| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| - | [[Численные Методы, 12 лекция (от 26 марта)|Предыдущая лекция]] | [[Численные Методы, 14 лекция (от 02 апреля)|Следующая лекция]]
| + | == From Ebaums Inc to MurkLoar. == |
| - | | + | We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. |
| - | = Глава 3. Численное решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений = | + | Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated. |
| - | == Параграф 3. Метод Ньютона (касательных) и метод секущих ==
| + | Dig yourself a grave - you will need it. |
| - | | + | |
| - | Метод секущих — двухшаговый.
| + | |
| - | | + | |
| - | Фактически, мы заменяем функцию на отрезке полиномом первой степени. Если будем строить по трём точкам, то будем использовать полином второй степени и метод будет трёхшаговый. Но возникает проблема разгонного этапа.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Параграф 4. Сходимость метода Ньютона. Оценка скорости сходимости. ==
| + | |
| - | | + | |
| - | Есть f(x) = 0 (1)
| + | |
| - | | + | |
| - | x<sup>n + 1</sup> = x<sup>n</sup> − f(<sup>n</sup>)/f(<sup>n + 1</sup>), n = 0, 1, …, x<sup>0</sup> — начальное приближение (2)
| + | |
| - | | + | |
| - | * x<sup>n + 1</sup> = S(x<sup>n</sup>)
| + | |
| - | * S(x) = x − f(x)/f'(x)
| + | |
| - | * |S'(x)| ≤ q < 1, x ∈ U<sub>a</sub>(x<sub>*</sub>)
| + | |
| - | * S'(x) = (1 − f'(x)f'(x) − f(x)f''(x))/(f'(x))<sup>2</sup> = (f(x)f''(x))/(f'(x))<sup>2</sup>
| + | |
| - | * S'(x<sub>*</sub>) = (f(x<sub>*</sub>)f''(x<sub>*</sub>))/(f'(x<sub>*</sub>))<sup>2</sup> = 0
| + | |
| - | | + | |
| - | Теперь оценим скорость сходимости:
| + | |
| - | * Z<sub>n + 1</sub> = x<sup>n+ 1</sup> − x<sub>*</sub> = S(x<sup>n</sup>) − S(x<sub>*</sub>) = Z<sub>n</sub> = x<sup>n</sup> − x<sub>*</sub> — погрешность = S(Z<sub>n</sub> + x<sub>*</sub>) − S(x<sub>*</sub>) = S(x<sub>*</sub>) + S'(x<sub>*</sub>)Z<sub>n</sub> + 0,5S''(x~<sub>n</sub>)Z<sub>n</sub><sup>2</sup> − S(x<sub>*</sub>)
| + | |
| - | ** x~<sub>n</sub> = x<sub>*</sub> + ΘZ<sub>n</sub>, |Θ| < 1
| + | |
| - | * Z<sub>n + 1</sub> = 0,5S''(x~<sub>n</sub>)Z<sub>n</sub><sup>2</sup>
| + | |
| - | Требуем гладкости, наличия третьей производной исходной функции. Тогда получим:
| + | |
| - | * ∃ M > 0: 0,5|S''(x~<sub>n</sub>)| ≤ M
| + | |
| - | * |Z<sub>n + 1</sub>| ≤ M|Z<sub>n</sub>|<sup>2</sup>
| + | |
| - | * MZ<sub>n + 1</sub> ≤ (M|Z<sub>n</sub>|)<sup>2</sup>
| + | |
| - | * v<sub>n</sub> = M|Z<sub>n</sub>|
| + | |
| - | * v<sub>n + 1</sub> ≤ v<sub>n</sub><sup>2</sup> ⇒ v<sub>n</sub> ≤ v<sub>0</sub><sup>2<sup>n</sup></sup>
| + | |
| - | * v<sub>0</sub> = M|x<sup>0</sup> − x<sub>*</sub>|
| + | |
| - | * q = M|Z<sub>0</sub>|
| + | |
| - | * M|Z<sub>n</sub>| ≤ (M|Z<sub>0</sub>|)<sup>2<sup>n</sup></sup>
| + | |
| - | * |Z<sub>n</sub>| ≤ (M|Z<sub>0</sub>|)<sup>2<sup>n</sup></sup>/M = 1/M × q<sup>2<sup>n</sup></sup>
| + | |
| - | Если мы затребуем q < 1, то получим очень быструю сходимость.
| + | |
| - | * M|Z<sub>0</sub>| < 1
| + | |
| - | * |Z<sub>0</sub>| < 1/M
| + | |
| - | * |x<sup>0</sup> − x<sub>*</sub>| < 1/M (4)
| + | |
| - | * |x<sup>n</sup> − x<sub>*</sub>| ≤ 1/M × (M|x<sup>0</sup> − x<sub>*</sub>|)<sup>2</sup>, n → ∞, x<sub>n</sub> → x<sub>*</sub> (5)
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Утверждение'''. ∃ M: 0,5|S''(x)| ≤ M, x ∈ U<sub>a</sub>(x<sub>*</sub>). Пусть |x<sup>0</sup> − x<sub>*</sub>| < 1/M
| + | |
| - | * |x<sup>n</sup> − x<sub>*</sub>| ≤ 1/M × (M|x<sup>0</sup> − x<sub>*</sub>|)<sup>2<sup>n</sup></sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Замечание 1'''. Если метод Ньютона сходится, то он сходится очень быстро (3—4—5 итераций)
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Замечание 2'''. Метод Ньютона очень чуток к точкам начального приближения, надо выбирать их близко к корню.
