м |
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| - | [[Численные Методы, 04 лекция (от 20 февраля)|Предыдущая лекция]] | [[Численные Методы, 06 лекция (от 05 марта)|Следующая лекция]]
| + | == From Ebaums Inc to MurkLoar. == |
| - | | + | We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. |
| - | = Глава 1. Численные методы линейной алгебры = | + | Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated. |
| - | == Параграф 6. Теоремы о сходимости итерационных методов ==
| + | Dig yourself a grave - you will need it. |
| - | | + | |
| - | '''Следствие 4'''. Пусть ∃ A = A* > 0, 2D > A. Тогда метод Зейделя сходится при любом начальном приближении в среднеквадратичной норме.
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Доказательство.'''
| + | |
| - | * метод Зейделя: (D + R<sub>1</sub>)<sup>(x<sup>n + 1</sup> − x<sup>n</sup>)</sup>/<sub>τ</sub> + Ax<sup>n</sup> = f
| + | |
| - | * B − 0,5τA > 0, τ = 1
| + | |
| - | * D + R<sub>1</sub> = B, τ = 1
| + | |
| - | * D + R<sub>1</sub> > <sup>1</sup>/<sub>2</sub> (R<sub>1</sub> + D + R<sub>2</sub>)
| + | |
| - | * 2D + 2R<sub>1</sub> > R<sub>1</sub> + D + R<sub>2</sub>
| + | |
| - | * D + R<sub>1</sub> − R<sub>2</sub> > 0
| + | |
| - | * ((D + R<sub>1</sub> − R<sub>2</sub>)x, x) > 0
| + | |
| - | * (Dx, x) + (R<sub>1</sub>x, x) − (R<sub>2</sub>x, x) > 0 ⇒ (Dx, x) > 0
| + | |
| - | * R<sub>1</sub> = R<sub>2</sub>*
| + | |
| - | * R<sub>2</sub> = R<sub>1</sub>*
| + | |
| - | * a<sub>ii</sub> > 0, i = <span style="border-top:solid 1px">1, m</span>
| + | |
| - | * (R<sub>1</sub>x, x) = (x, R<sub>1</sub>*x) = (xR<sub>2</sub>, x) = (R<sub>2</sub>x, x)
| + | |
| - | | + | |
| - | чтд
| + | |
| - | | + | |
| - | == Параграф 7. Оценка скорости сходимости итерационных методов ==
| + | |
| - | | + | |
| - | * Ax = f (1)
| + | |
| - | * |A| ≠ 0, A ∈ ℝ<sup>m × m</sup>
| + | |
| - | * B <sup>(x<sup>n + 1</sup> − x<sup>n</sup>)</sup>/<sub>τ</sub> + Ax<sup>n</sup> = f, n ∈ ℕ ∪ {0} (2)
| + | |
| - | * x<sup>0</sup> задано
| + | |
| - | * v<sup>n</sup> = x<sup>n</sup> − x — погрешность
| + | |
| - | * B <sup>(v<sup>n + 1</sup> − v<sup>n</sup>)</sup>/<sub>τ</sub> + Av<sup>n</sup> = 0, n ∈ ℕ ∪ {0} (3)
| + | |
| - | * v<sup>0</sup> = x<sup>0</sup> − x
| + | |
| - | | + | |
| - | Если в какой-либо норме удаётся получить оценку вида
| + | |
| - | * ||v<sup>n + 1</sup>|| ≤ ρ||v<sup>n</sup>||, 0 < ρ < 1 (4)
| + | |
| - | то ||v<sup>n</sup>|| ≤ ρ<sup>n</sup>||v<sup>0</sup>|| → 0 при n → ∞
| + | |
| - | | + | |
| - | * ||x<sup>n</sup> − x|| ≤ ρ<sup>n</sup>||x<sup>0</sup> − x||
| + | |
| - | * ||x<sup>n</sup> − x|| ≤ ε||x<sup>0</sup> − x||
| + | |
| - | * ρ<sup>n</sup> ≤ ε
| + | |
| - | * <sup>1</sup>/<sub>ε</sub> ≤ (<sup>1</sup>/<sub>ρ</sub>)<sup>n</sup>
| + | |
| - | * n ln <sup>1</sup>/<sub>ρ</sub> ≥ ln <sup>1</sup>/<sub>ε</sub>
| + | |
| - | * n ≥ n<sub>0</sub>(ε) = [<sup>ln <sup>1</sup>/<sub>ε</sub></sup>/<sub>ln <sup>1</sup>/<sub>ρ</sub></sub>]
| + | |
| - | | + | |
| - | ln <sup>1</sup>/<sub>ρ</sub> — скорость сходимости итерационного метода
| + | |
| - | | + | |
| - | Пусть H — вещественное пространство, dim H = m
| + | |
| - | * ∀ x, y ∈ H (x, y) = ∑<sub>i = 1</sub><sup>m</sup>x<sub>i</sub>y<sub>i</sub>
| + | |
| - | * ||x|| = (∑<sub>i = 1</sub><sup>m</sup> x<sub>i</sub><sup>2</sup>)<sup><sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | Пусть B = B* > 0
| + | |
| - | | + | |
| - | Энергетическая норма ||x||<sub>B</sub> = (Bx,x)<sup><sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Теорема 4 (об оценке скорости сходимости итерационного метода)'''. Пусть
| + | |
| - | * A = A* > 0
| + | |
| - | * B = B* > 0
| + | |
| - | * 0 < ρ < 1
| + | |
| - | * <sup>1 − ρ</sup>/<sub>τ</sub>B ≤ A ≤ <sup>1 + ρ</sup>/<sub>τ</sub>B (5)
| + | |
| - | Тогда итерационный метод (2) сходится к решению СЛАУ (1) и имеет место оценка ||v<sup>n + 1</sup>||<sub>B</sub> ≤ ρ||v<sup>n</sup>|| (6)
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Доказательство.'''
