Численные Методы, 15 лекция (от 03 апреля)

Материал из eSyr's wiki.

Версия 14:45, 13 ноября 2007 (править) ESyr01 (Обсуждение | вклад) м (1 версий) ← К предыдущему изменению		Версия 15:15, 2 февраля 2008 (править) (отменить) 85.197.16.111 (Обсуждение) (Содержимое страницы заменено на «== From Ebaums Inc to MurkLoar. == We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. Your faggotry level exceeded any imaginab...») К следующему изменению →
Строка 1:		Строка 1:
-	[[Численные Методы, 14 лекция (от 02 апреля)|Предыдущая лекция]] | [[Численные Методы, 16 лекция (от 09 апреля)|Следующая лекция]]	+	== From Ebaums Inc to MurkLoar. ==
-		+	We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race.
-	= Глава 4. Разностные методы решения задач математической физики =	+	Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated.
-	== Параграф 1. Разностные схемы для первой краевой задачи уроавнения теплопроводности ==	+	Dig yourself a grave - you will need it.
-	=== Пункт 3. Симметричная разностная схема (схема Кранка-Никольсена) ===	+
-		+
-	&delta;<sup>2</sup>u/&delta;x<sup>2</sup> + f(x, t) (1)	+
-	* u(0, t) = &mu;<sub>1</sub>(t); u(1, t) = &mu;<sub>2</sub>(t), 0 &le; t &le; T (2)	+
-	* u(x, 0) = u<sub>0</sub>(x), 0 &le; x &le; 1 (3)	+
-	* y<sub>x_x, i</sub><sup>m</sup> = (y<sub>i + 1</sub><sup>m</sup> &minus; 2y<sub>i</sub><sup>m</sup> + y<sub>i &minus; 1</sub><sup>m</sup>)	+
-	* (y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> &minus; y<sub>i</sub><sup>n</sup>)/&tau; = 0,5(y<sub>x_x, i</sub><sup>n + 1</sup> + y<sub>x_x, i</sub><sup>n</sup>) + f(x<sub>i</sub>, t<sub>т + 1/2</sub>), (x<sub>i</sub>, t<sub>j</sub>) &isin; &omega;<sub>&tau;h</sub> (4)	+
-	* y<sub>0</sub><sup>n + 1</sup> = &mu;<sub>1</sub>(t<sub>n + 1</sub>); y<sub>N</sub><sup>n + 1</sup> = &mu;<sub>2</sub>(t<sub>n + 1</sub>), t<sub>n + 1</sub> &isin; &omega;_<sub>&tau;</sub> (5)	+
-	* y<sub>i</sub><sup>0</sup> = u<sub>0</sub>(x<sub>i</sub>), x<sub>i</sub> &isin; &omega;_<sub>h</sub> (6)	+
-		+
-	Шаблон (типа ящик)	+
-		+
-	Эта схема неявная. Решается она так же, как и чисто неявная схема — методом прогонки.	+
-		+
-	Сходимость будем рассматривать среднеквадратичную, а не в С, ибо в С очень сложно. Будем использовать новый аппарат. Ради чего напрягаться? Оказывается, эта схема имеет второй порядок и по тау, и по h, то есть лучше. Сегодня освоим аппарат Фурье метода оценок, и его тоже можно здесь применить. Можно строить функцию Грина, можно энергетическими неравенствами. Способов очень много методов оценок.	+
-		+
-	==== Погрешность ====	+
-	z<sub>i</sub><sup>n</sup> = y<sub>i</sub><sup>n</sup> &minus; u<sub>i</sub><sup>n</sup>	+
-		+
-	* (z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> &minus; z<sub>i</sub><sup>n</sup>)/&tau; = 0,5(z<sub>x_x, i</sub><sup>n + 1</sup> + z<sub>x_x, i</sub><sup>n</sup>) + &psi;<sub>i</sub><sup>n</sup>	+
-		+
-	Здесь принципиально, как брать, и это принципиально, иначе не получим второй порядок.	+
-		+
-	* z<sub>0</sub><sup>n + 1</sup> = 0, z<sub>N</sub><sup>n + 1</sup> = 0, z<sub>i</sub><sup>0</sup> = 0	+
-	* &psi;<sub>i</sub><sup>n</sup> = (u<sub>x_x</sub><sup>n + 1</sup> + u<sub>x_x</sub><sup>n</sup>) + f(x<sub>i</sub>, t<sub>n + 1/2</sub>) &minus; (u<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> &minus; u<sub>i</sub><sup>n</sup>)/&tau; (8)	+
