http://esyr.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B%2C_04_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%28%D0%BE%D1%82_20_%D1%84%D0%B5%D0%B2%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8F%29?action=history&feed=atom
Численные Методы, 04 лекция (от 20 февраля) - История изменений
2024-03-28T09:05:38Z
История изменений этой страницы в вики
MediaWiki 1.11.0
http://esyr.org/w/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B%2C_04_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%28%D0%BE%D1%82_20_%D1%84%D0%B5%D0%B2%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8F%29&diff=3972&oldid=prev
ESyr01: Отмена правки № 1469 участника 87.106.188.238 (обсуждение)
2008-02-03T18:11:51Z
<p>Отмена правки № 1469 участника <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D0%B6%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B0%D1%8F:Contributions/87.106.188.238" title="Служебная:Contributions/87.106.188.238">87.106.188.238</a> (<a href="/w/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%83%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0:87.106.188.238&action=edit" class="new" title="Обсуждение участника:87.106.188.238">обсуждение</a>)</p>
<table style="background-color: white; color:black;">
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">← Предыдущая</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">Версия 18:11, 3 февраля 2008</td>
</tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 1:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Строка 1:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>-</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div>== <del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">From Ebaums Inc to MurkLoar</del>. ==</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">[[Численные Методы, 03 лекция (от 19 февраля)|Предыдущая лекция]] | [[Численные Методы, 05 лекция (от 27 февраля)|Следующая лекция]]</ins></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>-</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race</del>.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>-</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Your faggotry level exceeded any imaginable levels</del>, <del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated</del>.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div>= <ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Глава 1. Численные методы линейной алгебры </ins>=</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>-</td><td style="background: #ffa; color:black; font-size: smaller;"><div><del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Dig yourself </del>a <del style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">grave - you will need it</del>.</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">== Параграф 6</ins>. <ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Теоремы о сходимости итерационных методов </ins>==</div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">=== Энергетическая норма ===</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Пусть есть самосопряжённый положительно определённый оператор D&nbsp;=&nbsp;D*&nbsp;>&nbsp;0</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Положительно определённый оператор:</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Есть пространство x &isin; H</ins>. <ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Оператор положительно определённый, если (Dx,&nbsp;x)&nbsp;>&nbsp;0, &forall;&nbsp;x&nbsp;&ne;&nbsp;0.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Неотрицательный оператор: (Dx</ins>,<ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">&nbsp;x)&nbsp;&ge;&nbsp;0, &forall;&nbsp;x&nbsp;&ne;&nbsp;0</ins>.