| + | |
| - | Сходимость:
| + | |
| - | * A ≤ <sup>1 + ρ</sup>/<sub>τ</sub>B
| + | |
| - | * A < <sup>2</sup>/<sub>τ</sub>B
| + | |
| - | * B − 0,5τA > 0
| + | |
| - | | + | |
| - | Оценки:
| + | |
| - | * B <sup>(v<sup>n + 1</sup> − v<sup>n</sup>)</sup>/<sub>τ</sub> + Av<sup>n</sup> = 0 (*)
| + | |
| - | * ∃ B<sup>½</sup>, B<sup>−½</sup>, B<sup>½</sup> = (B<sup>½</sup>)* > 0
| + | |
| - | | + | |
| - | умножим (*) на B<sup>−½</sup> слева:
| + | |
| - | * B<sup>½</sup> <sup>(v<sup>n + 1</sup> − v<sup>n</sup>)</sup>/<sub>τ</sub> + B<sup>−½</sup>Av<sup>n</sup> = 0
| + | |
| - | * z<sup>n</sup> = B<sup>½</sup>v<sup>n</sup>
| + | |
| - | * v<sup>n</sup> = B<sup>−½</sup>z<sup>n</sup>
| + | |
| - | * <sup>z<sup>n + 1</sup> − z<sup>n</sup></sup>/<sub>τ</sub> + B<sup>−½</sup>AB<sup>−½</sup>z<sup>n</sup> = 0
| + | |
| - | * z<sup>n + 1</sup> = z<sup>n</sup> & minus; τB<sup>−½</sup>AB<sup>−½</sup>z<sup>n</sup> = (E − τB<sup>−½</sup>AB<sup>−½</sup>)z<sup>n</sup> = Sz<sup>n</sup>
| + | |
| - | ** S = E − τB<sup>−½</sup>AB<sup>−½</sup> (7)
| + | |
| - | * ||z<sup>n</sup>||<sup>2</sup> = (z<sup>n</sup>, z<sup>n</sup>) = (B<sup>½</sup>v<sup>n</sup>, B<sup>½</sup>v<sup>n</sup>) = (Bv<sup>n</sup>, v<sup>n</sup>) = ||v<sup>n</sup>||<sub>B</sub>
| + | |
| - | | + | |
| - | Покажем, что S — самосопряжённая:
| + | |
| - | * S* = E − τB<sup>−½</sup>AB<sup>−½</sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | <div style="border:dotted 1px; background-color:#eee; font-size:90%; float:right; width:240px; padding:4px; margin:4px">'''Равенство Парсиваля'''
| + | |
| - | Пусть D = D* > 0, ∃ ортонормированный базис из собственных векторов x = ∑<sub>k = 1</sub><sup>m</sup>c<sub>k</sub>e<sub>k</sub>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Тогда равенство Парсиваля есть ||x||<sup>2</sup> = ∑<sub>k = 1</sub><sup>m</sup>c<sub>k</sub><sup>2</sup></div>
| + | |
| - | # Покажем, что все собственные значения матрицы S по модулю не превосходят ρ
| + | |
| - | #: Пусть s<sub>k</sub> — собственное значение, k = <span style="border-top:solid 1px">1, m</span>
| + | |
| - | #:* (E − τB<sup>−½</sup>AB<sup>−½</sup>)x = s<sub>k</sub>x, x ≠ 0
| + | |
| - | #: Домножим на B<sup>½</sup> слева:
| + | |
