Редактирование: Численные Методы, 10 лекция (от 19 марта)

Материал из eSyr's wiki.

Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.

[[Численные Методы, 09 лекция (от 13 марта)|Предыдущая лекция]] | [[Численные Методы, 11 лекция (от 20 марта)|Следующая лекция]]

= Глава 2. Интерполирование и приближение функций =
== Параграф 3. Разделённые разности ==

Доказательство формулы, которая разделённая разность k-го порядка f.

Задача: выразить значение функции в k-м узле через значение функции в 0-м узле и разделённую разность k-го порядка. Решается она несложно.

<div class="comment">Как будто электричка подошла... Общий забег из столовой?</div>

* k = 1:
** f(x0, x1) = f(x0)/(x0 &minus; x1) + f(x1)/(x1 &minus; x0) = (f(x1) &minus; f(x0))/(x1 &minus; x0)
** (x1 &minus; x0) &times; f(x0, x1) = &minus;f(x0) + f(x1)
** f(x1) = f(x0) + (x1 &minus; x0) &times; f(x0, x1) (1)
* k = 2
** f(x0, x1, x2) = f(x0)/((x0 &minus; x1)(x0 &minus; x2)) + f(x1)/((x1 &minus; x0)(x1 &minus; x2)) + f(x2)/((x2 &minus; x0)(x2 &minus; x1))
** ((x2 &minus; x0)(x2 &minus; x1)) &times; f(x0, x1, x2) = (&minus;f(x0)(x2 &minus; x1))/(x0 &minus; x1) { = &gamma;} + (f(x1)(x2 &minus; x0))/(x0 &minus; x1) { = &alpha;} + f(x2)
** &alpha; = (f(x1)(x2 &minus; x0))/(x0 &minus; x1) = (x2 &minus; x0)/(x0 &minus; x1) &times; (f(x0) + (x1 &minus; x0)f(x0, x1)) = ((x2 &minus; x0)f(x0))/(x0 &minus; x1) { = &beta;} &minus; (x2 &minus; x0)f(x0, x1)
** &beta; &minus; &gamma; = f(x0) &times; ((x2 &minus; x0 &minus; x2 + x1)/(x0 &minus; x1)) = &minus;f(x0)
** ((x2 &minus; x0)(x2 &minus; x1)) &times; f(x0, x1, x2) = &minus;f(x0) &minus; (x2 &minus; x0)f(x0, x1) + f(x2) (2)
* По аналогии, общая формула:
** f(xk) = f(x0) + (xk &minus; x0)f(x0, x1) + (xk &minus; x0)(xk &minus; x1)f(x0, x1, x2) + &hellip; + (xk &minus; x0)(xk &minus; x1)&hellip;(xk &minus; xk &minus; 1)f(x0, x1, &hellip;, xk) (3)

== Параграф 4. Интерполяционная формула Ньютона ==

{xi}0N — узлы интерполирования (n + 1 штук). Есть интерполируемая функция f(x), f(xi) = fi, i = 0&hellip;n.

Заменим в (3) xk на x:

Nn(x) = f(x0) + (x &minus; x0)f(x0, x1) + (x &minus; x0)(x &minus; x1)f(x0, x1, x2) + &hellip; + (x &minus; x0)(x &minus; x1)&hellip;(x &minus; xn &minus; 1)f(x0, x1, &hellip;, xn)

Чтобы эта формула была интерполяционной функцией, Nn(xi) = f(xi), i = 0&hellip;n

Nn(xi) = f(x0) + (xi &minus; x0)f(x0, x1) + (xi &minus; x0)(xi &minus; x1)f(x0, x1, x2) + &hellip; + (xi &minus; x0)(xi &minus; x1)&hellip;(xi &minus; xi &minus; 1)f(x0, x1, &hellip;, xi) = f(xi), i = 0&hellip;n

Погрешность та же самая, но записана внешне по-другому:

'''Замечание'''. Когда лучше использовать формулу Ньютона: очевидны два примера, которые показывают, что в одном случае удобно применять Ньютона, в другом — Лагранжа. У нас в Ньютоне всюду стоит функция и её разделённая разность, и она напоминает формулу Тейлора, некий её дискретный аналог, а узлы мы можем увеличивать сколько хотим, и если для специальной функции у нас она рассчитана грубая сетка, и нам надо её интерполировать. Лагранж удобен, когда у нас количество значений фиксировано, например, есть несколько датчиков.