</div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Если оператор положительно определённый, то тогда &exist;&nbsp;&delta;>&nbsp;0: (Dx,&nbsp;x)&nbsp;&ge;&delta;(x,&nbsp;x)</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Теперь мы можем ввести энергетическую норму: ||x||<sub>D</sub>&nbsp;=&nbsp;(Dx,x)<sup><sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Переходит в обычную при D&nbsp;=&nbsp;E.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Оказывается, можно ввести положительную определённость для несамосопряжённого вещественного оператора: если H — вещественный, то D&nbsp;>&nbsp;0: (Dx,&nbsp;x)&nbsp;>&nbsp;0, x&nbsp;&ne;&nbsp;0</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Если D&nbsp;=&nbsp;D*&nbsp;>&nbsp;0, то &exist;&nbsp;D<sup>&minus;1</sup>&nbsp;=&nbsp;(D<sup>&minus;1</sup>)*&nbsp;>&nbsp;0. Кроме того, &exist;&nbsp;D<sup><sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup>&nbsp;=&nbsp;(D<sup><sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup>)*&nbsp;>&nbsp;0, &exist;&nbsp;D<sup>&minus;<sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup>&nbsp;=&nbsp;(D<sup>&minus;<sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup>)*&nbsp;>&nbsp;0.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Задача'''. H — вещественный, D&nbsp;>&nbsp;0. Показать, что (<sup>(D&nbsp;+&nbsp;D*)</sup>/<sub>2</sub>x, x) = (Dx, x), <sup>(D&nbsp;+&nbsp;D*)</sup>/<sub>2</sub> > 0</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Для оценки скорости сходимости введём '''вектор погрешности''': v<sup>n</sup>&nbsp;=&nbsp;x<sup>n</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;x.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">* Ax = f (1)</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">* &exist; A<sup>&minus;1</sup> (m &times; m)</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">* B <sup>(x<sup>n + 1</sup> &minus; x<sup>n</sup>)</sup>/<sub>&tau;</sub> + Ax<sup>n</sup> = f (2)</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">* x<sup>n</sup>&nbsp;=&nbsp;v<sup>n</sup>&nbsp;+&nbsp;x</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">* B (v<sup>n&nbsp;+&nbsp;1</sup> &minus; v<sup>n</sup>)/&tau; + Av<sup>n</sup> = 0 (3)</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">* (v<sup>n&nbsp;+&nbsp;1</sup> &minus; v<sup>n</sup>)/&tau; + B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup> = 0</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">* v<sup>n+1</sup> = v<sup>n</sup> &minus; &tau;B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup> = (E &minus; &tau;B<sup>&minus;1</sup>A)v<sup>n</sup></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">* S = E &minus; &tau;B<sup>&minus;1</sup>A (4)</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Мы получили матрицу перехода, и многое от неё зависит, точнее от её спектра. Чем компактнее спектр, тем лучше сходимость.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Теорема 1'''. Итерационный метод (2) решения системы (1) сходится при любом начальном приближении тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы S по модулю меньше 1: |&lambda;<sub>k</sub><sup>S</sup>|&nbsp;<&nbsp;1. </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Это означает, что оператор S — сжимающий.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">(Доказательство есть в Бахвалове, на лекции не приводилось)</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Далее H — вещественное.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Теорема 2 (Самарского, о достаточном условии сходимости метода (2))'''. Пусть есть A&nbsp;=&nbsp;A*&nbsp;=&nbsp;A<sup>T</sup>&nbsp;>&nbsp;0 (симметрический положительно определённый оператор (матрица)) и выполненно операторное (матричное) неравенство B &minus; 0,5&tau;A&nbsp;>&nbsp;0, &tau;&nbsp;>&nbsp;0 (5). Тогда (2) сходится при любом начальном приближении в среднеквадратичной норме ||x<sup>n</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;x||&nbsp;=&nbsp;(&sum;<sub>i = 1</sub><sup>m</sup> (x<sub>i</sub><sup>n</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;xi)<sup>2</sup>)<sup><sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;0, n&nbsp;&rarr;&nbsp;&infin;.