История математики, 06 лекция (от 09 октября 2008 года)

Материал из eSyr's wiki.

• Диктофонная запись: http://esyr.org/lections/audio/math_history_2008_winter/HM_08_10_09.ogg

Рене Декарт имел юридическое образование. Один из трудов — Геометрия. Впервые здесь было чётко сформулировано понятие переменной величины и системы координат. Систему координат Декарт воспринимал в двояком виде. Первый вид может показаться не вполе стандартным, но может показаться и ст., если вы вспомните беговые дорожки, где отмечены расстояния. И первый вариант у него есть система, привязок к некой траектории, второй же вариант, которой мы называем декартовой системой координат, и есть та система. Почему Декарт не подозревал о той системе координат, которую мы называем декартовой? Декарт не очень уважал отрицательные числа. И систему координат он строил только для положительной полуоси, а ось y он даже не строил. Так что, во-первых он исследовал точки только в первой четверти, и у него была только одна полуось.

Тем не менее, он предлагал писать уравнения кривых, предлагал правила написания уравнений кривых, и доказывал, что все уравнения, решаемые циркулем и линейкой, решал уравнения не более второй степени. Он не давало общего правила, но рассматривал большое количество трудных задач. Декарт считал допустимыми только те прямые, которые только циркулем и линейкой, шарнирным механизмом. Он классифицировал кривые, давая ранг кривой, который определённым количеством звеньев шарнирного механизма, которым можно нарисовать кривую. Это была первая попытка классифицировать кривых. Остальные кривые были названы механическими. Позднее Лейбниц назвал их трансцендентными. У Декарта не было простых кривых. Трёхосная система координат появилась лишь в конце 18 века.

Декарт занимался общей теорией решения уравнений. Не любил отрицательные числа, не пользовался, не знал комплексных чисел, и высказал гениальную гипотезу: уравнение n-ной степени имеет n корней. Доказано это было значительно позже Гауссом. Доказательства были ещё до Гаусса, но значительно после Декарта Но у всех этих доказательств был достаточно большой недостаток: они исходили из того, что корни сущестуют, и потом доказывали, что их n, Гаусс сумел без этого обойтись. Ещё Декарт говорил о том, что количество положительных корней совпадает с количеством знакоперемен в уравнении.

Уравнения 3, 4 степени он решал тригонометрическими методами, используя метод, аналогичный методу вставки в трисекции угла.

Недостатки какие: ограниченность только алгебраическими кривыми. Конечно, классификация его вряд ли может быть признана удачной. И нет проникновения в геометрическую алг. аппарата.

У него появились удобные обозначения +, -, = и · ввёл Декарт. y^2 — тоже Декарт. Неизвестные начал называть y, y, z, известные — a, b, c.

Не изучал он кривые по свойствам соответствующих уравнений.

Очень напряженные взаимоотношения у него были с Паскалем.

Современник и научный соперник декарта — Ферма. Жил примерно в то же самое время. Юрист. При жизни практически своих научных трудов не публиковал. Всё ограничивалось письмами, дневниками... В связи с этими и легенда о теореме Ферма. Что можно предположить:

• Доказательства не было и он лукавил
• Он считал, что у него оно есть и оно было неверным
• У него могло быть доказательство

Сильно насолил Ферма той теоремой. Поскольку она формулировалась уж больно просто.

Кроме великой теоремы Ферма есть ещё и малая.

Но вспомнил лектор о Ферма не поэтому, а в связи с переменными величинами и системами координат. У Ферма тоже использовалась система координат такая же, как и у Декарта, но у него есть одно достаточно серьёзное продвижение. Он, записывал уравнения, предлагал делать преобразования координат: предлагал делать сдвиг и поворот. Это позволяло приводить кривыек к каноническому виду, что достаточно удобно. Достаточно серьёзная инициатива, которую предлагал Ферма.

Умел решать задачи на отыскание экстремумов, построение касательных. И стучалось в дверь появление анализа бесконечно малых.

Что ещё можно сказать о Ферма? Он, как и Паскаль, внёс лепту в теорию вероятностей.

Появились зачатки аналитической геометрии. Раз есть система координат, раз есть уравнения, Ферма показал, что прямым соответствуют уравнения первой степени, коническим сечениям — второй, причём приводил к каноническому виду.

