| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| - | [[Численные Методы, 04 лекция (от 20 февраля)|Предыдущая лекция]] | [[Численные Методы, 06 лекция (от 05 марта)|Следующая лекция]]
| + | == From Ebaums Inc to MurkLoar. == |
| - | | + | We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. |
| - | = Глава 1. Численные методы линейной алгебры = | + | Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated. |
| - | == Параграф 6. Теоремы о сходимости итерационных методов ==
| + | Dig yourself a grave - you will need it. |
| - | | + | |
| - | '''Следствие 4'''. Пусть ∃ A = A* > 0, 2D > A. Тогда метод Зейделя сходится при любом начальном приближении в среднеквадратичной норме.
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Доказательство.'''
| + | |
| - | * метод Зейделя: (D + R<sub>1</sub>)<sup>(x<sup>n + 1</sup> − x<sup>n</sup>)</sup>/<sub>τ</sub> + Ax<sup>n</sup> = f
| + | |
| - | * B − 0,5τA > 0, τ = 1
| + | |
| - | * D + R<sub>1</sub> = B, τ = 1
| + | |
| - | * D + R<sub>1</sub> > <sup>1</sup>/<sub>2</sub> (R<sub>1</sub> + D + R<sub>2</sub>)
| + | |
| - | * 2D + 2R<sub>1</sub> > R<sub>1</sub> + D + R<sub>2</sub>
| + | |
| - | * D + R<sub>1</sub> − R<sub>2</sub> > 0
| + | |
| - | * ((D + R<sub>1</sub> − R<sub>2</sub>)x, x) > 0
| + | |
| - | * (Dx, x) + (R<sub>1</sub>x, x) − (R<sub>2</sub>x, x) > 0 ⇒ (Dx, x) > 0
| + | |
| - | * R<sub>1</sub> = R<sub>2</sub>*
| + | |
| - | * R<sub>2</sub> = R<sub>1</sub>*
| + | |
| - | * a<sub>ii</sub> > 0, i = <span style="border-top:solid 1px">1, m</span>
| + | |
| - | * (R<sub>1</sub>x, x) = (x, R<sub>1</sub>*x) = (xR<sub>2</sub>, x) = (R<sub>2</sub>x, x)
| + | |
| - | | + | |
| - | чтд
| + | |
| - | | + | |
| - | == Параграф 7. Оценка скорости сходимости итерационных методов ==
| + | |
| - | | + | |
| - | * Ax = f (1)
| + | |
| - | * |A| ≠ 0, A ∈ ℝ<sup>m × m</sup>
| + | |
| - | * B <sup>(x<sup>n + 1</sup> − x<sup>n</sup>)</sup>/<sub>τ</sub> + Ax<sup>n</sup> = f, n ∈ ℕ ∪ {0} (2)
| + | |
| - | * x<sup>0</sup> задано
| + | |
| - | * v<sup>n</sup> = x<sup>n</sup> − x — погрешность
| + | |
| - | * B <sup>(v<sup>n + 1</sup> − v<sup>n</sup>)</sup>/<sub>τ</sub> + Av<sup>n</sup> = 0, n ∈ ℕ ∪ {0} (3)
| + | |
| - | * v<sup>0</sup> = x<sup>0</sup> − x
| + | |
| - | | + | |
| - | Если в какой-либо норме удаётся получить оценку вида
| + | |
| - | * ||v<sup>n + 1</sup>|| ≤ ρ||v<sup>n</sup>||, 0 < ρ < 1 (4)
| + | |
| - | то ||v<sup>n</sup>|| ≤ ρ<sup>n</sup>||v<sup>0</sup>|| → 0 при n → ∞
| + | |
| - | | + | |
| - | * ||x<sup>n</sup> − x|| ≤ ρ<sup>n</sup>||x<sup>0</sup> − x||
| + | |
| - | * ||x<sup>n</sup> − x|| ≤ ε||x<sup>0</sup> − x||
| + | |
| - | * ρ<sup>n</sup> ≤ ε
| + | |
| - | * <sup>1</sup>/<sub>ε</sub> ≤ (<sup>1</sup>/<sub>ρ</sub>)<sup>n</sup>
| + | |
| - | * n ln <sup>1</sup>/<sub>ρ</sub> ≥ ln <sup>1</sup>/<sub>ε</sub>
| + | |
| - | * n ≥ n<sub>0</sub>(ε) = [<sup>ln <sup>1</sup>/<sub>ε</sub></sup>/<sub>ln <sup>1</sup>/<sub>ρ</sub></sub>]
| + | |
| - | | + | |
| - | ln <sup>1</sup>/<sub>ρ</sub> — скорость сходимости итерационного метода
| + | |
| - | | + | |
| - | Пусть H — вещественное пространство, dim H = m
| + | |
| - | * ∀ x, y ∈ H (x, y) = ∑<sub>i = 1</sub><sup>m</sup>x<sub>i</sub>y<sub>i</sub>
| + | |
| - | * ||x|| = (∑<sub>i = 1</sub><sup>m</sup> x<sub>i</sub><sup>2</sup>)<sup><sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | Пусть B = B* > 0
| + | |
| - | | + | |
| - | Энергетическая норма ||x||<sub>B</sub> = (Bx,x)<sup><sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Теорема 4 (об оценке скорости сходимости итерационного метода)'''. Пусть
| + | |
| - | * A = A* > 0
| + | |
| - | * B = B* > 0
| + | |
| - | * 0 < ρ < 1
| + | |
| - | * <sup>1 − ρ</sup>/<sub>τ</sub>B ≤ A ≤ <sup>1 + ρ</sup>/<sub>τ</sub>B (5)
| + | |
| - | Тогда итерационный метод (2) сходится к решению СЛАУ (1) и имеет место оценка ||v<sup>n + 1</sup>||<sub>B</sub> ≤ ρ||v<sup>n</sup>|| (6)
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Доказательство.'''