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"><div class="comment">Можно записать условия, которые неконструктивные, которые не проверишь. Проверим: первое условие нормальное, ибо почти всегда матрицы симметрические. На B условие самосопряжённости не накладываем. Таким образом, условия не жёсткие.</div></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Идея доказательства''': введём числовую последовательность, докажем её монотонность, огрограниченность, и получим, что в этой норме вектор сходится к 0.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Доказательство'''. Введём y<sub>n</sub> = (Av<sup>n</sup>, v<sup>n</sup>) &ge; 0. Найдём y<sub>n&nbsp;+&nbsp;1</sub> = (Av<sup>n&nbsp;+&nbsp;1</sup>, v<sup>n&nbsp;+&nbsp;1</sup>) = (A(E &minus; &tau;B<sup>&minus;1</sup>A)v<sup>n</sup>, (E &minus; &tau;B<sup>&minus;1</sup>A)v<sup>n</sup>) = (Av<sup>n</sup>, v<sup>n</sup>) &minus; &tau;((AB<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>, v<sup>n</sup>) + (Av<sup>n</sup>, B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>) &minus; &tau;(AB<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>, B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>)) = (*)</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">(B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>, Av<sup>n</sup>) = (Av<sup>n</sup>, B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>)</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">(*) = y<sub>n</sub> &minus; &tau;(2(Av<sup>n</sup>, B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>) &minus; &tau;(AB<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>, B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>)) = y<sub>n</sub> &minus; 2&tau;((B &minus; 0,5&tau;A)B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>, B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>)</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">((B &minus; 0,5&tau;A)B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>, B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>)&nbsp;&ge;&nbsp;0 &rArr; y<sub>n&nbsp;+&nbsp;1</sub>&nbsp;&le;&nbsp;y<sub>n</sub></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Последовательность невозрастающая и, следовательно, имеет предел.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">&exist; &delta; > 0: ((B &minus; 0,5&tau;A)B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>, B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>)&nbsp;&ge;&nbsp;&delta;||B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>||<sup>2</sup> (на основании задачи)</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">(y<sub>n&nbsp;+&nbsp;1</sub>&nbsp;&minus;&nbsp;y<sub>n</sub>)/&tau; + 2((B &minus; 0,5&tau;A)B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>, B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>)&nbsp;=&nbsp;0</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">В силу задачи можем подставить:</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">(y<sub>n&nbsp;+&nbsp;1</sub>&nbsp;&minus;&nbsp;y<sub>n</sub>)/&tau; + &delta;||B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>||<sup>2</sup>&nbsp;&le;&nbsp;0</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">при n &rarr; &infin;:</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">lim ||B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>|| = 0</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">&omega;<sup>n</sup> = B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">v<sup>n</sup> = A<sup>&minus;1</sup>B&omega;<sup>n</sup></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">||v<sup>n</sup>|| &le; ||A<sup>&minus;1</sup>B|| ||&omega;<sup>n</sup>||</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">lim<sub>n &rarr; &infin;</sub> ||v<sup>n</sup>|| = 0</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">lim<sub>n &rarr; &infin;</sub> ||x<sup>n</sup> &minus; x|| = 0</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">чтд.