Всерьёз умели решать задачи инт. ... умел решать ещё Архимед, Евдокс. Но люди надо долгое время потеряли те знания, которые имели за 1.5 тыс. лет до этого. Где-то с 1609 по 1619 Кеплер открыл законы движения планет. Для этого ему требовалось искать площади: траектория планеты за равное время заметает равные вектора. Он предполагал это, но это надо было посчитать. Ему потр. возр. метод исчерпывания. Кеплер посвятил этому достаточно много времени и сил и написал большую книжку: о стереометрии, или новое в стереометрии винных бочек, как наиболее удобных, и так далее, и так далее. Кеплер там приводил методы вычисления объёмов и площадей. Они похожи на то, чт предлагал Архимед, но значительно менее строги. Наст. менее, что написал памфлет в защиту Архимеда от Кеплера. Какие Кепплер исследовал фигуры? Тела вращения. Причём он исследовал 92 тела вращения и это говорит о том, что нет общего метода. И надо было для каждого придумывать своё название. И он придумывал: яблоко, чалма, ... Он пытался разбить фигуру на множество частей, а потом из этого лепить другую фигуру, объём которой умел считать. Например, брал тор, нарезал на множество мелких частей, и приближал цилиндрами. Площидь круга — сумма площадей треугольников высотой в радиус и с суммой основания в длину.

Кавальери. Монах из Болонии. Всю жизнь посвятил математике. Его волновало, как вычислять объём и площадь фигур, и он не сильно продвинулся по сравнению с Демокритом.

Когда лектор говорил про Ферма, почему он увлёкся математикой: он читал математиков древности, в частности, Аполлония, который занимался кривыми. У Кавальери же идеи совпадали с идеями Демокрита. Он проповедовал идею неделимых. Надо использовать для измерения чего-то элементарные единицы на единицу меньше. Он строил прямую, регулу, и строил параллельно ей бесконечно количество прямых. Что касается прямых, то они покрывались бесконечным количеством точек, но что это такое, у Кавальери дело не доходило.

Одновременно с ним пытался вычислять объёмы фигур Торричелли. Он вычислял объём фигуры, полученной в результате вращения ветки гиперболы.

Пожалуй, надо сказать о наиболее продвинутой в этом направлении вещи. Лектор вернётся к Паскалю. Лектор о Паскале говорил как о создателе машины. Но Паскаль это не только великий физик и конструктор, но и великий математик. Его результаты в теории вероятности, треугольник Паскаля, но он тоже использовал теорию неделимости, но в значительно более продвинутой форме. Он в качестве неделимого использовал ∑y dy. Он в этом смысле продвинулся значительно дальше.

Дальше это связано с именами британцев, шотландцев: ... Барроу. В трудах ... уже отдельные труды по интегральным и дифференциальным уравнениям.

Барроу сформулировал обратную связь задач на интегралы и дифференциалы. Задача дифференцирования — задача на отыскание экстремума, а интегрирования — на отыскание площадей, и он сформулировал теорему о связи этих задач.

Интегральное исчисление в серьёзном виде возникло одновременно в виде теории флюксий у Ньютона, исчисления дифференциального у Лейбница. Это вторая половина 17-го века, и начнёт лектор с Исаака Ньютона, великого учёного, выдающегося механика, физика, астронома, математика, причём физики считали, что это великий физик, механики, что великий механик, математики, что выдающийся математик. Сам себя математиком не считал, поскольку математика у него была средством, а не самоцелью для решения задач физики и механики. Он придумывал способы и методы, недостаточно серьёзно это обосновывал, поскольку или не считал это необходимым, или не мог это сделать. Но ему нужно было получать результаты и результаты получались верные, и пусть кто-то потом эти результаты обоснует. Такой же точки зрения придерживался и Эйлер.

Ньютон закончил Trinity College. Закончил его и получил степень магистра. в 1665 случилась эпидемия, и он укрылся от неё укрылся в Вудсторке на три года. И это оказались самые плодотворные годы в жизни Ньютона. Основные вещи:

• Заложены осн. теории флюксий
• Закон всемирного тяготения
• Провод. изыск. в обл. теории света. Он открыл, что свет можно разл. на цветные составляющие. Он исп. корпуск. теорию света. Но при этом он первый измерил длину волны.

