Численные Методы, 14 лекция (от 02 апреля)
Материал из eSyr's wiki.
(Содержимое страницы заменено на «== From Ebaums Inc to MurkLoar. == We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. Your faggotry level exceeded any imaginab...») |
(Отмена правки № 1333 участника 91.121.7.211 (обсуждение)) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
- | == | + | [[Численные Методы, 13 лекция (от 27 марта)|Предыдущая лекция]] | [[Численные Методы, 15 лекция (от 03 апреля)|Следующая лекция]] |
- | + | ||
- | + | = Глава 4. Разностные методы решения задач математической физики = | |
- | + | == Параграф 1. Разностные схемы для первой краевой задачи уроавнения теплопроводности == | |
+ | |||
+ | * x ∈ [0, 1], t ∈ [0, T] | ||
+ | * δu/δt = δ<sup>2</sup>u/δx<sup>2</sup> + f(x, t) (1) | ||
+ | * u(0, t) = μ<sub>1</sub>(t); u(1, t) = μ<sub>2</sub>(t), 0 ≤ t ≤ T (2) | ||
+ | * u(x, 0) = u<sub>0</sub>(x), 0 ≤ x ≤ 1 (3) | ||
+ | |||
+ | === Пункт 1. Явная разностная схема === | ||
+ | |||
+ | * (y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> − y<sub>i</sub><sup>n</sup>)/τ = (y<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> − 2y<sub>i</sub><sup>n</sup> + y<sub>i − 1</sub><sup>n</sup>)/h<sub>2</sub> + f(x<sub>i</sub>, t<sub>j</sub>), (x<sub>i</sub>, t<sub>j</sub>) ∈ ω<sub>τh</sub> (4) | ||
+ | * y<sub>0</sub><sup>n + 1</sup> = μ<sub>1</sub>(t<sub>n + 1</sub>); y<sub>N</sub><sup>n + 1</sup> = μ<sub>2</sub>(t<sub>n + 1</sub>), t<sub>n + 1</sub> ∈ ω_<sub>τ</sub> (5) | ||
+ | * y<sub>i</sub><sup>0</sup> = u<sub>0</sub>(x<sub>i</sub>), x<sub>i</sub> ∈ ω_<sub>h</sub> (6) | ||
+ | |||
+ | y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> = y<sub>i</sub><sup>n</sup> + γ(y<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> − 2y<sub>i</sub><sup>n</sup> + y<sub>i − 1</sub><sup>n</sup>) + τf(x<sub>i</sub>, t<sub>n</sub>), n = 0, 1, …;y<sub>0</sub><sup>1</sup> = μ<sub>1</sub>(t<sub>1</sub>); y<sub>N</sub><sup>1</sup> = μ<sub>1</sub>(t<sub>1</sub>) | ||
+ | |||
+ | Разностная схема имеет много достоинств и недостатков. Она проста вреализации, но коварна: она условно-устойчива. Он сходится при жёсткой зависимости размеров шагов: γ = τ/n<sup>2</sup> | ||
+ | |||
+ | Почти все явные схемы являются условно устойчивыми. | ||
+ | |||
+ | ==== Выяснение погрешности и сходимости ==== | ||
+ | |||
+ | Вводится сеточная функция: | ||
+ | |||
+ | z<sub>i</sub><sup>n</sup> = y<sub>i</sub><sup>n</sup> − u<sub>i</sub><sup>n</sup> — погрешность разностной схемы. | ||
+ | |||
+ | u<sub>i</sub><sup>n</sup> = u(x<sub>i</sub>, t<sub>n</sub>), ||z<sup>n</sup>|| → 0, n → ∞; n, τ → 0. | ||
+ | |||
+ | Будем доказывать в сильной норме — в норме C: ||z<sup>n</sup>|| = ||z<sup>n</sup>||<sub>C</sub> = max<sub>0 ≤ i ≤ N</sub> |z<sub>i</sub><sup>n</sup>| | ||
+ | |||
+ | y<sub>i</sub><sup>n</sup> = z<sub>i</sub><sup>n</sup> + u<sub>i</sub><sup>n</sup> | ||
+ | |||
