Численные Методы, 08 лекция (от 12 марта)

Материал из eSyr's wiki.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
м (1 версий)
(Содержимое страницы заменено на «== From Ebaums Inc to MurkLoar. == We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. Your faggotry level exceeded any imaginab...»)
Строка 1: Строка 1:
-
[[Численные Методы, 07 лекция (от 06 марта)|Предыдущая лекция]] | [[Численные Методы, 09 лекция (от 13 марта)|Следующая лекция]]
+
== From Ebaums Inc to MurkLoar. ==
-
 
+
We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race.
-
= Глава 1. Численные методы линейной алгебры =
+
Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated.
-
== Параграф 10. Приведение матрицы к почти треугольной форме (к верхней почти треугольной форме — ВПТФ) ==
+
Dig yourself a grave - you will need it.
-
 
+
-
Свойства матрицы H:
+
-
# H = H<sup>T</sup>
+
-
# Матрица ортогональная: H<sup>T</sup> = H<sup>&minus;1</sup>. Доказательство: найдём H<sup>T</sup>H: H<sup>T</sup>H = H<sup>2</sup> = (E &minus; 2(vv<sup>T</sup>)/||v||<sup>2</sup>)(E &minus; 2(vv<sup>T</sup>)/||v||<sup>2</sup>) = E &minus; 2(vv<sup>T</sup>)/||v||<sup>2</sup> &minus; 2(vv<sup>T</sup>)/||v||<sup>2</sup> + 4(vv<sup>T</sup>vv<sup>T</sup>)/||v||<sup>4</sup> = E &minus; 4(vv<sup>T</sup>)/||v||<sup>2</sup> + 4||v||<sup>2</sup>(vv<sup>T</sup>)/||v||<sup>4</sup> = E
+
-
# '''Утверждение'''. Пусть задан &forall; x = (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, &hellip;, x<sub>m</sub>)<sup>T</sup>. Тогда можно выбрать v так, что Hx = (&minus;&sigma;, 0, &hellip;, 0)<sup>T</sup>, где &sigma; = ||x|| = (&sum;<sub>i = 1</sub><sup>m</sup>x<sub>i</sub><sup>2</sup>)<sup>1/2</sup>.
+
-
'''Доказательство'''. Пусть v = x + &sigma;z, (1, 0, 0, &hellip;, 0)<sup>T</sup>. Тогда Hx = x &minus; 2x((x + &sigma;z)(x + &sigma;z)<sup>T</sup>)/((x + &sigma;z)<sup>T</sup>(x + &sigma;z)) = x &minus; (x + &sigma;z) & times; 2(x + &sigma;z)<sup>T</sup>x/((x + &sigma;z)<sup>T</sup>(x + &sigma;z)).
+
-
#* Рассмотрим 2(x + &sigma;z)<sup>T</sup>x. 2(x + &sigma;z)<sup>T</sup>x = 2(||x||<sup>2</sup> + &sigma;x<sub>1</sub>)
+
-
#*(x + &sigma;z)<sup>T</sup>(x + &sigma;z) = ||x||<sup>2</sup> + 2&sigma;x<sub>1</sub> + &sigma;<sup>2</sup> = { &sigma; = ||x|| } = 2(&sigma;<sup>2</sup> + &sigma;x<sub>1</sub>)
+
-
#* Hx = x &minus; x &minus; &sigma;<sup>2</sup> = (&minus;&sigma;, 0, &hellip;, 0)<sup>T</sup>
+
-
 
+
-
=== Построение почти треугольной матрицы ===
+
-
 
+
-
Запишем произволтьную матрицу в блочном виде:
+
-
{|
+
-
|rowspan="2"|A = (
+
-
|a11
+
-
|y<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|rowspan="2"|), y<sub>ij</sub>; i, j = 1&hellip;m
+
-
|-
+
-
|x<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|A<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|}
+
-
* Hx<sub>m &minus; 1</sub> = (&minus;||x<sub>m &minus; 1</sub>||, 0, 0, &hellip;, 0)
+
-
* v<sub>m &minus; 1</sub> = x<sub>m &minus; 1</sub> + ||x<sub>m &minus; 1</sub>||
+
-
Получаем
+
-
{|
+
-
|rowspan="2"|U = (
+
-
|1
+
-
|0<sub>12</sub>
+
-
|rowspan="2"|)
+
-
|-
+
-
|0<sub>21</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|}
+
-
* U<sub>1</sub> = U<sub>1</sub><sup>T</sup>
+
-
** Доказательство:
+
-
{|
+
-
|rowspan="2"|U<sub>1</sub><sup>2</sup> = (
+
-
|1
+
-
|0<sub>12</sub>
+
-
|rowspan="2"|) &times; (
+
-
|1
+
-
|0<sub>12</sub>
+
-
|rowspan="2"|) = (
+
-
|1
+
-
|0<sub>12</sub>
+
-
|rowspan="2"|) = diag(1, ..., 1) = E
+
-
|-
+
-
|0<sub>21</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|0<sub>21</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|0<sub>21</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub><sup>2</sup>
+
-
|}
+
-
* U<sub>1</sub><sup>T</sup> = U<sub>1</sub><sup>T</sup>
+
-
 