| + | |
| - | Сходимость:
| + | |
| - | * A ≤ <sup>1 + ρ</sup>/<sub>τ</sub>B
| + | |
| - | * A < <sup>2</sup>/<sub>τ</sub>B
| + | |
| - | * B − 0,5τA > 0
| + | |
| - | | + | |
| - | Оценки:
| + | |
| - | * B <sup>(v<sup>n + 1</sup> − v<sup>n</sup>)</sup>/<sub>τ</sub> + Av<sup>n</sup> = 0 (*)
| + | |
| - | * ∃ B<sup>½</sup>, B<sup>−½</sup>, B<sup>½</sup> = (B<sup>½</sup>)* > 0
| + | |
| - | | + | |
| - | умножим (*) на B<sup>−½</sup> слева:
| + | |
| - | * B<sup>½</sup> <sup>(v<sup>n + 1</sup> − v<sup>n</sup>)</sup>/<sub>τ</sub> + B<sup>−½</sup>Av<sup>n</sup> = 0
| + | |
| - | * z<sup>n</sup> = B<sup>½</sup>v<sup>n</sup>
| + | |
| - | * v<sup>n</sup> = B<sup>−½</sup>z<sup>n</sup>
| + | |
| - | * <sup>z<sup>n + 1</sup> − z<sup>n</sup></sup>/<sub>τ</sub> + B<sup>−½</sup>AB<sup>−½</sup>z<sup>n</sup> = 0
| + | |
| - | * z<sup>n + 1</sup> = z<sup>n</sup> & minus; τB<sup>−½</sup>AB<sup>−½</sup>z<sup>n</sup> = (E − τB<sup>−½</sup>AB<sup>−½</sup>)z<sup>n</sup> = Sz<sup>n</sup>
| + | |
| - | ** S = E − τB<sup>−½</sup>AB<sup>−½</sup> (7)
| + | |
| - | * ||z<sup>n</sup>||<sup>2</sup> = (z<sup>n</sup>, z<sup>n</sup>) = (B<sup>½</sup>v<sup>n</sup>, B<sup>½</sup>v<sup>n</sup>) = (Bv<sup>n</sup>, v<sup>n</sup>) = ||v<sup>n</sup>||<sub>B</sub>
| + | |
| - | | + | |
| - | Покажем, что S — самосопряжённая:
| + | |
| - | * S* = E − τB<sup>−½</sup>AB<sup>−½</sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | <div style="border:dotted 1px; background-color:#eee; font-size:90%; float:right; width:240px; padding:4px; margin:4px">'''Равенство Парсиваля'''
| + | |
| - | Пусть D = D* > 0, ∃ ортонормированный базис из собственных векторов x = ∑<sub>k = 1</sub><sup>m</sup>c<sub>k</sub>e<sub>k</sub>.