| - | #:* (B<sup>½</sup> − τAB<sup>−½</sup>)x = s<sub>k</sub>B<sup>½</sup>x
| + | |
| - | #:* y = B<sup>−½</sup>x
| + | |
| - | #:* x = B<sup>½</sup>)y
| + | |
| - | #:* (B − τA)y = s<sub>k</sub>By
| + | |
| - | #:* τAy = (1 − s<sub>k</sub>)By
| + | |
| - | #:* Ay = <sup>(1 − s<sub>k</sub>)</sup>/<sub>τ</sub>By
| + | |
| - | #: Применим оценку (5):
| + | |
| - | #:* <sup>1 − ρ</sup>/<sub>τ</sub>(By, y) ≤ (Ay, y) = <sup>(1 − s<sub>k</sub>)</sup>/<sub>τ</sub>By ≤ <sup>1 + ρ</sup>/<sub>τ</sub>(By, y)
| + | |
| - | #:* (By, y) ≥ 0
| + | |
| - | #:* 1 − ρ ≤ 1 − s<sub>k</sub> ≤ 1 + ρ ⇒ |s<sub>k</sub>| < ρ, k = <span style="border-top:solid 1px">1, m</span>
| + | |
| - | # S = S*
| + | |
| - | #:* {e<sub>k</sub>} — ортонормированный базис из собственных векторов S
| + | |
| - | #:* S<sub>e<sub>k</sub></sub> = s<sub>k</sub>e<sub>k</sub>? k = <span style="border-top:solid 1px">1, m</span>
| + | |
| - | #:* z<sup>n</sup> = ∑<sub>k = 1</sub><sup>m</sup>c<sub>k</sub><sup>(n)</sup>e<sub>k</sub>
| + | |
| - | #:* z<sup>n + 1</sup> = Sz<sup>n</sup> = ∑<sub>k = 1</sub><sup>m</sup>s<sub>k</sub>c<sub>k</sub><sup>(n)</sup>e<sub>k</sub>
| + | |
| - | #:* ||z<sup>n + 1</sup>||<sup>2</sup> = ∑<sub>k = 1</sub><sup>m</sup>s<sub>k</sub><sup>2</sup>(c<sub>k</sub><sup>(n)</sup>)<sup>2</sup>
| + | |
| - | #:* ||z<sup>n + 1</sup>||<sup>2</sup> ≤ ρ<sup>2</sup>∑<sub>k = 1</sub><sup>m</sup>(c<sub>k</sub><sup>(n)</sup>)<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup>||z<sup>n</sup>||<sup>2</sup>
| + | |
| - | #:* ||z<sup>n + 1</sup>|| ≤ ρ||z<sup>n</sup>||
| + | |
| - | #:* ||v<sup>n + 1</sup>||<sub>B</sub> ≤ ρ||v<sup>n</sup>||<sub>B</sub>
| + | |
| - | | + | |
| - | чтд
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Следствие 1.'''
| + | |
| - | * A = A* > 0
| + | |
| - | * B = B* > 0
| + | |
| - | * 0 < ρ < 1
| + | |
| - | * ∃ γ<sub>1</sub> > 0, γ<sub>2</sub> > 0: γ<sub>1</sub>B ≤ A ≤ γ<sub>2</sub>B (8)
| + | |
| - | Тогда
| + | |
| - | * τ = τ<sub>0</sub> = <sup>2</sup>/<sub>γ<sub>1</sub> + γ<sub>2</sub></sub>, ρ = <sup>1 − ξ</sup>/<sub>1 + ξ</sub>, ξ = <sup>γ<sub>1</sub></sup>/<sub>γ<sub>2</sub></sub>
| + | |
| - | | + | |
| - | [[Изображение:Ildar.jpg|thumb|«Ионкин всегда доказывает условие исходя из следствия». Ильдар.]]