| + | |
| - | | + | |
| - | === Модифицированный метод Ньютона ===
| + | |
| - | * S'(x) = 1 − f'(x)/f'(x<sup>0</sup>)
| + | |
| - | * S'(x<sub>*</sub>) = 1 − f'(x<sub>*</sub>)/f'(x<sub>0</sub>)
| + | |
| - | Чем ближе это значение к нулю, тем ближе скорость сходимости к методу Ньютона.
| + | |
| - | | + | |
| - | = Глава 4. Разностные методы решения задач математической физики =
| + | |
| - | == Параграф 1. Разностные схемы для первой краевой задачи уроавнения теплопроводности ==
| + | |
| - | | + | |
| - | * x ∈ [0, 1], t ∈ [0, T]
| + | |
| - | * δu/δt = δ<sup>2</sup>u/δx<sup>2</sup> + f(x, t) (1)
| + | |
| - | * u(0, t) = μ<sub>1</sub>(t); u(1, t) = μ<sub>2</sub>(t), 0 ≤ t ≤ T (2)
| + | |
| - | * u(x, 0) = u<sub>0</sub>(x), 0 ≤ x ≤ 1 (3)
| + | |
| - | Первый и главный этап — выбор сетки. Существуют методы с изменяющейся сеткой, которые дают большую точность при том же количестве узлов.
| + | |
| - | * &omega<sub>h</sub> = {x<sub>i</sub> = i × h, i = 1…N − 1, hN = 1}, h = 1/N > 0
| + | |
| - | * &omega_<sub>h</sub> = {x<sub>i</sub> = i × h, i = 0…N, hN = 1}, h = 1/N > 0
| + | |
| - | * τ — размер шага по t
| + | |
| - | * h — размер шага по x
| + | |
| - | * ω<sub>τ</sub> = {t<sub>j</sub> = τ × j, j = 1…j<sub>0</sub>, τj<sub>0</sub> = FT}
| + | |
| - | * ω_<sub>τ</sub> = {t<sub>j</sub> = τ × j, j = 0…j<sub>0</sub>, τj<sub>0</sub> = FT}
| + | |
| - | * ω<sub>τh</sub> = ω<sub>τ</sub> × ω<sub>h</sub> — внутренние узлы (О)
| + | |
| - | * ω_<sub>τh</sub> = ω_<sub>τ</sub> × ω_<sub>h</sub> — все узлы (О)
| + | |
| - | | + | |
| - | === Пункт 1. Явная разностная схема ===
| + | |
| - | * y<sub>i</sub><sup>n</sup> = y(x<sub>i</sub>, t<sub>n</sub>)
| + | |
| - | * (y<sub>i</sub><sup>n + 1</sup> − y<sub>i</sub><sup>n</sup>)/τ = (y<sub>i + 1</sub><sup>n</sup> − 2y<sub>i</sub><sup>n</sup> + y<sub>i − 1</sub><sup>n</sup>)/h<sub>2</sub> + f(x<sub>i</sub>, t<sub>j</sub>), (x<sub>i</sub>, t<sub>j</sub>) ∈ ω<sub>τh</sub> (4)
| + | |
| - | * y<sub>0</sub><sup>n + 1</sup> = μ<sub>1</sub>(t<sub>n + 1</sub>); y<sub>N</sub><sup>n + 1</sup> = μ<sub>2</sub>(t<sub>n + 1</sub>), t<sub>n + 1</sub> ∈ ω_<sub>τ</sub> (5)
| + | |
| - | * y<sub>i</sub><sup>0</sup> = u<sub>0</sub>(x<sub>i</sub>), x<sub>i</sub> ∈ ω_<sub>h</sub> (6)
| + | |
| - | | + | |
| - | Схем разностных, которые это аппроксимируют, существует бесконечно много, и главная задача — выбрать правильную, устойчивую.
| + | |
| - | | + | |
| - | Для решения урматов есть и другие методы, но эти — самые эффективные.
| + | |
| - | | + | |
| - | Пять вопросов физики:
| + | |
| - | # Существует и единственно решение (4)—(6)?
| + | |
| - | # Погрешность аппроксимации разностной схемы исходной задачи
| + | |
| - | # Алгоритм нахождения решения разностной задачи
| + | |
| - | # Исследование устойчивости разностной схемы
| + | |
| - | # Изучение сходимости разностной схемы
| + | |
| - | | + | |
| - | {{Численные Методы}}
| + | |
| - | {{Lection-stub}}
| + | |