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Следствие 1'''. Пусть &exist; A&nbsp;=&nbsp;A*&nbsp;>&nbsp;0, 2D&nbsp;>&nbsp;A. Тогда метод Якоби сходится при любом начальном приближении. </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Доказательство'''. </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">* A&nbsp;=&nbsp;R<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;D&nbsp;+&nbsp;R<sub>2</sub></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">* D(x<sup>n&nbsp;+&nbsp;1</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;x<sup>n</sup>)&nbsp;+&nbsp;Ax<sup>n&nbsp;+&nbsp;1</sup>&nbsp;=&nbsp;f</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">* &tau;&nbsp;=&nbsp;1, B&nbsp;=&nbsp;D, </ins>a<ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;"><sub>ii</sub>&nbsp;&ne;&nbsp;0</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">* D&nbsp;&minus;&nbsp;0,5A&nbsp;>&nbsp;0</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">* 2D > A</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">чтд</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Задача'''</ins>. <ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Доказать, что если A&nbsp;=&nbsp;A*&nbsp;>&nbsp;0 &rArr; a<sub>ii</sub>&nbsp;>&nbsp;0, i&nbsp;=&nbsp;1..m</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Следствие 2'''. Пусть &exist; A&nbsp;=&nbsp;A*&nbsp;>&nbsp;0, матрица со строгим диагональным преобладанием: a<sub>ii</sub>&nbsp;>&nbsp;&sum;<sub>j = 1, j &ne; i</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>|, i =1..m (6)</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Доказательство'''. </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">* 2D > A </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">* (Ax, x) = &sum;<sub>i, j = 1</sub><sup>m</sup>a<sub>ij</sub>x<sub>i</sub>x<sub>j</sub> &le; &sum;<sub>i, j = 1</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>| |x<sub>i</sub>| |x<sub>j</sub>| &le; (ab < a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>) &sum;<sub>i, j = 1</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>| |x<sub>i</sub>|<sup>2</sup>/2 + &sum;<sub>i, j = 1</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>| |x<sub>j</sub>|<sup>2</sup>/2 = &sum;<sub>i, j = 1</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>| |x<sub>i</sub>|<sup>2</sup>/2 + &sum;<sub>j, i = 1</sub><sup>m</sup>|a<sub>ji</sub>| |x<sub>i</sub>|<sup>2</sup>/2 = &sum;<sub>i, j = 1</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>| |x<sub>i</sub>|<sup>2</sup> = &sum;<sub>i, = 1</sub><sup>m</sup>(a<sub>ii</sub> + &sum;<sub>j = 1, j &ne; i</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>|) x<sub>i</sub><sup>2</sup> = (**)</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">2a<sub>ii</sub>&nbsp;>&nbsp;a<sub>ii</sub>&nbsp;+&nbsp;&sum;<sub>j = 1, j &ne; i</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>|</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">(**) < 2&sum;<sub>i, = 1</sub><sup>m</sup>a<sub>ii</sub>x<sub>i</sub><sup>2</sup></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">(Ax, x) < 2&sum;<sub>i, = 1</sub><sup>m</sup>a<sub>ii</sub>x<sub>i</sub><sup>2</sup> = 2(Dx, x) &rArr; 2D > A — сходится</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">чтд.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">Метод простой итерации: (x<sup>n + 1</sup>+xn)/&tau; + Ax<sup>n</sup> = f, x<sup>0</sup> — задано</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Следствие 3'''. Пусть &exist; A&nbsp;=&nbsp;A*&nbsp;>&nbsp;0, &gamma;<sub>2</sub> = max<sub>1 &le; x &le; m</sub>&lambda;<sub>k</sub><sup>A</sup> > 0. Тогда 0 < &tau; < 2/&gamma;<sub>2</sub> МПИ сходится при &forall;&nbsp;x<sup>0</sup></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">'''Доказательство'''. Условие преобразуется в E&nbsp;&minus;&nbsp;0,5&tau;A&nbsp;>&nbsp;0, 1&nbsp;&minus;&nbsp;0,5&tau;&lambda;<sub>k</sub><sup>A</sup> > 0, 1 &minus; 0,5&tau;&gamma;<sub>2</sub> > 0, 0 < &tau; < 2/&gamma;<sub>2</sub>.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div> </div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="background: #cfc; color:black; font-size: smaller;"><div><ins style="color: red; font-weight: bold; text-decoration: none;">{{Численные Методы}}</ins></div></td></tr>
