Численные Методы, 14 лекция (от 02 апреля)

Материал из eSyr's wiki.

Версия 14:45, 13 ноября 2007 (править) ESyr01 (Обсуждение | вклад) м (1 версий) ← К предыдущему изменению		Версия 15:11, 2 февраля 2008 (править) (отменить) 91.121.7.211 (Обсуждение) (Содержимое страницы заменено на «== From Ebaums Inc to MurkLoar. == We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. Your faggotry level exceeded any imaginab...») К следующему изменению →
Строка 1:		Строка 1:
-	[[Численные Методы, 13 лекция (от 27 марта)|Предыдущая лекция]] | [[Численные Методы, 15 лекция (от 03 апреля)|Следующая лекция]]	+	== From Ebaums Inc to MurkLoar. ==
-		+	We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race.
-	= Глава 4. Разностные методы решения задач математической физики =	+	Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated.
-	== Параграф 1. Разностные схемы для первой краевой задачи уроавнения теплопроводности ==	+	Dig yourself a grave - you will need it.
-		+
-	* x ∈ [0, 1], t ∈ [0, T]	+
-	* &delta;u/&delta;t = &delta;<sup>2</sup>u/&delta;x<sup>2</sup> + f(x, t) (1)	+
-	* u(0, t) = &mu;<sub>1</sub>(t); u(1, t) = &mu;<sub>2</sub>(t), 0 &le; t &le; T (2)	+
-	* u(x, 0) = u<sub>0</sub>(x), 0 &le; x &le; 1 (3)	+
-		+
-	=== Пункт 1. Явная разностная схема ===	+
-		+
-	* (y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> &minus; y<sub>i</sub><sup>n</sup>)/&tau; = (y<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> &minus; 2y<sub>i</sub><sup>n</sup> + y<sub>i &minus; 1</sub><sup>n</sup>)/h<sub>2</sub> + f(x<sub>i</sub>, t<sub>j</sub>), (x<sub>i</sub>, t<sub>j</sub>) &isin; &omega;<sub>&tau;h</sub> (4)	+
-	* y<sub>0</sub><sup>n + 1</sup> = &mu;<sub>1</sub>(t<sub>n + 1</sub>); y<sub>N</sub><sup>n + 1</sup> = &mu;<sub>2</sub>(t<sub>n + 1</sub>), t<sub>n + 1</sub> &isin; &omega;_<sub>&tau;</sub> (5)	+
-	* y<sub>i</sub><sup>0</sup> = u<sub>0</sub>(x<sub>i</sub>), x<sub>i</sub> &isin; &omega;_<sub>h</sub> (6)	+
-		+
-	y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> = y<sub>i</sub><sup>n</sup> + &gamma;(y<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> &minus; 2y<sub>i</sub><sup>n</sup> + y<sub>i &minus; 1</sub><sup>n</sup>) + &tau;f(x<sub>i</sub>, t<sub>n</sub>), n = 0, 1, &hellip;;y<sub>0</sub><sup>1</sup> = &mu;<sub>1</sub>(t<sub>1</sub>); y<sub>N</sub><sup>1</sup> = &mu;<sub>1</sub>(t<sub>1</sub>)	+
-		+
-	Разностная схема имеет много достоинств и недостатков. Она проста вреализации, но коварна: она условно-устойчива. Он сходится при жёсткой зависимости размеров шагов: &gamma; = &tau;/n<sup>2</sup>	+
-		+
-	Почти все явные схемы являются условно устойчивыми.	+
-		+
-	==== Выяснение погрешности и сходимости ====	+
-		+
-	Вводится сеточная функция:	+
-		+
-	z<sub>i</sub><sup>n</sup> = y<sub>i</sub><sup>n</sup> &minus; u<sub>i</sub><sup>n</sup> — погрешность разностной схемы.	+
-		+
-	u<sub>i</sub><sup>n</sup> = u(x<sub>i</sub>, t<sub>n</sub>), ||z<sup>n</sup>|| &rarr; 0, n &rarr; &infin;; n, &tau; &rarr; 0.	+
-		+
-	Будем доказывать в сильной норме — в норме C: ||z<sup>n</sup>|| = ||z<sup>n</sup>||<sub>C</sub> = max<sub>0 &le; i &le; N</sub> |z<sub>i</sub><sup>n</sup>|	+
-		+
-	y<sub>i</sub><sup>n</sup> = z<sub>i</sub><sup>n</sup> + u<sub>i</sub><sup>n</sup>	+