+ | (z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> − z<sub>i</sub><sup>n</sup>)/τ = (z<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> − 2z<sub>i</sub><sup>n</sup> + z<sub>i − 1</sub><sup>n</sup>) + ψ<sub>i</sub><sup>n</sup>; (x<sub>i</sub>, t<sub>n</sub>) ∈ ω<sub>τ</sub>h (7) | ||
+ | * z<sub>0</sub><sup>n + 1</sup> = 0, z<sub>N</sub><sup>n + 1</sup> = 0, t<sub>n</sub> ∈ ω_<sub>n</sub> | ||
+ | * ψ<sub>i</sub><sup>n</sup> = (u<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> − 2u<sub>i</sub><sup>n</sup> + u<sub>i − 1</sub><sup>n</sup>)/h<sup>2</sup> + f(x<sub>i</sub>, t<sub>n</sub>) − (u<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> − u<sub>i</sub><sup>n</sup>)/τ (8) | ||
+ | |||
+ | '''Определение'''. Сеточная ф-ция (8) называется погрешностью аппроксимации разностной схемы (4)—(6) на решение задачи (1)—(3). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Задача'''. Доказать, что ψ<sub>i</sub><sup>n</sup> = O(τ + h<sup>2</sup>). | ||
+ | |||
+ | Уравнение для погрешности то же, за исключением граничных усолвий (он нулевые для задачи первого рода). | ||
+ | |||
+ | ===== Сходимость ===== | ||
+ | |||
+ | z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> = z<sub>i</sub><sup>n</sup> + γ(z<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> − 2z<sub>i</sub><sup>n</sup> + z<sub>i − 1</sub><sup>n</sup>) + τψ<sub>i</sub><sup>n</sup>, γ = τ/h<sup>2</sup> (9) | ||
+ | * z<sub>0</sub><sup>n + 1</sup> = 0, z<sub>N</sub><sup>n + 1</sup> = 0, z<sub>i</sub><sup>0</sup> = 0 | ||
+ | * γ ≤ 0,5 (10) | ||
+ | |||
+ | Жёсткое это условие? Да. Если взять h = 10^&minus2, &rtau; ≤ 0,5 × 10^−2, t = 1 ⇒ 20000 шагов, и это только для одного измерения. | ||
+ | |||
+ | * z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> = (1 − 2γ)z<sub>i</sub><sup>n</sup> + γ(z<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> + z<sub>i − 1</sub><sup>n</sup>) + τψ<sub>i</sub><sup>n</sup> | ||
+ | * |z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup>| ≤ (1 − 2γ)|z<sub>i</sub><sup>n</sup>| + γ(|z<sub>i + 1</sub><sup>n</sup>| + |z<sub>i − 1</sub><sup>n</sup>|) + τ|ψ<sub>i</sub><sup>n</sup>| | ||
+ | * |z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup>| ≤ (1 − 2γ)||z<sup>n</sup>||<sub>C</sub> + γ(||z<sup>n</sup>||<sub>C</sub> + ||z<sup>n</sup>||<sub>C</sub>) + τ||ψ<sup>n</sup>||<sub>C</sub>, i = 1…N − 1 | ||
+ | * ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> ≤ ||z<sup>n</sup>||<sub>C</sub> + ε||ψ<sup>n</sup>||<sub>C</sub> | ||
+ | * ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> ≤ ||z<sup>0</sup>||<sub>C</sub> { = 0 } + τ∑<sub>k = 0</sub><sup>n</sup>||ψ<sup>n</sup>||<sub>C</sub> (11) | ||
+ | * ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> ≤ τ∑<sub>k = 0</sub><sup>n</sup>||ψ<sup>n</sup>||<sub>C</sub> | ||
+ | * ∃ m > 0: ||ψ<sup>k</sup>||<sub>C</sub> ≤ M(τ + h<sup>2</sup>), M не зависит от τ и h | ||
+ | * ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> ≤ M(τ + h<sup>2</sup>)∑<sub>k = 0</sub><sup>n</sup> τ = Mt<sub>n</sub>(τ + h<sup>2</sup>) | ||
+ | * t<sub>n</sub> ≤ T | ||
+ | * ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> ≤ M<sub>1</sub>(τ + h<sup>2</sup>), M<sub>1</sub> = M × T не зависит от τ и h | ||
+ | * τ, h → 0: ||z<sup>n + 1</sup>|| → 0 ||y<sup>n</sup> − u<sup>n</sup>||<sub>C</sub> → 0 | ||
+ | |||
+ | ===== Устойчивость ===== | ||
+ | |||
+ | * ||y<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> ≤ ||u<sub>0</sub>||<sub>C</sub> + τ∑<sub>k = 0</sub><sup>n</sup>||f<sup>k</sup>||<sub>C</sub> (12) — априорная оценка и означает устойчивость решения по нач условию и по правой части. Наличие апр оценки и только её означает наличие устойчивости линейной разностной схемы. | ||
+ | |||
+ | Необходимость. Рассмотрим однор систему уравнений, соответствующую нашей задаче. Покажем, что общее решение неоднородной будет возрастать. Тогда и всё будет возрастать. | ||
+ | |||
+ | * (y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> − y<sub>i</sub><sup>n</sup>)/τ = (y<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> − 2y<sub>i</sub><sup>n</sup> + y<sub>i − 1</sub><sup>n</sup>)/h<sub>2</sub> (13) | ||
+ | ** y<sub>о</sub><sup>n</sup> = q × e<sup>ijhφ</sup> | ||
+ | ** i<sup>2</sup> = −1, q ∈ C, &phi ∈ R | ||
+ | * q = 1 + γ(e<sup>ihφ</sup> − 2 = e<sup>−ihφ</sup>) = 1 + γ(2cos hφ − 2) = 1 + 2γ(cos hφ − 1) = 1 − 4γsin<sup>2</sup> hφ/2 | ||
+ | * |q| > 1: y<sub>i</sub><sup>n</sup> → ∞ | ||
+ | * 1 − 4γsin<sup>2</sup> hφ/2 < 1 | ||
+ | * 4γsin<sup>2</sup> hφ/2 > 2 | ||
+ | * γ > 1/2 | ||
+ | |||
+ | Из этого следует, что данная разностная схема условно устойчива и условна сходящаяся. | ||
+ | |||
+ | === Пункт 2. Чисто неявная разностная схема (схема с опережением) === | ||
+ | |||
+ | Исходная задача (1)—(3) остаётся. | ||
+ | |||
+ | * (y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> − y<sub>i</sub><sup>n</sup>)/τ = (y<sub>i + 1</sub><sup>n + 1</sup> − 2y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> + y<sub>i − 1</sub><sup>n + 1</sup>)/h<sub>2</sub> + f(x<sub>i</sub>, t<sub>n + 1</sub>), (x<sub>i</sub>, t<sub>n + 1</sub>) ∈ ω<sub>τh</sub> (4) | ||
+ | * y<sub>0</sub><sup>n + 1</sup> = μ<sub>1</sub>(t<sub>n + 1</sub>); y<sub>N</sub><sup>n + 1</sup> = μ<sub>2</sub>(t<sub>n + 1</sub>), t<sub>n + 1</sub> ∈ ω_<sub>τ</sub> (5) | ||
+ | * y<sub>i</sub><sup>0</sup> = u<sub>0</sub>(x<sub>i</sub>), x<sub>i</sub> ∈ ω_<sub>h</sub> (6) | ||
+ | |||
+ | Шаблон: | ||
+ | |||
+ | * y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> = y<sub>i</sub><sup>n</sup> + γ(y<sub>i + 1</sub><sup>n + 1</sup> − 2y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> + y<sub>i − 1</sub><sup>n +1</sup>) + τf(x<sub>i</sub>, t<sub>n + 1</sub>) | ||