</table>
ESyr01
http://esyr.org/w/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B%2C_04_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%28%D0%BE%D1%82_20_%D1%84%D0%B5%D0%B2%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8F%29&diff=1469&oldid=prev
87.106.188.238: Содержимое страницы заменено на «== From Ebaums Inc to MurkLoar. ==
We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race.
Your faggotry level exceeded any imaginab...»
2008-02-02T16:14:56Z
<p>Содержимое страницы заменено на «== From Ebaums Inc to MurkLoar. == We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. Your faggotry level exceeded any imaginab...»</p>
<a href="http://esyr.org/w/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B%2C_04_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%28%D0%BE%D1%82_20_%D1%84%D0%B5%D0%B2%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8F%29&diff=1469&oldid=345">(Различия между версиями)</a>
87.106.188.238
http://esyr.org/w/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B%2C_04_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%28%D0%BE%D1%82_20_%D1%84%D0%B5%D0%B2%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8F%29&diff=345&oldid=prev
ESyr01: 1 версий
2007-11-13T14:45:12Z
<p>1 версий</p>
<table style="background-color: white; color:black;">
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">← Предыдущая</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black;">Версия 14:45, 13 ноября 2007</td>
</tr>
</table>
ESyr01
http://esyr.org/w/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B%2C_04_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%28%D0%BE%D1%82_20_%D1%84%D0%B5%D0%B2%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8F%29&diff=344&oldid=prev
Esyr01 в 17:59, 21 июня 2007
2007-06-21T17:59:38Z
<p></p>
<p><b>Новая статья</b></p><div>[[Численные Методы, 03 лекция (от 19 февраля)|Предыдущая лекция]] | [[Численные Методы, 05 лекция (от 27 февраля)|Следующая лекция]]<br />
<br />
= Глава 1. Численные методы линейной алгебры =<br />
== Параграф 6. Теоремы о сходимости итерационных методов ==<br />
=== Энергетическая норма ===<br />
<br />
Пусть есть самосопряжённый положительно определённый оператор D&nbsp;=&nbsp;D*&nbsp;>&nbsp;0<br />
<br />
Положительно определённый оператор:<br />
Есть пространство x &isin; H. Оператор положительно определённый, если (Dx,&nbsp;x)&nbsp;>&nbsp;0, &forall;&nbsp;x&nbsp;&ne;&nbsp;0.<br />
<br />
Неотрицательный оператор: (Dx,&nbsp;x)&nbsp;&ge;&nbsp;0, &forall;&nbsp;x&nbsp;&ne;&nbsp;0.<br />
<br />
Если оператор положительно определённый, то тогда &exist;&nbsp;&delta;>&nbsp;0: (Dx,&nbsp;x)&nbsp;&ge;&delta;(x,&nbsp;x)<br />
<br />
Теперь мы можем ввести энергетическую норму: ||x||<sub>D</sub>&nbsp;=&nbsp;(Dx,x)<sup><sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup><br />
<br />
Переходит в обычную при D&nbsp;=&nbsp;E.<br />
<br />
Оказывается, можно ввести положительную определённость для несамосопряжённого вещественного оператора: если H — вещественный, то D&nbsp;>&nbsp;0: (Dx,&nbsp;x)&nbsp;>&nbsp;0, x&nbsp;&ne;&nbsp;0<br />
<br />
Если D&nbsp;=&nbsp;D*&nbsp;>&nbsp;0, то &exist;&nbsp;D<sup>&minus;1</sup>&nbsp;=&nbsp;(D<sup>&minus;1</sup>)*&nbsp;>&nbsp;0. Кроме того, &exist;&nbsp;D<sup><sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup>&nbsp;=&nbsp;(D<sup><sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup>)*&nbsp;>&nbsp;0, &exist;&nbsp;D<sup>&minus;<sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup>&nbsp;=&nbsp;(D<sup>&minus;<sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup>)*&nbsp;>&nbsp;0.<br />