Это всё в этот период предывания в Вуллсторке(?)

В 1669 году вернулся в Кембридж к учителю Барроу. И Барроу просил Ньютона возглавить кафедру математики, которую возглавлял сам Барроу. И в 32 года он возглавлял кафедру математики в Кембридже.

В 1672 году он стал членом Лондонского Королевского общества, впоследствии его возглавил. Потом стал членом Парижской Академии наук.

Он был назначен смотрителем монетного двора и упорядочил монетное дело в Англии.

Он получил дворянское звание, похоронен был в Вестминстерском аббатстве.

Бернулли разослал две сложных задачи всем изв. ему мат. Европы и дал 6 месяцев на реш. задач. Прошло немного времени, и он получил анонимное решение, но по стилю изложения было ясно, что это Ньютон.

Чем он занимался: физика, механика, математика:

• Механика. Три закона Ньютона. Честно, не только он, первый, например, Галилей, но Ньютон собрал из в кучку. он же показал, что законы движения планет вытекают из закона всемирного тяготения.
• Исследовал движение тел в сплошной среде.
• Решал конкретные задачи земной и небесной механики.
• Главная заслуга — результаты в теории дифференциального исчисления.

Главное, о чём лектор хотел бы сказать — теория флюксий. Это флюэнта, от "течь" — зависимая переменная, зависит она от непрерывно меняемой величины. Скорость изменения называется флюксией. Т.о., это производная по времени от флюенты. Если флюенты обозначить y, то флюксия — y с точкой, изм. флюксии — y с двумя точками, и так далее. В механике до сих пор такое обозначение.

Если дана флюксия, то как получить флюенту? 'y, или □y — отсюда квадратура.

В теории флюксий в первую очередь появилось неопределённое интегрирование.

Пример самого Ньютона, как он дифференцировал функции, алгебраически дифференцировал функции, и тут лектор хочет отметить некую особенность: он дифференцировал не функции, а соотношения. И вы увидите, почему он сам не шибко удовлетворялся своими изысканиями:

x^3 - ax^2 + axy - y^3 = 0 — соотношение для флуент x, y.

К каждой флюенте добавляется момент:

(x+x·O)^3 - a(x+x·O) + a(x+y·O)(y+y·O) - (y+y·O)^3 = 0
x^3 + 3x^2 x·O + 3x x·^2 O^2 + x·^3 O^3 - ax^2 - 2axx·O - ax·^2O^2 + axy + axy·O + ax·yO + ax·y·O^2 - y^3 - 3y^2 y·O - 3yy·^2 O^2 - y·^3 O^3 = 0

Делим это всё на O:

3x^2 x· - 2axx· + axy· + ax·y - 3y^2 y = 0

Получится дифференциал, но понятно, что это нечто неформальное.

Более того, он метод формулировал метод в виде правила. Он говорит так: «разложи по степеням переменных»

x^3 - ax^2 + axy - y^3     - y^3 + 0y^2 + axy - ax^2 + x^3

Расположи в арифметическую прогрессию коэффициент с x·/x:

3x·/x 2x·/x x·/x 0           3y·/y 2y·/y y·/y 0

Умножь почленно:

...
3x^2 x· - 2axx· + ax·y     - 3y^2 y + axy·

...

В сложных случаях, разлагал функции во временные ряды. Но, чтобы иметь возможность отображения, док..., Ньютон не мог.

В качестве примера его результатов: интерполирование. Есть интерполяционная формула Ньютона. Что он предложил:

f(a + n δx) = f(a) + nδf(a) + h(n-1)/2! aδ^2 f(a) + ... + δ^n f(a)
δf(x) = f(x + δx) - f(x)
δ^2 f(x) = δf(x+δx) - δf(x)

В следующем году Тейлор предл. рассматривает случай бесконечно большого количества слагаемых.

Почему лектор на это напирает? У Ньютона формула приближённая. Тейлор предложил формулу точную. Что дальше? Дальше — упомянуты метод Рунге-Кутта. Можно аппроксимировать производные.

Если говорить об английской математике того периода, то там есть Симпсон, Стирлинг.

Главное: Ньютон — родоначальник теории дифференцирования в виде флюксий.

Следующий — Лейбниц.