+
-
{|
+
-
|rowspan="2"|U<sub>1</sub><sup>&minus;1</sup>A = (
+
-
|1
+
-
|0<sub>12</sub>
+
-
|rowspan="2"|) &times; (
+
-
|a11
+
-
|y<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|rowspan="2"|) = (
+
-
|a11
+
-
|y<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|rowspan="2"|)
+
-
|-
+
-
|0<sub>21</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|x<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|A<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>x<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>A<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|}
+
-
{|
+
-
|rowspan="2"|U<sub>1</sub><sup>&minus;1</sup>AU = (
+
-
|a11
+
-
|y<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|rowspan="2"|) &times; (
+
-
|1
+
-
|0<sub>12</sub>
+
-
|rowspan="2"|) = (
+
-
|a11
+
-
|y<sub>m &minus; 1</sub>H<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|rowspan="2"|) = C<sub>1</sub> = матрица такого вида что первые два элемента в первом столбце не нули, остальные в первом столбце нули, остальные элементы перемешались
+
-
|-
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>x<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>A<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|0<sub>21</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>x<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>A<sub>m &minus; 1</sub>H<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|}
+
-
* Через n &minus; 1 шаг получим почти верхнетреугольную матрицу.
+
-
* x<sub>m &minus; 2</sub> = (c<sub>32</sub><sup>(1)</sup>, c<sub>42</sub><sup>(1)</sup>, &hellip;, c<sub>m2</sub><sup>(1)</sup>)<sup>T</sup>U<sub>1</sub> = H<sub>m &minus; 2</sub>x<sub>m &minus; 2</sub> = (&minus;||x<sub>m &minus; 2</sub>||, 0, &hellip;, 0)<sup>T</sup>
+
-
{|
+
-
|rowspan="4"|U<sub>2</sub> = (
+
-
|1
+
-
|0
+
-
|...
+
-
|0
+
-
|rowspan="4"|)
+
-
|-
+
-
|0
+
-
|1
+
-
|...
+
-
|0
+
-
|-
+
-
|colspan="4"|...
+
-
|-
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|...
+
-
|H<sub>m &minus; 2</sub>
+
-
|}
+
-
* U<sub>2</sub><sup>&minus;1</sup> = U<sub>2</sub><sup>T</sup> = U<sub>2</sub>
+
-
* C<sub>2</sub> = (нули в первом столбце кроме первых двух и во втором кроме первых трёх, остальные не нули)
+
-
* прошло n &minus 1 итераций...
+
-
* C = U<sub>m &minus; 1</sub><sup>&minus;1</sup>U<sub>m &minus; 2</sub><sup>&minus;1</sup>&hellip;U<sub>2</sub><sup>&minus;1</sup>U<sub>1</sub><sup>&minus;1</sup>AU<sub>1</sub>U<sub>2</sub>&hellip;U<sub>m &minus; 2</sub>U<sub>m &minus; 1</sub> = (верхняя почти треугольная)
+
-
* С = U<sup>&minus;1</sup>AU
+
-
 
+
-
'''Замечание 1.''' &lambda;<sub>k</sub><sup>A</sup> = &lambda;<sub>k</sub><sup>C</sup>, k = 1&hellip;m<br />
+
-
'''Доказательство'''.
+
-
* y = U<sup>&minus;1</sup>x
+
-
* x = Uy
+
-
* Ax = &lambda;<sup>A</sup>x, x &ne; 0
+
-
* U<sup>&minus;1</sup>Ax = &lambda;<sup>A</sup>U<sup>&minus;1</sup>x
+
-
* U<sup>&minus;1</sup>AUy = &lambda;<sup>A</sup>y
+
-
* Cy = &lambda;<sup>A</sup>y
+
-
* &lambda;<sup>A</sup> = &lambda;<sup>C</sup>
+
-
 