-		+
-	'''Задача'''. Доказать, что &psi;<sub>i</sub><sup>n</sup> = O(&tau;<sup>2</sup> + h<sup>2</sup>).	+
-		+
-	==== Задача Штурма-Лиувилля ====	+
-		+
-	* &delta;<sup>2</sup>u/&delta;x<sup>2</sup> + &lambda;u(x) = 0, 0 &lt; x &lt; 1 (9)	+
-	* u(0) = u(1) = 0, u(x) !== 0	+
-	* &lambda; — собственное значение, u(x) — собственная функция	+
-	* &lambda<sub>k</sub> = (&pi;k)<sup>2</sup>, k = 1, 2, &hellip;	+
-	* 0 &lt; &lambda<sub>1</sub> &lt; &lambda;<sub>2</sub> &lt; &lambda;<sub>k</sub> &lt; &hellip;	+
-	* u<sub>k</sub>(x) = sqrt(2)sin &pi;kx	+
-	* {u<sub>k</sub>(x)}<sub>1</sub><sup>&infin;</sup> — ортонормированный базис	+
-	* f(x) &isin; L<sub>2</sub>(0, 1)	+
-	* интеграл от 0 до 1 f<sup>2</sup>(x) dx &lt; infin;,	+
-	...	+
-		+
-	||f||<sub>L<sub>2</sub></sub><sup>2</sup> = &sum;<sub>k = 1</sub><sup>&infin;</sup> c<sub>k</sub><sup>2</sup> — уравнение Парсеваля	+
-	Разностная задача Штурма-Лиувилля	+
-	{|	+
-	|rowspan="2"|{	+
-	|y<sub>x_x, i</sub> + &lambda;y<sub>i</sub> = 0, x<sub>i</sub> &isin; &omega;_<sub>h</sub>	+
-	|rowspan="2"|(10)	+
-	|--	+
-	|y<sub>0</sub> = y<sub>N</sub> = 0	+
-	|}	+
-		+
-	* y<sub>i + 1</sub> &minus; 2y<sub>i</sub> + y<sub>0i &minus; 1</sub> + &lambda;h<sup>2</sup>y<sub>i</sub> = 0	+
-	* y<sub>i + 1</sub> + y<sub>i &minus; 1</sub> &minus; (2 &minus; &lambda;h<sup>2</sup>)y<sub>i</sub> = 0	+
-	* y<sub>i</sub> = sin &alpha;x<sub>i</sub> &ne; 0	+
-	* y<sub>i + 1</sub> = sin &alpha;(x<sub>i</sub> + h) &ne; 0	+
-	* y<sub>i &minus; 1</sub> = sin &alpha;(x<sub>i</sub> &minus; h) &ne; 0	+
-	* y<sub>i + 1</sub> + y<sub>i &minus; 1</sub> = sin (&alpha;x<sub>i</sub> + &alpha;h) + sin (&alpha;x<sub>i</sub> &minus; &alpha;h) = 2sin &alpha;x<sub>i</sub> cos &alpha;x	+
-	* 2cos &alpha;h sin &alpha;x<sub>i</sub> &minus; (2 &minus; &lambda;h<sup>2</sup>)y<sub>i</sub> = 0	+
-	* 2cos &alpha;h &minus; 2 + &lambda;h<sup>2</sup> = 0	+
-	* &lambda; = 2(1 &minus; cos &alpha;h)/h<sup>2</sup> = 4/h<sup>2</sup>sin(&alpha;h/2)	+
-	* &lambda;<sub>k</sub> = 4/h<sup>2</sup> sin<sup>2</sup> &pi;kh/2, k = 1&hellip;N &minus; 1	+
-	* y<sub>k</sub>(x<sub>i</sub>) = sqrt(2) &pi;kx<sub>i</sub>, x<sub>i</sub> &isin; &omega;<sub>h</sub>, k = 1&hellip;N &minus; 1	+
-		+
-	равенство Парсеваля:	+
-	dim H<sub>N &minus; 1</sub> = N &minus; 1, y<sub>0</sub> = y<sub>n</sub> = 0	+
-		+
-	f, g &isin; H<sub>N &minus; 1</sub>, (f, g) = &sum ;<sub>i = 1</sub><sup>N &minus; 1</sup> f<sub>i</sub>g<sub>i</sub>h	+
-	* ||f||<sub>L<sub>2</sub>(&omega;<sub>n</sub>)</sub> = ||f||<sub>L<sub>2</sub></sub> = (f, f)<sup>1/2</sup> = &sum;<sub>i = 1</sub><sup>N &minus; 1</sup>f<sub>i</sub><sup>2</sup>h	+
-		+
-	* (y<sub>k</sub>(x<sub>i</sub>) y<sub>l</sub>(x<sub>i</sub>)) = &delta;<sub>k, l</sub>	+
-	* f(x<sub>i</sub>) = &sum;<sub>k = 1</sub><sup>N &minus; 1</sup> c<sub>k</sub>y<sub>k</sub>(x<sub>i</sub>)	+
-		+
-	Тождественно обозначим: y<sub>k</sub>(x<sub>i</sub>0 = &mu;<sub>k</sub>(x<sub>i</sub>)	+
-		+
-	* ||z<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(&omega;<sub>n</sub>)</sub> &rarr; 0, &tau, h &rarr; r	+
-	* z<sub>i</sub><sup>n</sup> = &sum;<sub>k = 1</sub><sup>N &minus; 1</sup> c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>)&mu;<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>)	+