<br />
'''Задача'''. H — вещественный, D&nbsp;>&nbsp;0. Показать, что (<sup>(D&nbsp;+&nbsp;D*)</sup>/<sub>2</sub>x, x) = (Dx, x), <sup>(D&nbsp;+&nbsp;D*)</sup>/<sub>2</sub> > 0<br />
<br />
Для оценки скорости сходимости введём '''вектор погрешности''': v<sup>n</sup>&nbsp;=&nbsp;x<sup>n</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;x.<br />
<br />
* Ax = f (1)<br />
* &exist; A<sup>&minus;1</sup> (m &times; m)<br />
* B <sup>(x<sup>n + 1</sup> &minus; x<sup>n</sup>)</sup>/<sub>&tau;</sub> + Ax<sup>n</sup> = f (2)<br />
* x<sup>n</sup>&nbsp;=&nbsp;v<sup>n</sup>&nbsp;+&nbsp;x<br />
* B (v<sup>n&nbsp;+&nbsp;1</sup> &minus; v<sup>n</sup>)/&tau; + Av<sup>n</sup> = 0 (3)<br />
* (v<sup>n&nbsp;+&nbsp;1</sup> &minus; v<sup>n</sup>)/&tau; + B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup> = 0<br />
* v<sup>n+1</sup> = v<sup>n</sup> &minus; &tau;B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup> = (E &minus; &tau;B<sup>&minus;1</sup>A)v<sup>n</sup><br />
* S = E &minus; &tau;B<sup>&minus;1</sup>A (4)<br />
<br />
Мы получили матрицу перехода, и многое от неё зависит, точнее от её спектра. Чем компактнее спектр, тем лучше сходимость.<br />
<br />
'''Теорема 1'''. Итерационный метод (2) решения системы (1) сходится при любом начальном приближении тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы S по модулю меньше 1: |&lambda;<sub>k</sub><sup>S</sup>|&nbsp;<&nbsp;1. <br />
<br />
Это означает, что оператор S — сжимающий.<br />
<br />
(Доказательство есть в Бахвалове, на лекции не приводилось)<br />
<br />
Далее H — вещественное.<br />
<br />
'''Теорема 2 (Самарского, о достаточном условии сходимости метода (2))'''. Пусть есть A&nbsp;=&nbsp;A*&nbsp;=&nbsp;A<sup>T</sup>&nbsp;>&nbsp;0 (симметрический положительно определённый оператор (матрица)) и выполненно операторное (матричное) неравенство B &minus; 0,5&tau;A&nbsp;>&nbsp;0, &tau;&nbsp;>&nbsp;0 (5). Тогда (2) сходится при любом начальном приближении в среднеквадратичной норме ||x<sup>n</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;x||&nbsp;=&nbsp;(&sum;<sub>i = 1</sub><sup>m</sup> (x<sub>i</sub><sup>n</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;xi)<sup>2</sup>)<sup><sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup>&nbsp;&rarr;&nbsp;0, n&nbsp;&rarr;&nbsp;&infin;.<br />
<br />
<div class="comment">Можно записать условия, которые неконструктивные, которые не проверишь. Проверим: первое условие нормальное, ибо почти всегда матрицы симметрические. На B условие самосопряжённости не накладываем. Таким образом, условия не жёсткие.</div><br />
<br />
'''Идея доказательства''': введём числовую последовательность, докажем её монотонность, огрограниченность, и получим, что в этой норме вектор сходится к 0.<br />
<br />
'''Доказательство'''. Введём y<sub>n</sub> = (Av<sup>n</sup>, v<sup>n</sup>) &ge; 0. Найдём y<sub>n&nbsp;+&nbsp;1</sub> = (Av<sup>n&nbsp;+&nbsp;1</sup>, v<sup>n&nbsp;+&nbsp;1</sup>) = (A(E &minus; &tau;B<sup>&minus;1</sup>A)v<sup>n</sup>, (E &minus; &tau;B<sup>&minus;1</sup>A)v<sup>n</sup>) = (Av<sup>n</sup>, v<sup>n</sup>) &minus; &tau;((AB<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>, v<sup>n</sup>) + (Av<sup>n</sup>, B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>) &minus; &tau;(AB<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>, B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>)) = (*)<br />
<br />
(B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>, Av<sup>n</sup>) = (Av<sup>n</sup>, B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>)<br />
<br />
(*) = y<sub>n</sub> &minus; &tau;(2(Av<sup>n</sup>, B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>) &minus; &tau;(AB<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>, B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>)) = y<sub>n</sub> &minus; 2&tau;((B &minus; 0,5&tau;A)B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>, B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>)<br />