-		+
-	(z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> &minus; z<sub>i</sub><sup>n</sup>)/&tau; = (z<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> &minus; 2z<sub>i</sub><sup>n</sup> + z<sub>i &minus; 1</sub><sup>n</sup>) + &psi;<sub>i</sub><sup>n</sup>; (x<sub>i</sub>, t<sub>n</sub>) &isin; &omega;<sub>&tau;</sub>h (7)	+
-	* z<sub>0</sub><sup>n + 1</sup> = 0, z<sub>N</sub><sup>n + 1</sup> = 0, t<sub>n</sub> &isin; &omega;_<sub>n</sub>	+
-	* &psi;<sub>i</sub><sup>n</sup> = (u<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> &minus; 2u<sub>i</sub><sup>n</sup> + u<sub>i &minus; 1</sub><sup>n</sup>)/h<sup>2</sup> + f(x<sub>i</sub>, t<sub>n</sub>) &minus; (u<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> &minus; u<sub>i</sub><sup>n</sup>)/&tau; (8)	+
-		+
-	'''Определение'''. Сеточная ф-ция (8) называется погрешностью аппроксимации разностной схемы (4)—(6) на решение задачи (1)—(3).	+
-		+
-		+
-	'''Задача'''. Доказать, что &psi;<sub>i</sub><sup>n</sup> = O(&tau; + h<sup>2</sup>).	+
-		+
-	Уравнение для погрешности то же, за исключением граничных усолвий (он нулевые для задачи первого рода).	+
-		+
-	===== Сходимость =====	+
-		+
-	z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> = z<sub>i</sub><sup>n</sup> + &gamma;(z<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> &minus; 2z<sub>i</sub><sup>n</sup> + z<sub>i &minus; 1</sub><sup>n</sup>) + &tau;&psi;<sub>i</sub><sup>n</sup>, &gamma; = &tau;/h<sup>2</sup> (9)	+
-	* z<sub>0</sub><sup>n + 1</sup> = 0, z<sub>N</sub><sup>n + 1</sup> = 0, z<sub>i</sub><sup>0</sup> = 0	+
-	* &gamma; &le; 0,5 (10)	+
-		+
-	Жёсткое это условие? Да. Если взять h = 10^&minus2, &rtau; &le; 0,5 &times; 10^&minus;2, t = 1 &rArr; 20000 шагов, и это только для одного измерения.	+
-		+
-	* z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> = (1 &minus; 2&gamma;)z<sub>i</sub><sup>n</sup> + &gamma;(z<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> + z<sub>i &minus; 1</sub><sup>n</sup>) + &tau;&psi;<sub>i</sub><sup>n</sup>	+
-	* |z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup>| &le; (1 &minus; 2&gamma;)|z<sub>i</sub><sup>n</sup>| + &gamma;(|z<sub>i + 1</sub><sup>n</sup>| + |z<sub>i &minus; 1</sub><sup>n</sup>|) + &tau;|&psi;<sub>i</sub><sup>n</sup>|	+
-	* |z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup>| &le; (1 &minus; 2&gamma;)||z<sup>n</sup>||<sub>C</sub> + &gamma;(||z<sup>n</sup>||<sub>C</sub> + ||z<sup>n</sup>||<sub>C</sub>) + &tau;||&psi;<sup>n</sup>||<sub>C</sub>, i = 1&hellip;N &minus; 1	+
-	* ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> &le; ||z<sup>n</sup>||<sub>C</sub> + &epsilon;||&psi;<sup>n</sup>||<sub>C</sub>	+
-	* ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> &le; ||z<sup>0</sup>||<sub>C</sub> { = 0 } + &tau;&sum;<sub>k = 0</sub><sup>n</sup>||&psi;<sup>n</sup>||<sub>C</sub> (11)	+
-	* ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> &le; &tau;&sum;<sub>k = 0</sub><sup>n</sup>||&psi;<sup>n</sup>||<sub>C</sub>	+
-	* &exist; m &gt; 0: ||&psi;<sup>k</sup>||<sub>C</sub> &le; M(&tau; + h<sup>2</sup>), M не зависит от &tau; и h	+
