Редактирование: Численные Методы, 08 лекция (от 12 марта)

Материал из eSyr's wiki.

Перейти к: навигация, поиск

Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.

Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
-
[[Численные Методы, 07 лекция (от 06 марта)|Предыдущая лекция]] | [[Численные Методы, 09 лекция (от 13 марта)|Следующая лекция]]
+
== From Ebaums Inc to MurkLoar. ==
-
 
+
We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race.
-
= Глава 1. Численные методы линейной алгебры =
+
Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated.
-
== Параграф 10. Приведение матрицы к почти треугольной форме (к верхней почти треугольной форме — ВПТФ) ==
+
Dig yourself a grave - you will need it.
-
 
+
-
Свойства матрицы H:
+
-
# H = H<sup>T</sup>
+
-
# Матрица ортогональная: H<sup>T</sup> = H<sup>&minus;1</sup>. Доказательство: найдём H<sup>T</sup>H: H<sup>T</sup>H = H<sup>2</sup> = (E &minus; 2(vv<sup>T</sup>)/||v||<sup>2</sup>)(E &minus; 2(vv<sup>T</sup>)/||v||<sup>2</sup>) = E &minus; 2(vv<sup>T</sup>)/||v||<sup>2</sup> &minus; 2(vv<sup>T</sup>)/||v||<sup>2</sup> + 4(vv<sup>T</sup>vv<sup>T</sup>)/||v||<sup>4</sup> = E &minus; 4(vv<sup>T</sup>)/||v||<sup>2</sup> + 4||v||<sup>2</sup>(vv<sup>T</sup>)/||v||<sup>4</sup> = E
+
-
# '''Утверждение'''. Пусть задан &forall; x = (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, &hellip;, x<sub>m</sub>)<sup>T</sup>. Тогда можно выбрать v так, что Hx = (&minus;&sigma;, 0, &hellip;, 0)<sup>T</sup>, где &sigma; = ||x|| = (&sum;<sub>i = 1</sub><sup>m</sup>x<sub>i</sub><sup>2</sup>)<sup>1/2</sup>.
+
-
'''Доказательство'''. Пусть v = x + &sigma;z, (1, 0, 0, &hellip;, 0)<sup>T</sup>. Тогда Hx = x &minus; 2x((x + &sigma;z)(x + &sigma;z)<sup>T</sup>)/((x + &sigma;z)<sup>T</sup>(x + &sigma;z)) = x &minus; (x + &sigma;z) & times; 2(x + &sigma;z)<sup>T</sup>x/((x + &sigma;z)<sup>T</sup>(x + &sigma;z)).
+
-
#* Рассмотрим 2(x + &sigma;z)<sup>T</sup>x. 2(x + &sigma;z)<sup>T</sup>x = 2(||x||<sup>2</sup> + &sigma;x<sub>1</sub>)
+
-
#*(x + &sigma;z)<sup>T</sup>(x + &sigma;z) = ||x||<sup>2</sup> + 2&sigma;x<sub>1</sub> + &sigma;<sup>2</sup> = { &sigma; = ||x|| } = 2(&sigma;<sup>2</sup> + &sigma;x<sub>1</sub>)
+
-
#* Hx = x &minus; x &minus; &sigma;<sup>2</sup> = (&minus;&sigma;, 0, &hellip;, 0)<sup>T</sup>
+
-
 
+
-
=== Построение почти треугольной матрицы ===
+
-
 
+
-
Запишем произволтьную матрицу в блочном виде:
+
-
{|
+
-
|rowspan="2"|A = (
+
-
|a11
+
-
|y<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|rowspan="2"|), y<sub>ij</sub>; i, j = 1&hellip;m
+
-
|-
+
-
|x<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|A<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|}
+
-
* Hx<sub>m &minus; 1</sub> = (&minus;||x<sub>m &minus; 1</sub>||, 0, 0, &hellip;, 0)
+
-
* v<sub>m &minus; 1</sub> = x<sub>m &minus; 1</sub> + ||x<sub>m &minus; 1</sub>||
+
-
Получаем
+
-
{|
+
-
|rowspan="2"|U = (
+
-
|1
+
-
|0<sub>12</sub>
+
-
|rowspan="2"|)
+
-
|-
+
-
|0<sub>21</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|}
+
-
* U<sub>1</sub> = U<sub>1</sub><sup>T</sup>
+
-
** Доказательство:
+
-
{|
+
-
|rowspan="2"|U<sub>1</sub><sup>2</sup> = (
+
-
|1
+
-
|0<sub>12</sub>
+
-
|rowspan="2"|) &times; (
+
-
|1
+
-
|0<sub>12</sub>
+
-
|rowspan="2"|) = (
+
-
|1
+
-
|0<sub>12</sub>
+
-
|rowspan="2"|) = diag(1, ..., 1) = E
+
-
|-
+
-
|0<sub>21</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|0<sub>21</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|0<sub>21</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub><sup>2</sup>
+
-
|}
+
-
* U<sub>1</sub><sup>T</sup> = U<sub>1</sub><sup>T</sup>
+
-
 