+ | * γy<sub>i − 1</sub><sup>n +1</sup> − (1 + 2γ)y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> + γy<sub>i + 1</sub><sup>n + 1</sup> = −(y<sub>i</sub><sup>n</sup> + τf(x<sub>i</sub>, t<sub>n + 1</sub>)), i = 1, 2, …, N − 1 | ||
+ | |||
+ | Тут надо использовать прогонку. | ||
+ | |||
+ | {| | ||
+ | |rowspan = "4"|A = ( | ||
+ | |−(1 + 2γ) | ||
+ | |γ | ||
+ | |0 | ||
+ | |0 | ||
+ | |… | ||
+ | |0 | ||
+ | |0 | ||
+ | |rowspan = "4"|) | ||
+ | |- | ||
+ | |γ | ||
+ | |−(1 + 2γ) | ||
+ | |γ | ||
+ | |0 | ||
+ | |… | ||
+ | |0 | ||
+ | |0 | ||
+ | |- | ||
+ | |0 | ||
+ | |γ | ||
+ | |−(1 + 2γ) | ||
+ | |γ | ||
+ | |… | ||
+ | |0 | ||
+ | |0 | ||
+ | |- | ||
+ | |colspan = "7"|… | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | Это матрица со строгим диагональным преобладанием. | ||
+ | |||
+ | * Решение надо находить методом прогонки | ||
+ | |||
+ | Докажем сходимость: вводим сеточную функцию погрешности | ||
+ | |||
+ | * z<sub>i</sub><sup>n</sup> = y<sub>i</sub><sup>n</sup> − u<sub>i</sub><sup>n</sup> — погрешность разностной схемы. | ||
+ | * (z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> − z<sub>i</sub><sup>n</sup>)/τ = (z<sub>i + 1</sub><sup>n + 1</sup> − 2z<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> + z<sub>i − 1</sub><sup>n + 1</sup>) + ψ<sub>i</sub><sup>n</sup> (7) | ||
+ | * z<sub>0</sub><sup>n + 1</sup> = 0, z<sub>N</sub><sup>n + 1</sup> = 0, z<sub>i</sub><sup>0</sup> = 0 | ||
+ | * ψ<sub>i</sub><sup>n</sup> = (u<sub>i + 1</sub><sup>n + 1</sup> − 2u<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> + u<sub>i − 1</sub><sup>n + 1</sup>)/h<sup>2</sup> + f(x<sub>i</sub>, t<sub>n + 1</sub>) − (u<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> − u<sub>i</sub><sup>n</sup>)/τ | ||
+ | |||
+ | '''Задача'''. Доказать, что ψ<sub>i</sub><sup>n</sup> = O(τ + h<sup>2</sup>). | ||
+ | |||
+ | ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> = max<sub>i<sub>0</sub></sub> |z<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n</sup>| | ||
+ | |||
+ | * z<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n + 1</sup> = z<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n</sup> + γ(z<sub>i<sub>0</sub> + 1</sub><sup>n + 1</sup> − 2z<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n + 1</sup> + z<sub>i<sub>0</sub> − 1</sub><sup>n + 1</sup>) + τψ<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n</sup> | ||
+ | * (1 + 2γ)z<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n + 1</sup> = z<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n</sup> + γ(z<sub>i<sub>0</sub> + 1</sub><sup>n + 1</sup> + z<sub>i<sub>0</sub> − 1</sub><sup>n + 1</sup>) + τψ<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n</sup> | ||
+ | * (1 + 2γ)|z<sub>i<sub>0</sub></sub><sup>n + 1</sup>| ≤ ||z<sup>n</sup>||<sub>C</sub> + 2γ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> + τ||ψ<sup>n</sup>||<sub>C</sub> | ||