| + | |
| - | '''Доказательство:'''
| + | |
| - | | + | |
| - | * <sup>1 − ρ</sup>/<sub>τ</sub> = γ<sub>1</sub>
| + | |
| - | * <sup>1 + ρ</sup>/<sub>τ</sub> = γ<sub>2</sub>
| + | |
| - | * <sup>2</sup>/<sub>τ</sub> = γ<sub>1</sub> + γ<sub>2</sub>
| + | |
| - | * τ = <sup>2</sup>/<sub>γ<sub>1</sub> + γ<sub>2</sub></sub>
| + | |
| - | * γ<sub>1</sub> − γ<sub>2</sub> = <sup>2ρ</sup>/<sub>τ</sub> = ρ(γ<sub>1</sub> + γ<sub>2</sub>)
| + | |
| - | * ρ = <sup>γ<sub>1</sub> − γ<sub>2</sub></sup>/<sub>γ<sub>1</sub> + γ<sub>2</sub></sub> = <sup>1 − <sup>γ<sub>1</sub></sup>/<sub>γ<sub>2</sub></sub></sup>/<sub>1 + <sup>γ<sub>1</sub></sup>/<sub>γ<sub>2</sub></sub></sub> = <sup>1 − ξ</sup>/<sub>1 + ξ</sub>
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Следствие 2.''' Пусть A = a* > 0,
| + | |
| - | * γ<sub>1</sub> = min<sub>1 ≤ k ≤ m</sub> λ<sub>k</sub><sup>A</sup>, > 0 в силу положительной определённости
| + | |
| - | * γ<sub>2</sub> = max<sub>1 ≤ k ≤ m</sub> λ<sub>k</sub><sup>A</sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | Тогда МПИ (x<sup>n+1</sup> − x<sup>n</sup>)/τ + Ax<sup>n</sup> = f, где τ = <sup>2</sup>/<sub>γ<sub>1</sub> + γ<sub>2</sub></sub>, ρ = <sup>1 − ξ</sup>/<sub>1 + ξ</sub>, ξ = <sup>γ<sub>1</sub></sup>/<sub>γ<sub>2</sub></sub> — сходится, имеет место оценка ||x<sup>n</sup> − x|| ≤ ρ||x<sup>n</sup> − x||
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Доказательство.''' аналогично Следствию 1.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Параграф 8. Исследование сходимости ПТИМ ==
| + | |
| - | * Ax = f (1)
| + | |
| - | * |A| ≠ 0, A ∈ ℝ<sup>m × m</sup>
| + | |
| - | * A = R<sub>1</sub> + R<sub>2</sub>,
| + | |
| - | {|style="text-align:center"
| + | |
| - | |
| + | |
| - | {|
| + | |
| - | |rowspan = "3"|R<sub>1</sub> = (
| + | |
| - | |<sup>a<sub>11</sub></sup>/<sub>2</sub>
| + | |
| - | |…
| + | |
| - | |a<sub>ij</sub>
| + | |
| - | |rowspan = "3"|)
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |colspan="3"|⋱
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |…
| + | |
| - | |<sup>a<sub>mm</sub></sup>/<sub>2</sub>
| + | |
| - | |}
| + | |
| - | |
| + | |
| - | {|
| + | |
| - | |rowspan = "3"|R<sub>2</sub> = (
| + | |
| - | ||<sup>a<sub>11</sub></sup>/<sub>2</sub>
| + | |
| - | |…
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |rowspan = "3"|)
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |colspan="3"|⋱
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |a<sub>ij</sub>
| + | |
| - | |…
| + | |
| - | |<sup>a<sub>mm</sub></sup>/<sub>2</sub>
| + | |
| - | |}
| + | |
| - | |}
| + | |
| - | * (E + ωR<sub>1</sub>)(E + ωR<sub>2</sub>)<sup>(x<sup>n+1</sup> − x<sup>n</sup>)</sup>/<sub>τ</sub> + Ax<sup>n</sup> = f, ω, τ > 0, n ∈ ℕ ∪ {0}, x<sup>0</sup> — задано
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Теорема (о сходимости ПТИМ)'''. Пусть A = A* > 0, ω > <sup>τ</sup>/<sub>4</sub>. Тогда ПТИМ сходится в среднеквадратичной норме при любом начальном приближении.
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Доказательство.'''
| + | |
| - | * R<sub>1</sub> = R<sub>2</sub>* (так как A = A*)
| + | |
| - | * B = (E + ωR<sub>2</sub>*)(E + ωR<sub>2</sub>) = E + ω(R<sub>1</sub> + R<sub>2</sub>) + ω<sup>2</sup>R<sub>2</sub>*R<sub>2</sub> = E + ωA + ω<sup>2</sup>R<sub>2</sub>*R<sub>2</sub>
| + | |
| - | * (E − ωR<sub>2</sub>*)(E − ωR<sub>2</sub>) = E − ωA + ω<sup>2</sup>R<sub>2</sub>*R<sub>2</sub>
| + | |
| - | * B = (E − ωR<sub>2</sub>*)(E − ωR<sub>2</sub>) + 2ωA
| + | |
| - | * ((E − ωR<sub>2</sub>*)(E − ωR<sub>2</sub>)x, x) = ((E − ωR<sub>2</sub>*)x, (E − ωR<sub>2</sub>)x) ≥ 0
| + | |
| - | * B ≥ 2ωA
| + | |
| - | * B − 2ωA ≥ 0
| + | |
| - | | + | |
| - | так как ω > <sup>τ</sup>/<sub>4</sub>, то 2ω > 0,5τ
| + | |
| - | * B − 0,5τ > 0
| + | |
| - | | + | |
| - | чтд
| + | |
| - | | + | |
| - | {{Численные Методы}}
| + | |
We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race.
Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated.
Dig yourself a grave - you will need it.