+
-
{|
+
-
|rowspan="2"|U<sub>1</sub><sup>&minus;1</sup>A = (
+
-
|1
+
-
|0<sub>12</sub>
+
-
|rowspan="2"|) &times; (
+
-
|a11
+
-
|y<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|rowspan="2"|) = (
+
-
|a11
+
-
|y<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|rowspan="2"|)
+
-
|-
+
-
|0<sub>21</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|x<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|A<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>x<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>A<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|}
+
-
{|
+
-
|rowspan="2"|U<sub>1</sub><sup>&minus;1</sup>AU = (
+
-
|a11
+
-
|y<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|rowspan="2"|) &times; (
+
-
|1
+
-
|0<sub>12</sub>
+
-
|rowspan="2"|) = (
+
-
|a11
+
-
|y<sub>m &minus; 1</sub>H<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|rowspan="2"|) = C<sub>1</sub> = матрица такого вида что первые два элемента в первом столбце не нули, остальные в первом столбце нули, остальные элементы перемешались
+
-
|-
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>x<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>A<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|0<sub>21</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>x<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|H<sub>m &minus; 1</sub>A<sub>m &minus; 1</sub>H<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
|}
+
-
* Через n &minus; 1 шаг получим почти верхнетреугольную матрицу.
+
-
* x<sub>m &minus; 2</sub> = (c<sub>32</sub><sup>(1)</sup>, c<sub>42</sub><sup>(1)</sup>, &hellip;, c<sub>m2</sub><sup>(1)</sup>)<sup>T</sup>U<sub>1</sub> = H<sub>m &minus; 2</sub>x<sub>m &minus; 2</sub> = (&minus;||x<sub>m &minus; 2</sub>||, 0, &hellip;, 0)<sup>T</sup>
+
-
{|
+
-
|rowspan="4"|U<sub>2</sub> = (
+
-
|1
+
-
|0
+
-
|...
+
-
|0
+
-
|rowspan="4"|)
+
-
|-
+
-
|0
+
-
|1
+
-
|...
+
-
|0
+
-
|-
+
-
|colspan="4"|...
+
-
|-
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|...
+
-
|H<sub>m &minus; 2</sub>
+
-
|}
+
-
* U<sub>2</sub><sup>&minus;1</sup> = U<sub>2</sub><sup>T</sup> = U<sub>2</sub>
+
-
* C<sub>2</sub> = (нули в первом столбце кроме первых двух и во втором кроме первых трёх, остальные не нули)
+
-
* прошло n &minus 1 итераций...
+
-
* C = U<sub>m &minus; 1</sub><sup>&minus;1</sup>U<sub>m &minus; 2</sub><sup>&minus;1</sup>&hellip;U<sub>2</sub><sup>&minus;1</sup>U<sub>1</sub><sup>&minus;1</sup>AU<sub>1</sub>U<sub>2</sub>&hellip;U<sub>m &minus; 2</sub>U<sub>m &minus; 1</sub> = (верхняя почти треугольная)
+
-
* С = U<sup>&minus;1</sup>AU
+
-
 
+
-
'''Замечание 1.''' &lambda;<sub>k</sub><sup>A</sup> = &lambda;<sub>k</sub><sup>C</sup>, k = 1&hellip;m<br />
+
-
'''Доказательство'''.
+
-
* y = U<sup>&minus;1</sup>x
+
-
* x = Uy
+
-
* Ax = &lambda;<sup>A</sup>x, x &ne; 0
+
-
* U<sup>&minus;1</sup>Ax = &lambda;<sup>A</sup>U<sup>&minus;1</sup>x
+
-
* U<sup>&minus;1</sup>AUy = &lambda;<sup>A</sup>y
+
-
* Cy = &lambda;<sup>A</sup>y
+
-
* &lambda;<sup>A</sup> = &lambda;<sup>C</sup>
+
-
 