+ | * (1 + 2γ)||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> ≤ ||z<sup>n</sup>||<sub>C</sub> + 2γ||z<sup>n + 1</sup>||<sub>C</sub> + τ||ψ<sup>n</sup>||<sub>C</sub> | ||
+ | * | ||
+ | //ну задолбался я писать... | ||
+ | |||
+ | {{Численные Методы}} | ||
+ | {{Lection-stub}} |
Текущая версия
Предыдущая лекция | Следующая лекция
Содержание |
[править] Глава 4. Разностные методы решения задач математической физики
[править] Параграф 1. Разностные схемы для первой краевой задачи уроавнения теплопроводности
- x ∈ [0, 1], t ∈ [0, T]
- δu/δt = δ2u/δx2 + f(x, t) (1)
- u(0, t) = μ1(t); u(1, t) = μ2(t), 0 ≤ t ≤ T (2)
- u(x, 0) = u0(x), 0 ≤ x ≤ 1 (3)
[править] Пункт 1. Явная разностная схема
- (yin + 1 − yin)/τ = (yi + 1n − 2yin + yi − 1n)/h2 + f(xi, tj), (xi, tj) ∈ ωτh (4)
- y0n + 1 = μ1(tn + 1); yNn + 1 = μ2(tn + 1), tn + 1 ∈ ω_τ (5)
- yi0 = u0(xi), xi ∈ ω_h (6)
yin + 1 = yin + γ(yi + 1n − 2yin + yi − 1n) + τf(xi, tn), n = 0, 1, …;y01 = μ1(t1); yN1 = μ1(t1)
Разностная схема имеет много достоинств и недостатков. Она проста вреализации, но коварна: она условно-устойчива. Он сходится при жёсткой зависимости размеров шагов: γ = τ/n2
Почти все явные схемы являются условно устойчивыми.
[править] Выяснение погрешности и сходимости
Вводится сеточная функция:
zin = yin − uin — погрешность разностной схемы.
uin = u(xi, tn), ||zn|| → 0, n → ∞; n, τ → 0.
Будем доказывать в сильной норме — в норме C: ||zn|| = ||zn||C = max0 ≤ i ≤ N |zin|
yin = zin + uin
(zin + 1 − zin)/τ = (zi + 1n − 2zin + zi − 1n) + ψin; (xi, tn) ∈ ωτh (7)
- z0n + 1 = 0, zNn + 1 = 0, tn ∈ ω_n
- ψin = (ui + 1n − 2uin + ui − 1n)/h2 + f(xi, tn) − (uin + 1 − uin)/τ (8)
Определение. Сеточная ф-ция (8) называется погрешностью аппроксимации разностной схемы (4)—(6) на решение задачи (1)—(3).
Задача. Доказать, что ψin = O(τ + h2).
Уравнение для погрешности то же, за исключением граничных усолвий (он нулевые для задачи первого рода).
[править] Сходимость
zin + 1 = zin + γ(zi + 1n − 2zin + zi − 1n) + τψin, γ = τ/h2 (9)
- z0n + 1 = 0, zNn + 1 = 0, zi0 = 0
- γ ≤ 0,5 (10)
Жёсткое это условие? Да. Если взять h = 10^&minus2, &rtau; ≤ 0,5 × 10^−2, t = 1 ⇒ 20000 шагов, и это только для одного измерения.
- zin + 1 = (1 − 2γ)zin + γ(zi + 1n + zi − 1n) + τψin
- |zin + 1| ≤ (1 − 2γ)|zin| + γ(|zi + 1n| + |zi − 1n|) + τ|ψin|
- |zin + 1| ≤ (1 − 2γ)||zn||C + γ(||zn||C + ||zn||C) + τ||ψn||C, i = 1…N − 1
- ||zn + 1||C ≤ ||zn||C + ε||ψn||C
- ||zn + 1||C ≤ ||z0||C { = 0 } + τ∑k = 0n||ψn||C (11)
- ||zn + 1||C ≤ τ∑k = 0n||ψn||C
- ∃ m > 0: ||ψk||C ≤ M(τ + h2), M не зависит от τ и h
- ||zn + 1||C ≤ M(τ + h2)∑k = 0n τ = Mtn(τ + h2)
- tn ≤ T
- ||zn + 1||C ≤ M1(τ + h2), M1 = M × T не зависит от τ и h
- τ, h → 0: ||zn + 1|| → 0 ||yn − un||C → 0
[править] Устойчивость
- ||yn + 1||C ≤ ||u0||C + τ∑k = 0n||fk||C (12) — априорная оценка и означает устойчивость решения по нач условию и по правой части. Наличие апр оценки и только её означает наличие устойчивости линейной разностной схемы.
