал на полит. веяния.

Галуа занимался проблемами теми же, что и Абель. Можно сказать, что Г. создал теорию групп. Он привязал к группам мат. ур. Для каждого мат. ур. связывал он группу (группу Галуа), и доказал, что разреш. группа эквив. разреш. ур. в радикалах. Как следствие, он показал, когда ур. разрешимо, когда нет.

Когда он в очередной раз оказался в тюрьме, он на 60 страницах мелким почерком изложил свои результаты.

После того, как вышел из тюрьмы, не поделил девушку и получил тяжёлое ранение в живот на дуэли. В ночь перед дуэлью он изложил свои достижения в письме своему другу Шевалье.

Ему было 20 лет, когда он погиб.

Это то, что касается алгебры.

Теория групп. Абстракция на абстр. Абстр. алг. операций, которая позв. их исп. в разл. разделаз матем. ... Это была революция в алгебре.

Матем. анализ.

Начала матана заложили Ньютон, Лейбниц. Но как тот, так и другой, исп. в своей теории понятие конеч. разности. Тот же Ньютон прекр. понимал, что так, как он ввёл предел, это нестрого. Но он это использовал, а потомки пусть наводят порядок в хозяйстве. И потомки навели.

Огюстен Луи Коши. Именно ему мы обязаны совр. мат. анализа. Он весь анализ почстроил на теории пределов. Окончил политехническую школу. В 1811 году опубликовал работу, сделавшую его изв: "о колеюании жидкости на пов. циллиндра". В 1816 (в 27 лет) году он был членом париж. академии наук. Он отказадся присягать королевской власти после реставрации и навлёк гнев властей. Вынужден был покинуть францию. Сначлаа на пару лет в Швейц., потом в Турин, потом в Прагу. Потом вернулся во Францию, и он настолько был изв. своими достижениями, что Фр. сочла за благо разр. ему препод. деятлеьность, вернуть титулы, так и не присягнув на лояльность королевской власти.

Он опубликовал три тома матана, где изложил своё предст. о понятии пределе, эквив. тому, что исп. сейчас.

Он изчал сход. рядов. ВВёл понятие абс. сходимости. Он иссл. признаки сзодимости. К тому времени был дост. туманно сформ. интегральный признак. Он сформ. свой признак сх. числовых рядов. К тому моменту был ешё признал Д'Аламбера, тоже мутно сформ.

Затем, признак сх. числ. посл.

Есть критерий Коши сх. функц. ряда, но сам Коши его не знал.

какие ещё рез-ты Коши: теорема о среднем.

Знаменитая задача Коши: y' = f(x, y) y(x_0) = y_0. Это хорошо хнал и Эйлер, но К. доказал сущ. и единст. реш., если функция и её произв. непр. в нек=рой полости. Для док. исп. метод ломанвых Эйлера.

Он же решал задачу для диф. ур. след. вида: y^(n) = f(x,y,y',...,y^(n-1)) с нач. усл. Он сводил это ур. к сист. ур. ервого порядка и док. сущ. и единст. реш. такой системы.

Он рассм. системы ур. с част. производными и доказывал сущ. и единст., правда, при дост. больших ограничениях. Всерьёх эту задачу решала Ковалеская.

Дальше. Коши предл. способ разл. аналит. функций в степ. ряды. Для чего: если есть некая функция аналти. в обл. G, то можно получить разл. этой функции в каждой точке обл., напр., используя её знач. на границе. ... Отсюда он уже сумел вывести, что функция может быть предст. в виде инт. Коши.

В ТФКП у него много важных рез-тов, в геометрии, но лектору хотелось бы заострить внимание на его очень важном достижении: постр. анализа но осн. совр. понятия предела.

Больцано. Чех. Жил с ... по ... . Преподавал богословие в ... университете, но очень увлекался матем. ,У него были напр. отношения с власть имущими, критиковал монархию, и его выгналииз университета. Он послелися в деревне, и занялся матем. Так как он жил в деревне, далеко не все его рез. становились рез-том общественности. Тем не менее, нельзя не отметить нек-рые его рез-ты, которые получены были до Коши, но стали известны значительно позде.

Он доказал теорему, что если множество раз. чисел огр. сверху, то оно имеет точную врезнюю грань. Доказал он это в 1817 году. Вейерштрасс только после 1860 года.

Он иссл. свойства непр. функций и форм. целый ряд теорем, в частн., теорему о том, что непр. функция может принимать промежут. значения.

Больцано привёл пример функции непр. и нигде не дифф. Он это сделал в 1830 году. В. привёл пример такой функции в 1875 году.

Он сформ. до Коши критерий сформ. посл., рядов.

Не упомянуть о Больцано лектор не может. Он не имел ни соотв. обращования, ни мат. контактов.

Вейерштрасс. Берлинец В. Берлинцем он стал, когда ему было 40 лет. В. учился в обычной гимназии, жил с 1815 по 1897 год. Учился неважно, в том числе и по матем. Довольно поздно закончил нач. образование, где-то за 20 лет. До 40 лет занимался тем, что преподавал мат. в школе. Потом заинт. всерьёз матем, стал получать замечательные рез-ты, стал сист. исп. понятия верх. и ниж. грани, пред. точки, откр. и замк. мн-ва.

Понятия пред. точки, откр. и замк. точки, ждейств. числа. Серьёхностью в их отношении мы обязаны, по всей видимости, Кантору. Он ввёл понятие мощн. множ., соверш. мнодества (канторово соверш. множества)

В. посл. исп. все эти понятия. Он иссл. свойтсва непр. функций, то же самое доказывал возм. дост. верх. и ниж. гшраней, постр. пример непр. и недиф. функции. Теорем В. великое множество.

Лекторр хотел был вспомнить след. теорему В.: если вщять функцию, непр. на a, b и взять эпсилон, то для такой функции сущ. многочлен такой, чо молуль разности меньше эпсилон на всём отрезке. Лектор хотел бы обр. внимание на то, констр. теорема или нет. Нет, не констр., теорема не показ., как это сделать. Есть теоремы констр? Конечно. Любая функц. алг. логиуи может быть предст. в виде конъюнкции, дизъюнкции, отрицания. Есть целое напр. в матем, которое призн. только контр. теоремы.