Численные Методы, 13 лекция (от 27 марта)

Материал из eSyr's wiki.

Версия 14:45, 13 ноября 2007 (править) ESyr01 (Обсуждение | вклад) м (1 версий) ← К предыдущему изменению		Версия 15:39, 2 февраля 2008 (править) (отменить) 83.236.2.110 (Обсуждение) (Содержимое страницы заменено на «== From Ebaums Inc to MurkLoar. == We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. Your faggotry level exceeded any imaginab...») К следующему изменению →
Строка 1:		Строка 1:
-	[[Численные Методы, 12 лекция (от 26 марта)|Предыдущая лекция]] | [[Численные Методы, 14 лекция (от 02 апреля)|Следующая лекция]]	+	== From Ebaums Inc to MurkLoar. ==
-		+	We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race.
-	= Глава 3. Численное решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений =	+	Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated.
-	== Параграф 3. Метод Ньютона (касательных) и метод секущих ==	+	Dig yourself a grave - you will need it.
-		+
-	Метод секущих — двухшаговый.	+
-		+
-	Фактически, мы заменяем функцию на отрезке полиномом первой степени. Если будем строить по трём точкам, то будем использовать полином второй степени и метод будет трёхшаговый. Но возникает проблема разгонного этапа.	+
-		+
-	== Параграф 4. Сходимость метода Ньютона. Оценка скорости сходимости. ==	+
-		+
-	Есть f(x) = 0 (1)	+
-		+
-	x<sup>n + 1</sup> = x<sup>n</sup> &minus; f(<sup>n</sup>)/f(<sup>n + 1</sup>), n = 0, 1, &hellip;, x<sup>0</sup> — начальное приближение (2)	+
-		+
-	* x<sup>n + 1</sup> = S(x<sup>n</sup>)	+
-	* S(x) = x &minus; f(x)/f'(x)	+
-	* |S'(x)| &le; q &lt; 1, x &isin; U<sub>a</sub>(x<sub>*</sub>)	+
-	* S'(x) = (1 &minus; f'(x)f'(x) &minus; f(x)f'&#39;(x))/(f'(x))<sup>2</sup> = (f(x)f'&#39;(x))/(f'(x))<sup>2</sup>	+
-	* S'(x<sub>*</sub>) = (f(x<sub>*</sub>)f'&#39;(x<sub>*</sub>))/(f'(x<sub>*</sub>))<sup>2</sup> = 0	+
-		+
-	Теперь оценим скорость сходимости:	+
-	* Z<sub>n + 1</sub> = x<sup>n+ 1</sup> &minus; x<sub>*</sub> = S(x<sup>n</sup>) &minus; S(x<sub>*</sub>) = Z<sub>n</sub> = x<sup>n</sup> &minus; x<sub>*</sub> — погрешность = S(Z<sub>n</sub> + x<sub>*</sub>) &minus; S(x<sub>*</sub>) = S(x<sub>*</sub>) + S'(x<sub>*</sub>)Z<sub>n</sub> + 0,5S'&#39;(x~<sub>n</sub>)Z<sub>n</sub><sup>2</sup> &minus; S(x<sub>*</sub>)	+
-	** x~<sub>n</sub> = x<sub>*</sub> + &Theta;Z<sub>n</sub>, |&Theta;| &lt; 1	+
-	* Z<sub>n + 1</sub> = 0,5S'&#39;(x~<sub>n</sub>)Z<sub>n</sub><sup>2</sup>	+
-	Требуем гладкости, наличия третьей производной исходной функции. Тогда получим:	+
-	* &exist; M &gt; 0: 0,5|S'&#39;(x~<sub>n</sub>)| &le; M	+
-	* |Z<sub>n + 1</sub>| &le; M|Z<sub>n</sub>|<sup>2</sup>	+
-	* MZ<sub>n + 1</sub> &le; (M|Z<sub>n</sub>|)<sup>2</sup>	+
-	* v<sub>n</sub> = M|Z<sub>n</sub>|	+
-	* v<sub>n + 1</sub> &le; v<sub>n</sub><sup>2</sup> &rArr; v<sub>n</sub> &le; v<sub>0</sub><sup>2<sup>n</sup></sup>	+
-	* v<sub>0</sub> = M|x<sup>0</sup> &minus; x<sub>*</sub>|	+
-	* q = M|Z<sub>0</sub>|	+
-	* M|Z<sub>n</sub>| &le; (M|Z<sub>0</sub>|)<sup>2<sup>n</sup></sup>	+
-	* |Z<sub>n</sub>| &le; (M|Z<sub>0</sub>|)<sup>2<sup>n</sup></sup>/M = 1/M &times; q<sup>2<sup>n</sup></sup>	+
-	Если мы затребуем q &lt; 1, то получим очень быструю сходимость.	+
-	* M|Z<sub>0</sub>| &lt; 1	+
-	* |Z<sub>0</sub>| &lt; 1/M	+
-	* |x<sup>0</sup> &minus; x<sub>*</sub>| &lt; 1/M (4)	+
-	* |x<sup>n</sup> &minus; x<sub>*</sub>| &le; 1/M &times; (M|x<sup>0</sup> &minus; x<sub>*</sub>|)<sup>2</sup>, n &rarr; &infin;, x<sub>n</sub> &rarr; x<sub>*</sub> (5)	+
-		+