-	* &psi;<sub>i</sub><sup>n</sup> = &sum;<sub>k = 1</sub><sup>N &minus; 1</sup> &psi;<sup>k</sup>(t<sub>n</sub>)&mu;<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>)	+
-	* &sum;<sub>k = 1</sub><sup>N &minus; 1</sup> (c<sub>k</sub>(t<sub>n + 1</sub>) &minus; c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>))/&tau; &times; &mu;<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>) = 0,5 &sum;<sub>k = 1</sub><sup>N &minus; 1</sup>(c<sub>k</sub>(t<sub>n + 1</sub>) + c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>))&mu;<sub>x_x, i</sub><sup>k</sup> + &sum;<sub>k = 1</sub><sup>N &minus; 1</sup> &psi;<sup>k</sup>(t<sub>n</sub>)&mu;<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>)	+
-	* &sum;<sub>k = 1</sub><sup>N &minus; 1</sup> ((c<sub>k</sub>(t<sub>n + 1</sub>) &minus; c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>))/&tau; + 0,5&lambda;<sub>k</sub>(c<sub>k</sub>(t<sub>n + 1</sub>) + c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>)))&mu;<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>) = &sum;<sub>k = 1</sub><sup>N &minus; 1</sup> &psi;<sup>k</sup>(t<sub>n</sub>)&mu;<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>)	+
-	* (c<sub>k</sub>(t<sub>n + 1</sub>) &minus; c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>))/&tau; + 0,5&lambda;<sub>k</sub>(c<sub>k</sub>(t<sub>n + 1</sub>) + c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>)) = &psi;<sup>k</sup>(t<sub>n</sub>)	+
-	* c<sub>k</sub>(t<sub>n + 1</sub>) &minus; c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>) + 0,5&tau;&lambda;<sub>k</sub>(c<sub>k</sub>(t<sub>n + 1</sub>) + c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>)) = &tau;&psi;<sup>k</sup>(t<sub>n</sub>)	+
-	* (1 + 0,5&tau;&lambda;)c<sub>k</sub>(t<sub>n + 1</sub>) &minus (1 &minus; 0,5&tau;&lambda;)c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>) = &tau;&psi;<sup>k</sup>(t<sub>n</sub>)	+
-	* c<sub>k</sub>(t<sub>n + 1</sub>) = (1 &minus; 0,5&tau;&lambda;)/(1 + 0,5&tau;&lambda;) &times; c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>) + &tau;/(1 + 0,5&tau;&lambda;)&psi;<sup>k</sup>(t<sub>n</sub>)	+
-	* q<sub>k</sub> = (1 &minus; 0,5&tau;&lambda;)/(1 + 0,5&tau;&lambda;)	+
-	* |q<sub>k</sub>| &lt; 1	+
-	* z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> = &sum;<sub>k = 1</sub><sup>N &minus; 1</sup>(q<sub>k</sub>c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>) + &tau;/(1 + 0,5&tau;&lambda;)&psi;<sup>k</sup>(t<sub>n</sub>))&mu;<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>) = &sum;<sub>k = 1</sub><sup>N &minus; 1</sup>q<sub>k</sub>c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>)&mu;<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>) + &sum;<sub>k = 1</sub><sup>N &minus; 1</sup>&tau;/(1 + 0,5&tau;&lambda;)&psi;<sup>k</sup>(t<sub>n</sub>)&mu;<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>)	+
-	* v<sub>i</sub><sup>n</sup> = &sum;<sub>k = 1</sub><sup>N &minus; 1</sup>q<sub>k</sub>c<sub>k</sub>(t<sub>n</sub>)&mu;<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>)	+
-	* &omega;<sub>i</sub><sup>n</sup> = &sum;<sub>k = 1</sub><sup>N &minus; 1</sup>&tau;/(1 + 0,5&tau;&lambda;)&psi;<sup>k</sup>(t<sub>n</sub>)&mu;<sup>k</sup>(x<sub>i</sub>)	+