+
-
'''Замечание 2'''. Пусть A = A<sup>T</sup> &rArr; C = C<sup>T</sup><br />
+
-
'''Доказательство'''.
+
-
* С = U<sup>&minus;1</sup>AU
+
-
* C<sup>T</sup> = (U<sup>&minus;1</sup>AU)<sup>T</sup> = U<sup>T</sup>A<sup>T</sup>(U<sup>&minus;1</sup>)<sup>T</sup> = U<sup>&minus;1</sup>AU = C
+
-
 
+
-
== Параграф 11. Понятие о QR-алгоритме решения полной проблемы собственных значений ==
+
-
 
+
-
&forall; A = Q &times; R, Q<sup>&minus1</sup> = Q<sup>T</sup>, R — верхнетреугольная матрица (1)
+
-
 
+
-
Оказывается, любую матрицу можно представить в виде разложения (1).
+
-
 
+
-
Возьмём x = (a11, ..., am1)<sup>T</sup>. Есть v такое, что H<sub>1</sub>x = (&minus||x||, 0, 0, ..., 0)<sup>T</sup>.
+
-
{|
+
-
|rowspan="4"|H<sub>1</sub>A = (
+
-
|&minus;||x||
+
-
|x
+
-
|...
+
-
|x
+
-
|rowspan="4"|)
+
-
|-
+
-
|0
+
-
|x
+
-
|...
+
-
|x
+
-
|-
+
-
|...
+
-
|-
+
-
|0
+
-
|x
+
-
|...
+
-
|x
+
-
|}
+
-
 
+
-
{|
+
-
|rowspan="5"|H<sub>2</sub>H<sub>1</sub>A = (
+
-
|x
+
-
|x
+
-
|x
+
-
|...
+
-
|x
+
-
|rowspan="5"|)
+
-
|-
+
-
|0
+
-
|x
+
-
|x
+
-
|...
+
-
|x
+
-
|-
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|x
+
-
|...
+
-
|x
+
-
|-
+
-
|...
+
-
|-
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|x
+
-
|...
+
-
|x
+
-
|}
+
-
 
+
-
* Q = H<sub>1</sub>H<sub>2</sub>&hellip;H<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
* Q<sup>&minus;1</sup> = H<sub>m &minus; 1</sub><sup>&minus;1</sup>H<sub>m &minus; 2</sub><sup>&minus;1</sup>&hellip;H<sub>1</sub><sup>&minus;1</sup> = H<sub>m &minus; 1</sub><sup>T</sup>H<sub>m &minus; 2</sub><sup>T</sup>&hellip;H<sub>1</sub><sup>T</sup> = (H<sub>1</sub>H<sub>2</sub>&hellip;H<sub>m &minus; 1</sub>)<sup>T</sup> = Q<sup>T</sup>
+
-
* Q<sup>&minus;1</sup>A = R
+
-
* A = QR
+
-
 
+
-
QR-алгоритм — итерационный метод. Пусть есть A (m &times; m). Обозначим A = A<sub>0</sub>. Тогда мы можем разложить её в виде произведения A<sub>0</sub> = Q<sub>0</sub>R<sub>0</sub>. В качестве матрицы A<sub>1</sub> возьмём R<sub>0</sub>Q<sub>0</sub>. Утверждается, что их собственные значения совпадают.
+
-
* A<sub>1</sub> = Q<sub>0</sub><sup>&minus;1</sup>A<sub>0</sub>Q<sub>0</sub>
+
-
* A<sub>1</sub> = Q<sub>1</sub>R<sub>1</sub>
+
-
* ...
+
-
Предельная матрица сходится (без доказательства).
+
-
* Матрица сходится к одному из двух значений:
+
-
** Если матрица вещественная, то lim<sub>k &rarr; &infin;</sub> A<sub>k</sub> — верхнетреугольная матрица. В этом случае собственные значения лежат на диагонали.
+
-
** Если есть комплексные собственные значения, то на диагонали будут клеточки 2&times;2
+
-
 
+
-
Оценка количества действий:
+
-
* полная — O(m<sup>3</sup>)
+
-
* ВПТФ — O(m<sup>2</sup>)
+
-
* A = A<sup>T</sup> O(m)
+
-
{{Численные Методы}}
+
-
{{Lection-stub}}
+

Версия 15:29, 2 февраля 2008

From Ebaums Inc to MurkLoar.

We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated. Dig yourself a grave - you will need it.

Получено с http://esyr.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B%2C_08_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%28%D0%BE%D1%82_12_%D0%BC%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B0%29
Личные инструменты
Разделы