| + | |
| - | | + | |
| - | Тогда равенство Парсиваля есть ||x||<sup>2</sup> = ∑<sub>k = 1</sub><sup>m</sup>c<sub>k</sub><sup>2</sup></div>
| + | |
| - | # Покажем, что все собственные значения матрицы S по модулю не превосходят ρ
| + | |
| - | #: Пусть s<sub>k</sub> — собственное значение, k = <span style="border-top:solid 1px">1, m</span>
| + | |
| - | #:* (E − τB<sup>−½</sup>AB<sup>−½</sup>)x = s<sub>k</sub>x, x ≠ 0
| + | |
| - | #: Домножим на B<sup>½</sup> слева:
| + | |
| - | #:* (B<sup>½</sup> − τAB<sup>−½</sup>)x = s<sub>k</sub>B<sup>½</sup>x
| + | |
| - | #:* y = B<sup>−½</sup>x
| + | |
| - | #:* x = B<sup>½</sup>)y
| + | |
| - | #:* (B − τA)y = s<sub>k</sub>By
| + | |
| - | #:* τAy = (1 − s<sub>k</sub>)By
| + | |
| - | #:* Ay = <sup>(1 − s<sub>k</sub>)</sup>/<sub>τ</sub>By
| + | |
| - | #: Применим оценку (5):
| + | |
| - | #:* <sup>1 − ρ</sup>/<sub>τ</sub>(By, y) ≤ (Ay, y) = <sup>(1 − s<sub>k</sub>)</sup>/<sub>τ</sub>By ≤ <sup>1 + ρ</sup>/<sub>τ</sub>(By, y)
| + | |
| - | #:* (By, y) ≥ 0
| + | |
| - | #:* 1 − ρ ≤ 1 − s<sub>k</sub> ≤ 1 + ρ ⇒ |s<sub>k</sub>| < ρ, k = <span style="border-top:solid 1px">1, m</span>
| + | |
| - | # S = S*
| + | |
| - | #:* {e<sub>k</sub>} — ортонормированный базис из собственных векторов S
| + | |
| - | #:* S<sub>e<sub>k</sub></sub> = s<sub>k</sub>e<sub>k</sub>? k = <span style="border-top:solid 1px">1, m</span>
| + | |
| - | #:* z<sup>n</sup> = ∑<sub>k = 1</sub><sup>m</sup>c<sub>k</sub><sup>(n)</sup>e<sub>k</sub>
| + | |
| - | #:* z<sup>n + 1</sup> = Sz<sup>n</sup> = ∑<sub>k = 1</sub><sup>m</sup>s<sub>k</sub>c<sub>k</sub><sup>(n)</sup>e<sub>k</sub>
| + | |
| - | #:* ||z<sup>n + 1</sup>||<sup>2</sup> = ∑<sub>k = 1</sub><sup>m</sup>s<sub>k</sub><sup>2</sup>(c<sub>k</sub><sup>(n)</sup>)<sup>2</sup>
| + | |
| - | #:* ||z<sup>n + 1</sup>||<sup>2</sup> ≤ ρ<sup>2</sup>∑<sub>k = 1</sub><sup>m</sup>(c<sub>k</sub><sup>(n)</sup>)<sup>2</sup> = ρ<sup>2</sup>||z<sup>n</sup>||<sup>2</sup>
| + | |
| - | #:* ||z<sup>n + 1</sup>|| ≤ ρ||z<sup>n</sup>||
| + | |
| - | #:* ||v<sup>n + 1</sup>||<sub>B</sub> ≤ ρ||v<sup>n</sup>||<sub>B</sub>
| + | |
| - | | + | |
| - | чтд
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Следствие 1.'''
| + | |
| - | * A = A* > 0
| + | |
| - | * B = B* > 0
| + | |
| - | * 0 < ρ < 1
| + | |
| - | * ∃ γ<sub>1</sub> > 0, γ<sub>2</sub> > 0: γ<sub>1</sub>B ≤ A ≤ γ<sub>2</sub>B (8)
| + | |
| - | Тогда
| + | |
| - | * τ = τ<sub>0</sub> = <sup>2</sup>/<sub>γ<sub>1</sub> + γ<sub>2</sub></sub>, ρ = <sup>1 − ξ</sup>/<sub>1 + ξ</sub>, ξ = <sup>γ<sub>1</sub></sup>/<sub>γ<sub>2</sub></sub>
| + | |
| - | | + | |
| - | [[Изображение:Ildar.jpg|thumb|«Ионкин всегда доказывает условие исходя из следствия». Ильдар.]]