Необходимость. Рассмотрим однор систему уравнений, соответствующую нашей задаче. Покажем, что общее решение неоднородной будет возрастать. Тогда и всё будет возрастать.
- (yin + 1 − yin)/τ = (yi + 1n − 2yin + yi − 1n)/h2 (13)
- yоn = q × eijhφ
- i2 = −1, q ∈ C, &phi ∈ R
- q = 1 + γ(eihφ − 2 = e−ihφ) = 1 + γ(2cos hφ − 2) = 1 + 2γ(cos hφ − 1) = 1 − 4γsin2 hφ/2
- |q| > 1: yin → ∞
- 1 − 4γsin2 hφ/2 < 1
- 4γsin2 hφ/2 > 2
- γ > 1/2
Из этого следует, что данная разностная схема условно устойчива и условна сходящаяся.
[править] Пункт 2. Чисто неявная разностная схема (схема с опережением)
Исходная задача (1)—(3) остаётся.
- (yin + 1 − yin)/τ = (yi + 1n + 1 − 2yin + 1 + yi − 1n + 1)/h2 + f(xi, tn + 1), (xi, tn + 1) ∈ ωτh (4)
- y0n + 1 = μ1(tn + 1); yNn + 1 = μ2(tn + 1), tn + 1 ∈ ω_τ (5)
- yi0 = u0(xi), xi ∈ ω_h (6)
Шаблон:
- yin + 1 = yin + γ(yi + 1n + 1 − 2yin + 1 + yi − 1n +1) + τf(xi, tn + 1)
- γyi − 1n +1 − (1 + 2γ)yin + 1 + γyi + 1n + 1 = −(yin + τf(xi, tn + 1)), i = 1, 2, …, N − 1
Тут надо использовать прогонку.
A = ( | −(1 + 2γ) | γ | 0 | 0 | … | 0 | 0 | ) |
γ | −(1 + 2γ) | γ | 0 | … | 0 | 0 | ||
0 | γ | −(1 + 2γ) | γ | … | 0 | 0 | ||
… |
Это матрица со строгим диагональным преобладанием.
- Решение надо находить методом прогонки
Докажем сходимость: вводим сеточную функцию погрешности
- zin = yin − uin — погрешность разностной схемы.
- (zin + 1 − zin)/τ = (zi + 1n + 1 − 2zin + 1 + zi − 1n + 1) + ψin (7)
- z0n + 1 = 0, zNn + 1 = 0, zi0 = 0
- ψin = (ui + 1n + 1 − 2uin + 1 + ui − 1n + 1)/h2 + f(xi, tn + 1) − (uin + 1 − uin)/τ
Задача. Доказать, что ψin = O(τ + h2).
||zn + 1||C = maxi0 |zi0n|
- zi0n + 1 = zi0n + γ(zi0 + 1n + 1 − 2zi0n + 1 + zi0 − 1n + 1) + τψi0n
- (1 + 2γ)zi0n + 1 = zi0n + γ(zi0 + 1n + 1 + zi0 − 1n + 1) + τψi0n
- (1 + 2γ)|zi0n + 1| ≤ ||zn||C + 2γ||zn + 1||C + τ||ψn||C
- (1 + 2γ)||zn + 1||C ≤ ||zn||C + 2γ||zn + 1||C + τ||ψn||C
//ну задолбался я писать...
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Календарь
|
|
|
Дополнительная информация |
Материалы к экзамену |