== Параграф 5. Интерполирование с кратными узлами. Интерполяционная формула Эрмита ==

Ранее мы добивались только совпадения значений функций, теперь же будем требовать совпадения производных.

Пусть у нас есть узлы x0, &hellip; xm — m + 1 узел. Информация в узлах такая: в узле может быть задано значение производных:
{|
 |x0
 |x1
 |&hellip;
 |xm
 |-
 |f(x0)
 |f(x1)
 |&hellip;
 |f(xm)
 |-
 |f'(x0)
 |f'(x1)
 |&hellip;
 |f'(xm)
 |-
 |&hellip;
 |-
 |f(a0 &minus; 1)(x0)
 |f(a1 &minus; 1)(x1)
 |&hellip;
 |f(am &minus; 1)(xm)
 |}

* ai &isin; N ( натуральное), i = 0&hellip;m
* ai — кратность i-го узла

Цель: построить Hn(x)

Замечание. Hn(i) = f(i)(xk), k = 0&hellip;m, i = 0&hellip;ak &minus; 1 (1)

При выполнении условия a0 + a1 + &hellip; + am = n + 1 мы можем построить полином Эрмита, причём единственный.

Полином Эрмита строится аналогично полиному Лагранжа.

Общий вид полинома Эрмита:
Hn(x) = &sum;k = 0m &sum;i = 0ak &minus; 1 ck, i(x)f(i)(xk)
* ck, i(x) — полином n-й степени
* xi — различные

В общем виде мы строить не будем, построим H3(x), у которого будет кратным только средний узел. Он потребуется для оценки в квадратурной формуле Гаусса. В чём фишка (тонкость): позволяет получать точную оценку квадратурной формулы.

=== Построение H3(x) ===
{|
 |x0
 |&lt; 
 |x1 
 |&lt; 
 |x2
 |-
 |f(x0)
 | 
 |f(x1)
 | 
 |f(x2)
 |-
 | 
 | 
 |f'(x1)
 |}

Существует несколько способ построения H3(x).

<div class="comment">Пришёл Путин в парикмахерскую. Стрижёт его парикмахерша и напевает «Зюг-Зюг», ножницы клац-клац... Путин не выдерживает и спрашивает: «Что Вы всё Зюг-Зюг напеваете? Про Зюганова, что ли? Знаете, где он у меня?». Она ему отвечает: «Нет, что Вы, Владимир Владимироваич. просто когда я эту песню напеваю, у Вас волосы дыбом встают, и их стричь легко».</div>

H3(x):
* H3(x0) = f(x0)
* H3(x1) = f(x1)
* H3(x2) = f(x2)
* H3'(x1) = f'(x1) (1)

Это получается из Лагранжа путём предельного перехода.

H3(x) будем искать в виде (2):
* H3(x) = c0(x)f(x0) + c1(x)f(x1) + c2(x)f(x2) + b1(x)f'(x1) (2)
* ci(x), bi(x) — многочлены 3-й степени

{|
 |* c0(x0) = 1
 |* c1(x0) = 0
 |* c2(x0) = 0
 |* b1(x0) = 0
 |-
 |* c0(x1) = 0
 |* c1(x1) = 1
 |* c2(x1) = 0
 |* b1(x1) = 0
 |-
 |* c0(x2) = 0
 |* c1(x2) = 0
 |* c2(x2) = 1
 |* b1(x2) = 0
 |-
 |* c0'(x1) = 0
 |* c1'(x1) = 0
 |* c2'(x1) = 0
 |* b1'(x1) = 1
 |}