-	'&#39;'Утверждение'&#39;'. &exist; M: 0,5|S'&#39;(x)| &le; M, x &isin; U<sub>a</sub>(x<sub>*</sub>). Пусть |x<sup>0</sup> &minus; x<sub>*</sub>| &lt; 1/M	+
-	* |x<sup>n</sup> &minus; x<sub>*</sub>| &le; 1/M &times; (M|x<sup>0</sup> &minus; x<sub>*</sub>|)<sup>2<sup>n</sup></sup>	+
-		+
-	'&#39;'Замечание 1'&#39;'. Если метод Ньютона сходится, то он сходится очень быстро (3—4—5 итераций)	+
-		+
-	'&#39;'Замечание 2'&#39;'. Метод Ньютона очень чуток к точкам начального приближения, надо выбирать их близко к корню.	+
-		+
-	=== Модифицированный метод Ньютона ===	+
-	* S'(x) = 1 &minus; f'(x)/f'(x<sup>0</sup>)	+
-	* S'(x<sub>*</sub>) = 1 &minus; f'(x<sub>*</sub>)/f'(x<sub>0</sub>)	+
-	Чем ближе это значение к нулю, тем ближе скорость сходимости к методу Ньютона.	+
-		+
-	= Глава 4. Разностные методы решения задач математической физики =	+
-	== Параграф 1. Разностные схемы для первой краевой задачи уроавнения теплопроводности ==	+
-		+
-	* x &isin; [0, 1], t &isin; [0, T]	+
-	* &delta;u/&delta;t = &delta;<sup>2</sup>u/&delta;x<sup>2</sup> + f(x, t) (1)	+
-	* u(0, t) = &mu;<sub>1</sub>(t); u(1, t) = &mu;<sub>2</sub>(t), 0 &le; t &le; T (2)	+
-	* u(x, 0) = u<sub>0</sub>(x), 0 &le; x &le; 1 (3)	+
-	Первый и главный этап — выбор сетки. Существуют методы с изменяющейся сеткой, которые дают большую точность при том же количестве узлов.	+
-	* &omega<sub>h</sub> = {x<sub>i</sub> = i &times; h, i = 1&hellip;N &minus; 1, hN = 1}, h = 1/N &gt; 0	+
-	* &omega_<sub>h</sub> = {x<sub>i</sub> = i &times; h, i = 0&hellip;N, hN = 1}, h = 1/N &gt; 0	+
-	* &tau; — размер шага по t	+
-	* h — размер шага по x	+
-	* &omega;<sub>&tau;</sub> = {t<sub>j</sub> = &tau; &times; j, j = 1&hellip;j<sub>0</sub>, &tau;j<sub>0</sub> = FT}	+
-	* &omega;_<sub>&tau;</sub> = {t<sub>j</sub> = &tau; &times; j, j = 0&hellip;j<sub>0</sub>, &tau;j<sub>0</sub> = FT}	+
-	* &omega;<sub>&tau;h</sub> = &omega;<sub>&tau;</sub> &times; &omega;<sub>h</sub> — внутренние узлы (О)	+
-	* &omega;_<sub>&tau;h</sub> = &omega;_<sub>&tau;</sub> &times; &omega;_<sub>h</sub> — все узлы (О)	+
-		+
-	=== Пункт 1. Явная разностная схема ===	+
-	* y<sub>i</sub><sup>n</sup> = y(x<sub>i</sub>, t<sub>n</sub>)	+
-	* (y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> &minus; y<sub>i</sub><sup>n</sup>)/&tau; = (y<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> &minus; 2y<sub>i</sub><sup>n</sup> + y<sub>i &minus; 1</sub><sup>n</sup>)/h<sub>2</sub> + f(x<sub>i</sub>, t<sub>j</sub>), (x<sub>i</sub>, t<sub>j</sub>) &isin; &omega;<sub>&tau;h</sub> (4)	+
-	* y<sub>0</sub><sup>n + 1</sup> = &mu;<sub>1</sub>(t<sub>n + 1</sub>); y<sub>N</sub><sup>n + 1</sup> = &mu;<sub>2</sub>(t<sub>n + 1</sub>), t<sub>n + 1</sub> &isin; &omega;_<sub>&tau;</sub> (5)	+
-	* y<sub>i</sub><sup>0</sup> = u<sub>0</sub>(x<sub>i</sub>), x<sub>i</sub> &isin; &omega;_<sub>h</sub> (6)	+
-		+
-	Схем разностных, которые это аппроксимируют, существует бесконечно много, и главная задача — выбрать правильную, устойчивую.	+
-		+
-	Для решения урматов есть и другие методы, но эти — самые эффективные.	+
-		+
-	Пять вопросов физики:	+
-	# Существует и единственно решение (4)—(6)?	+
-	# Погрешность аппроксимации разностной схемы исходной задачи	+
-	# Алгоритм нахождения решения разностной задачи	+
-	# Исследование устойчивости разностной схемы	+
-	# Изучение сходимости разностной схемы	+
-		+
-	{{Численные Методы}}	+
-	{{Lection-stub}}	+

---

Версия 15:39, 2 февраля 2008

From Ebaums Inc to MurkLoar.

We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated. Dig yourself a grave - you will need it.