| + | |
| - | '''Доказательство:'''
| + | |
| - | | + | |
| - | * <sup>1 − ρ</sup>/<sub>τ</sub> = γ<sub>1</sub>
| + | |
| - | * <sup>1 + ρ</sup>/<sub>τ</sub> = γ<sub>2</sub>
| + | |
| - | * <sup>2</sup>/<sub>τ</sub> = γ<sub>1</sub> + γ<sub>2</sub>
| + | |
| - | * τ = <sup>2</sup>/<sub>γ<sub>1</sub> + γ<sub>2</sub></sub>
| + | |
| - | * γ<sub>1</sub> − γ<sub>2</sub> = <sup>2ρ</sup>/<sub>τ</sub> = ρ(γ<sub>1</sub> + γ<sub>2</sub>)
| + | |
| - | * ρ = <sup>γ<sub>1</sub> − γ<sub>2</sub></sup>/<sub>γ<sub>1</sub> + γ<sub>2</sub></sub> = <sup>1 − <sup>γ<sub>1</sub></sup>/<sub>γ<sub>2</sub></sub></sup>/<sub>1 + <sup>γ<sub>1</sub></sup>/<sub>γ<sub>2</sub></sub></sub> = <sup>1 − ξ</sup>/<sub>1 + ξ</sub>
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Следствие 2.''' Пусть A = a* > 0,
| + | |
| - | * γ<sub>1</sub> = min<sub>1 ≤ k ≤ m</sub> λ<sub>k</sub><sup>A</sup>, > 0 в силу положительной определённости
| + | |
| - | * γ<sub>2</sub> = max<sub>1 ≤ k ≤ m</sub> λ<sub>k</sub><sup>A</sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | Тогда МПИ (x<sup>n+1</sup> − x<sup>n</sup>)/τ + Ax<sup>n</sup> = f, где τ = <sup>2</sup>/<sub>γ<sub>1</sub> + γ<sub>2</sub></sub>, ρ = <sup>1 − ξ</sup>/<sub>1 + ξ</sub>, ξ = <sup>γ<sub>1</sub></sup>/<sub>γ<sub>2</sub></sub> — сходится, имеет место оценка ||x<sup>n</sup> − x|| ≤ ρ||x<sup>n</sup> − x||
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Доказательство.''' аналогично Следствию 1.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Параграф 8. Исследование сходимости ПТИМ ==
| + | |
| - | * Ax = f (1)
| + | |
| - | * |A| ≠ 0, A ∈ ℝ<sup>m × m</sup>
| + | |
| - | * A = R<sub>1</sub> + R<sub>2</sub>,
| + | |
| - | {|style="text-align:center"
| + | |
| - | |
| + | |
| - | {|
| + | |
| - | |rowspan = "3"|R<sub>1</sub> = (
| + | |
| - | |<sup>a<sub>11</sub></sup>/<sub>2</sub>
| + | |
| - | |…
| + | |
| - | |a<sub>ij</sub>
| + | |
| - | |rowspan = "3"|)
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |colspan="3"|⋱
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |…
| + | |
| - | |<sup>a<sub>mm</sub></sup>/<sub>2</sub>
| + | |
| - | |}
| + | |
| - | |
| + | |
| - | {|
| + | |
| - | |rowspan = "3"|R<sub>2</sub> = (
| + | |
| - | ||<sup>a<sub>11</sub></sup>/<sub>2</sub>
| + | |
| - | |…
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |rowspan = "3"|)
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |colspan="3"|⋱
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |a<sub>ij</sub>
| + | |
| - | |…
| + | |
| - | |<sup>a<sub>mm</sub></sup>/<sub>2</sub>
| + | |
| - | |}
| + | |
| - | |}
| + | |
| - | * (E + ωR<sub>1</sub>)(E + ωR<sub>2</sub>)<sup>(x<sup>n+1</sup> − x<sup>n</sup>)</sup>/<sub>τ</sub> + Ax<sup>n</sup> = f, ω, τ > 0, n ∈ ℕ ∪ {0}, x<sup>0</sup> — задано
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Теорема (о сходимости ПТИМ)'''. Пусть A = A* > 0, ω > <sup>τ</sup>/<sub>4</sub>. Тогда ПТИМ сходится в среднеквадратичной норме при любом начальном приближении.
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Доказательство.'''
| + | |
| - | * R<sub>1</sub> = R<sub>2</sub>* (так как A = A*)
| + | |
| - | * B = (E + ωR<sub>2</sub>*)(E + ωR<sub>2</sub>) = E + ω(R<sub>1</sub> + R<sub>2</sub>) + ω<sup>2</sup>R<sub>2</sub>*R<sub>2</sub> = E + ωA + ω<sup>2</sup>R<sub>2</sub>*R<sub>2</sub>
| + | |
| - | * (E − ωR<sub>2</sub>*)(E − ωR<sub>2</sub>) = E − ωA + ω<sup>2</sup>R<sub>2</sub>*R<sub>2</sub>
| + | |
| - | * B = (E − ωR<sub>2</sub>*)(E − ωR<sub>2</sub>) + 2ωA
| + | |
| - | * ((E − ωR<sub>2</sub>*)(E − ωR<sub>2</sub>)x, x) = ((E − ωR<sub>2</sub>*)x, (E − ωR<sub>2</sub>)x) ≥ 0
| + | |
| - | * B ≥ 2ωA
| + | |
| - | * B − 2ωA ≥ 0
| + | |
| - | | + | |
| - | так как ω > <sup>τ</sup>/<sub>4</sub>, то 2ω > 0,5τ
| + | |
| - | * B − 0,5τ > 0
| + | |
| - | | + | |
| - | чтд
| + | |
| - | | + | |
| - | {{Численные Методы}}
| + | |