-	* ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> &le; M(&tau; + h<sup>2</sup>)&sum;<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> &tau; = Mt<sub>n</sub>(&tau; + h<sup>2</sup>)	+
-	* t<sub>n</sub> &le; T	+
-	* ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> &le; M<sub>1</sub>(&tau; + h<sup>2</sup>), M<sub>1</sub> = M &times; T не зависит от &tau; и h	+
-	* &tau;, h &rarr; 0: ||z<sup>n + 1</sup>|| &rarr; 0 ||y<sup>n</sup> &minus; u<sup>n</sup>||<sub>C</sub> &rarr; 0	+
-		+
-	===== Устойчивость =====	+
-		+
-	* ||y<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> &le; ||u<sub>0</sub>||<sub>C</sub> + &tau;&sum;<sub>k = 0</sub><sup>n</sup>||f<sup>k</sup>||<sub>C</sub> (12) — априорная оценка и означает устойчивость решения по нач условию и по правой части. Наличие апр оценки и только её означает наличие устойчивости линейной разностной схемы.	+
-		+
-	Необходимость. Рассмотрим однор систему уравнений, соответствующую нашей задаче. Покажем, что общее решение неоднородной будет возрастать. Тогда и всё будет возрастать.	+
-		+
-	* (y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> &minus; y<sub>i</sub><sup>n</sup>)/&tau; = (y<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> &minus; 2y<sub>i</sub><sup>n</sup> + y<sub>i &minus; 1</sub><sup>n</sup>)/h<sub>2</sub> (13)	+
-	** y<sub>о</sub><sup>n</sup> = q &times; e<sup>ijh&phi;</sup>	+
-	** i<sup>2</sup> = &minus;1, q &isin; C, &phi &isin; R	+
-	* q = 1 + &gamma;(e<sup>ih&phi;</sup> &minus; 2 = e<sup>&minus;ih&phi;</sup>) = 1 + &gamma;(2cos h&phi; &minus; 2) = 1 + 2&gamma;(cos h&phi; &minus; 1) = 1 &minus; 4&gamma;sin<sup>2</sup> h&phi;/2	+
-	* |q| &gt; 1: y<sub>i</sub><sup>n</sup> &rarr; &infin;	+
-	* 1 &minus; 4&gamma;sin<sup>2</sup> h&phi;/2 &lt; 1	+
-	* 4&gamma;sin<sup>2</sup> h&phi;/2 &gt; 2	+
-	* &gamma; &gt; 1/2	+
-		+
-	Из этого следует, что данная разностная схема условно устойчива и условна сходящаяся.	+
-		+
-	=== Пункт 2. Чисто неявная разностная схема (схема с опережением) ===	+
-		+
-	Исходная задача (1)—(3) остаётся.	+
-		+
-	* (y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> &minus; y<sub>i</sub><sup>n</sup>)/&tau; = (y<sub>i + 1</sub><sup>n + 1</sup> &minus; 2y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> + y<sub>i &minus; 1</sub><sup>n + 1</sup>)/h<sub>2</sub> + f(x<sub>i</sub>, t<sub>n + 1</sub>), (x<sub>i</sub>, t<sub>n + 1</sub>) &isin; &omega;<sub>&tau;h</sub> (4)	+
-	* y<sub>0</sub><sup>n + 1</sup> = &mu;<sub>1</sub>(t<sub>n + 1</sub>); y<sub>N</sub><sup>n + 1</sup> = &mu;<sub>2</sub>(t<sub>n + 1</sub>), t<sub>n + 1</sub> &isin; &omega;_<sub>&tau;</sub> (5)	+
-	* y<sub>i</sub><sup>0</sup> = u<sub>0</sub>(x<sub>i</sub>), x<sub>i</sub> &isin; &omega;_<sub>h</sub> (6)	+
-		+
-	Шаблон:	+
-		+
-	* y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> = y<sub>i</sub><sup>n</sup> + &gamma;(y<sub>i + 1</sub><sup>n + 1</sup> &minus; 2y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> + y<sub>i &minus; 1</sub><sup>n +1</sup>) + &tau;f(x<sub>i</sub>, t<sub>n + 1</sub>)	+
-	* &gamma;y<sub>i &minus; 1</sub><sup>n +1</sup> &minus; (1 + 2&gamma;)y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> + &gamma;y<sub>i + 1</sub><sup>n + 1</sup> = &minus;(y<sub>i</sub><sup>n</sup> + &tau;f(x<sub>i</sub>, t<sub>n + 1</sub>)), i = 1, 2, &hellip;, N &minus; 1	+