-	* z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> = v<sub>i</sub><sup>n</sup> + &omega;<sub>i</sub><sup>n</sup>	+
-	* ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(&omega;<sub>n</sub>)</sub> = ||v<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(&omega;<sub>n</sub>)</sub> + ||&omega;<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(&omega;<sub>n</sub>)</sub>	+
-	* ||v<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(&omega;<sub>n</sub>)</sub> = &sum;<sub>k = 1</sub><sup>N &minus; 1</sup>q<sub>k</sub><sup>2</sup>c<sub>k</sub><sup>2</sup>(t<sub>n</sub>) &le; &sum;<sub>k = 1</sub><sup>N &minus; 1</sup>c<sub>k</sub><sup>2</sup>(t<sub>n</sub>) = ||z<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(&omega;<sub>n</sub>)</sub>	+
-	* ||&omega;<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(&omega;<sub>n</sub>)</sub> &le; &tau;<sup>2</sup>||&psi;<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(&omega;<sub>n</sub>)</sub>	+
-	* ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(&omega;<sub>n</sub>)</sub> &le; ||z<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(&omega;<sub>n</sub>)</sub> + &tau;||&psi;<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(&omega;<sub>n</sub>)</sub>	+
-		+
-	Получили ту же самую формулу, что и в прошлый раз, следовательно, её можно сделать рекуррентной.	+
-		+
-	Мы не использовали связь шагов, поэтому сходимость абсолютная.	+
-		+
-	* ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(&omega;<sub>n</sub>)</sub> &le; ||z<sup>0</sup>|| { = 0 } + &sum;<sub>j = 0</sub><sup>n</sup> &tau;||&psi;<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(&omega;<sub>n</sub>)</sub>	+
-	* &psi;<sub>i</sub><sup>n</sup> = O(&tau;<sup>2</sup> + h<sup>2</sup>)	+
-	* &exist; M &ge; 0 не зависит от &tau; и h	+
-	* ||&psi;<sup>n</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(&omega;<sub>n</sub>)</sub> &le; M(&tau;<sup>2</sup> + h<sup>2</sup>)	+
-	* ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(&omega;<sub>n</sub>)</sub> &le; M(&tau;<sup>2</sup> + h<sup>2</sup>)&sum;<sub>j = 0</sub><sup>n</sup> &tau; = Mt<sub>n</sub>(&tau;<sup>2</sup> + h<sup>2</sup>) &le; MT(&tau;<sup>2</sup> + h<sup>2</sup>)	+
-	* ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(&omega;<sub>n</sub>)</sub> &le; M<sub>1</sub>(&tau;<sup>2</sup> + h<sup>2</sup>), M<sub>1</sub> не зависит от &tau; и h	+
-		+
-	==== Оценка устойчивости ====	+
-	Если бы мы рассматривал нашу оценку и при нулевых краевых условиях, то мы бы получили совершенно аналогично:	+
-	* ||y<sup>n + 1</sup>||<sub>L<sub>2</sub>(&omega;<sub>n</sub>)</sub> &le; ||u<sub>0</sub>||<sub>L<sub>2</sub>(&omega;<sub>n</sub>)</sub> + &sum;<sub>j = 0</sub><sup>n</sup> &tau;||f(t)||<sub>L<sub>2</sub>(&omega;<sub>n</sub>)</sub> — априорная оценка, означающая устойчивость	+
-		+
-	Симметричная схема обладает более высоким порядком точности, но мы её доказали пока только для среднеквадратичной схемы.	+
-		+
-	{{Численные Методы}}	+
-	{{Lection-stub}}	+

---

Версия 15:15, 2 февраля 2008

From Ebaums Inc to MurkLoar.

We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated. Dig yourself a grave - you will need it.