* c0(x) = k(x &minus; x1)2(x &minus; x2)
* c0(x0) = k(x0 &minus; x1)2(x0 &minus; x2)
Отсюда
* c0(x) = ((x &minus; x1)2(x &minus; x2))/((x0 &minus; x1)2(x0 &minus; x2))
Аналогично
* c2(x) = ((x &minus; x1)2(x &minus; x0))/((x2 &minus; x1)2(x2 &minus; x0))
* b1(x) = b0(x &minus; x0)(x &minus; x1)(x &minus; x2) = b0[(x &minus; x0)(x &minus; x2)](x &minus; x1)
* b1' = b0([ ]'(x &minus; x1) + [])
* b1'(x1) = b0(x1 &minus; x0)(x1 &minus; x2)
* b1(x) = ((x &minus; x0)(x &minus; x1)(x &minus; x2))/((x1 &minus; x0)(x1 &minus; x2))
* c1(x) = (x &minus; x0)(x &minus; x2)(ax + b)
* c1(x1) = 1 = (x1 &minus; x0)(x1 &minus; x2)(ax1 + b)
* c1(x) = [(x &minus; x0)(x &minus; x2)](ax + b)
* c1'(x) = [ ]'(ax + b) + a[ ]
* c1'(x1) = (2x1 &minus; x0 &minus; x2)(ax + b) + a(x1 &minus; x0)(x1 &minus; x2) = 0
* (2x1 &minus; x0 &minus; x2)/((x1 &minus; x0)(x1 &minus; x2)) + a(x1 &minus; x0)(x1 &minus; x2) = 0
* a = &minus;(2x1 &minus; x0 &minus; x2)/((x1 &minus; x0)2(x1 &minus; x2)2)
* b(x1 &minus; x0)(x1 &minus; x2) &minus; (x1(2x1 &minus; x0 &minus; x2))/((x1 &minus; x0)(x1 &minus; x2)) = 1
* b = 1/((x1 &minus; x0)(x1 &minus; x2)) &times; (1 + (x1(2x1 &minus; x0 &minus; x2))/((x1 &minus; x0)2(x1 &minus; x2)2))
* c1(x) = (x &minus; x0)(x &minus; x2)/((x1 &minus; x0)2(x1 &minus; x2)2)) & times; [1 &minus; ((x &minus; x1)(2x1 &minus; x0 &minus; x2))/((x1 &minus; x0)(x1 &minus; x2))]

=== Погрешность интерполяционной формулы H3(x) ===

&omega;(x) = (x &minus; x0)(x &minus; x1)2(x &minus; x2)

Вводим g(s) = f(s) &minus; H3(s) &minus; k&omega;(s), x0 &le; s &le; x2 (3)

Выберем константу k из условия, что в некоторой несовпадающей с узлами точке g(x) = 0: f(x) &minus; H3(x) &minus; k&omega;(x) = 0, то есть k = (f(x) &minus; H3(x))/&omega;(x).

У g(s) видим 4 нуля, то есть по теореме Ролля у первой производной существует не менее 3 нулей, у второй — не менее 2, у третьей — не менее 1, а нам нужна четвёртая. Откуда возмётся ещё один ноль: у производной по теореме Ролля ноль будет не в x1, но он есть из условия, то есть всего у первой производной не мкенее 4 нулей. Тогда существует &xi; &isin; (x0, x2): g(4)(&xi;) = 0.

Пожалуйста, обратите внимание, что все ваши добавления могут быть отредактированы или удалены другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. eSyr's_wiki:Авторское право).
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Описание изменений:

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, использованные на этой странице:

Получено с http://esyr.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B%2C_10_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%28%D0%BE%D1%82_19_%D0%BC%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B0%29

Редактирование: Численные Методы, 10 лекция (от 19 марта)

Материал из eSyr's wiki.

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

инструменты

Разделы

Спецкурсы

9 семестр

7 семестр

5 семестр

3 семестр

Поиск

Инструменты

@@ Строка 108: / Строка 108: @@
 Существует несколько способ построения H<sub>3</sub>(x).
+<div class="comment">Пришёл Путин в парикмахерскую. Стрижёт его парикмахерша и напевает «Зюг-Зюг», ножницы клац-клац... Путин не выдерживает и спрашивает: «Что Вы всё Зюг-Зюг напеваете? Про Зюганова, что ли? Знаете, где он у меня?». Она ему отвечает: «Нет, что Вы, Владимир Владимироваич. просто когда я эту песню напеваю, у Вас волосы дыбом встают, и их стричь легко».</div>
 <!-- педедыв -->