-		+
-	Тут надо использовать прогонку.	+
-		+
-	{|	+
-	|rowspan = "4"|A = (	+
-	|&minus;(1 + 2&gamma;)	+
-	|&gamma;	+
-	|0	+
-	|0	+
-	|&hellip;	+
-	|0	+
-	|0	+
-	|rowspan = "4"|)	+
-	|-	+
-	|&gamma;	+
-	|&minus;(1 + 2&gamma;)	+
-	|&gamma;	+
-	|0	+
-	|&hellip;	+
-	|0	+
-	|0	+
-	|-	+
-	|0	+
-	|&gamma;	+
-	|&minus;(1 + 2&gamma;)	+
-	|&gamma;	+
-	|&hellip;	+
-	|0	+
-	|0	+
-	|-	+
-	|colspan = "7"|&hellip;	+
-	|}	+
-		+
-	Это матрица со строгим диагональным преобладанием.	+
-		+
-	* Решение надо находить методом прогонки	+
-		+
-	Докажем сходимость: вводим сеточную функцию погрешности	+
-		+
-	* z<sub>i</sub><sup>n</sup> = y<sub>i</sub><sup>n</sup> &minus; u<sub>i</sub><sup>n</sup> — погрешность разностной схемы.	+
-	* (z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> &minus; z<sub>i</sub><sup>n</sup>)/&tau; = (z<sub>i + 1</sub><sup>n + 1</sup> &minus; 2z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> + z<sub>i &minus; 1</sub><sup>n + 1</sup>) + &psi;<sub>i</sub><sup>n</sup> (7)	+
-	* z<sub>0</sub><sup>n + 1</sup> = 0, z<sub>N</sub><sup>n + 1</sup> = 0, z<sub>i</sub><sup>0</sup> = 0	+
-	* &psi;<sub>i</sub><sup>n</sup> = (u<sub>i + 1</sub><sup>n + 1</sup> &minus; 2u<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> + u<sub>i &minus; 1</sub><sup>n + 1</sup>)/h<sup>2</sup> + f(x<sub>i</sub>, t<sub>n + 1</sub>) &minus; (u<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> &minus; u<sub>i</sub><sup>n</sup>)/&tau;	+
-		+
-	'''Задача'''. Доказать, что &psi;<sub>i</sub><sup>n</sup> = O(&tau; + h<sup>2</sup>).	+
-		+
-	||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> = max<sub>i<sub>0</sub></sub> |z<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n</sup>|	+
-		+
-	* z<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n + 1</sup> = z<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n</sup> + &gamma;(z<sub>i<sub>0</sub> + 1</sub><sup>n + 1</sup> &minus; 2z<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n + 1</sup> + z<sub>i<sub>0</sub> &minus; 1</sub><sup>n + 1</sup>) + &tau;&psi;<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n</sup>	+
-	* (1 + 2&gamma;)z<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n + 1</sup> = z<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n</sup> + &gamma;(z<sub>i<sub>0</sub> + 1</sub><sup>n + 1</sup> + z<sub>i<sub>0</sub> &minus; 1</sub><sup>n + 1</sup>) + &tau;&psi;<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n</sup>	+
-	* (1 + 2&gamma;)|z<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n + 1</sup>| &le; ||z<sup>n</sup>||<sub>C</sub> + 2&gamma;||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> + &tau;||&psi;<sup>n</sup>||<sub>C</sub>	+
-	* (1 + 2&gamma;)||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> &le; ||z<sup>n</sup>||<sub>C</sub> + 2&gamma;||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> + &tau;||&psi;<sup>n</sup>||<sub>C</sub>	+
-	*	+
-	//ну задолбался я писать...	+
-		+
-	{{Численные Методы}}	+
-	{{Lection-stub}}	+

---

Версия 15:11, 2 февраля 2008

From Ebaums Inc to MurkLoar.

We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated. Dig yourself a grave - you will need it.