+
-
'''Замечание 2'''. Пусть A = A<sup>T</sup> &rArr; C = C<sup>T</sup><br />
+
-
'''Доказательство'''.
+
-
* С = U<sup>&minus;1</sup>AU
+
-
* C<sup>T</sup> = (U<sup>&minus;1</sup>AU)<sup>T</sup> = U<sup>T</sup>A<sup>T</sup>(U<sup>&minus;1</sup>)<sup>T</sup> = U<sup>&minus;1</sup>AU = C
+
-
 
+
-
== Параграф 11. Понятие о QR-алгоритме решения полной проблемы собственных значений ==
+
-
 
+
-
&forall; A = Q &times; R, Q<sup>&minus1</sup> = Q<sup>T</sup>, R — верхнетреугольная матрица (1)
+
-
 
+
-
Оказывается, любую матрицу можно представить в виде разложения (1).
+
-
 
+
-
Возьмём x = (a11, ..., am1)<sup>T</sup>. Есть v такое, что H<sub>1</sub>x = (&minus||x||, 0, 0, ..., 0)<sup>T</sup>.
+
-
{|
+
-
|rowspan="4"|H<sub>1</sub>A = (
+
-
|&minus;||x||
+
-
|x
+
-
|...
+
-
|x
+
-
|rowspan="4"|)
+
-
|-
+
-
|0
+
-
|x
+
-
|...
+
-
|x
+
-
|-
+
-
|...
+
-
|-
+
-
|0
+
-
|x
+
-
|...
+
-
|x
+
-
|}
+
-
 
+
-
{|
+
-
|rowspan="5"|H<sub>2</sub>H<sub>1</sub>A = (
+
-
|x
+
-
|x
+
-
|x
+
-
|...
+
-
|x
+
-
|rowspan="5"|)
+
-
|-
+
-
|0
+
-
|x
+
-
|x
+
-
|...
+
-
|x
+
-
|-
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|x
+
-
|...
+
-
|x
+
-
|-
+
-
|...
+
-
|-
+
-
|0
+
-
|0
+
-
|x
+
-
|...
+
-
|x
+
-
|}
+
-
 
+
-
* Q = H<sub>1</sub>H<sub>2</sub>&hellip;H<sub>m &minus; 1</sub>
+
-
* Q<sup>&minus;1</sup> = H<sub>m &minus; 1</sub><sup>&minus;1</sup>H<sub>m &minus; 2</sub><sup>&minus;1</sup>&hellip;H<sub>1</sub><sup>&minus;1</sup> = H<sub>m &minus; 1</sub><sup>T</sup>H<sub>m &minus; 2</sub><sup>T</sup>&hellip;H<sub>1</sub><sup>T</sup> = (H<sub>1</sub>H<sub>2</sub>&hellip;H<sub>m &minus; 1</sub>)<sup>T</sup> = Q<sup>T</sup>
+
-
* Q<sup>&minus;1</sup>A = R
+
-
* A = QR
+
-
 
+
-
QR-алгоритм — итерационный метод. Пусть есть A (m &times; m). Обозначим A = A<sub>0</sub>. Тогда мы можем разложить её в виде произведения A<sub>0</sub> = Q<sub>0</sub>R<sub>0</sub>. В качестве матрицы A<sub>1</sub> возьмём R<sub>0</sub>Q<sub>0</sub>. Утверждается, что их собственные значения совпадают.
+
-
* A<sub>1</sub> = Q<sub>0</sub><sup>&minus;1</sup>A<sub>0</sub>Q<sub>0</sub>
+
-
* A<sub>1</sub> = Q<sub>1</sub>R<sub>1</sub>
+
-
* ...
+
-
Предельная матрица сходится (без доказательства).
+
-
* Матрица сходится к одному из двух значений:
+
-
** Если матрица вещественная, то lim<sub>k &rarr; &infin;</sub> A<sub>k</sub> — верхнетреугольная матрица. В этом случае собственные значения лежат на диагонали.
+
-
** Если есть комплексные собственные значения, то на диагонали будут клеточки 2&times;2
+
-
 
+
-
Оценка количества действий:
+
-
* полная — O(m<sup>3</sup>)
+
-
* ВПТФ — O(m<sup>2</sup>)
+
-
* A = A<sup>T</sup> O(m)
+
-
{{Численные Методы}}
+
-
{{Lection-stub}}
+

Пожалуйста, обратите внимание, что все ваши добавления могут быть отредактированы или удалены другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. eSyr's_wiki:Авторское право).
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!


Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, использованные на этой странице:

Получено с http://esyr.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B%2C_08_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%28%D0%BE%D1%82_12_%D0%BC%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B0%29
Личные инструменты
Разделы