<br />
((B &minus; 0,5&tau;A)B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>, B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>)&nbsp;&ge;&nbsp;0 &rArr; y<sub>n&nbsp;+&nbsp;1</sub>&nbsp;&le;&nbsp;y<sub>n</sub><br />
<br />
Последовательность невозрастающая и, следовательно, имеет предел.<br />
<br />
&exist; &delta; > 0: ((B &minus; 0,5&tau;A)B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>, B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>)&nbsp;&ge;&nbsp;&delta;||B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>||<sup>2</sup> (на основании задачи)<br />
<br />
(y<sub>n&nbsp;+&nbsp;1</sub>&nbsp;&minus;&nbsp;y<sub>n</sub>)/&tau; + 2((B &minus; 0,5&tau;A)B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>, B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>)&nbsp;=&nbsp;0<br />
<br />
В силу задачи можем подставить:<br />
(y<sub>n&nbsp;+&nbsp;1</sub>&nbsp;&minus;&nbsp;y<sub>n</sub>)/&tau; + &delta;||B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>||<sup>2</sup>&nbsp;&le;&nbsp;0<br />
<br />
при n &rarr; &infin;:<br />
<br />
lim ||B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup>|| = 0<br />
<br />
&omega;<sup>n</sup> = B<sup>&minus;1</sup>Av<sup>n</sup><br />
<br />
v<sup>n</sup> = A<sup>&minus;1</sup>B&omega;<sup>n</sup><br />
<br />
||v<sup>n</sup>|| &le; ||A<sup>&minus;1</sup>B|| ||&omega;<sup>n</sup>||<br />
<br />
lim<sub>n &rarr; &infin;</sub> ||v<sup>n</sup>|| = 0<br />
<br />
lim<sub>n &rarr; &infin;</sub> ||x<sup>n</sup> &minus; x|| = 0<br />
<br />
чтд.<br />
<br />
'''Следствие 1'''. Пусть &exist; A&nbsp;=&nbsp;A*&nbsp;>&nbsp;0, 2D&nbsp;>&nbsp;A. Тогда метод Якоби сходится при любом начальном приближении. <br />
<br />
'''Доказательство'''. <br />
* A&nbsp;=&nbsp;R<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;D&nbsp;+&nbsp;R<sub>2</sub><br />
* D(x<sup>n&nbsp;+&nbsp;1</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;x<sup>n</sup>)&nbsp;+&nbsp;Ax<sup>n&nbsp;+&nbsp;1</sup>&nbsp;=&nbsp;f<br />
* &tau;&nbsp;=&nbsp;1, B&nbsp;=&nbsp;D, a<sub>ii</sub>&nbsp;&ne;&nbsp;0<br />
* D&nbsp;&minus;&nbsp;0,5A&nbsp;>&nbsp;0<br />
* 2D > A<br />
чтд<br />
<br />
'''Задача'''. Доказать, что если A&nbsp;=&nbsp;A*&nbsp;>&nbsp;0 &rArr; a<sub>ii</sub>&nbsp;>&nbsp;0, i&nbsp;=&nbsp;1..m<br />
<br />
'''Следствие 2'''. Пусть &exist; A&nbsp;=&nbsp;A*&nbsp;>&nbsp;0, матрица со строгим диагональным преобладанием: a<sub>ii</sub>&nbsp;>&nbsp;&sum;<sub>j = 1, j &ne; i</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>|, i =1..m (6)<br />
<br />
'''Доказательство'''. <br />
<br />
* 2D > A <br />
* (Ax, x) = &sum;<sub>i, j = 1</sub><sup>m</sup>a<sub>ij</sub>x<sub>i</sub>x<sub>j</sub> &le; &sum;<sub>i, j = 1</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>| |x<sub>i</sub>| |x<sub>j</sub>| &le; (ab < a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>) &sum;<sub>i, j = 1</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>| |x<sub>i</sub>|<sup>2</sup>/2 + &sum;<sub>i, j = 1</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>| |x<sub>j</sub>|<sup>2</sup>/2 = &sum;<sub>i, j = 1</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>| |x<sub>i</sub>|<sup>2</sup>/2 + &sum;<sub>j, i = 1</sub><sup>m</sup>|a<sub>ji</sub>| |x<sub>i</sub>|<sup>2</sup>/2 = &sum;<sub>i, j = 1</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>| |x<sub>i</sub>|<sup>2</sup> = &sum;<sub>i, = 1</sub><sup>m</sup>(a<sub>ii</sub> + &sum;<sub>j = 1, j &ne; i</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>|) x<sub>i</sub><sup>2</sup> = (**)<br />
<br />
2a<sub>ii</sub>&nbsp;>&nbsp;a<sub>ii</sub>&nbsp;+&nbsp;&sum;<sub>j = 1, j &ne; i</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>|<br />
<br />
(**) < 2&sum;<sub>i, = 1</sub><sup>m</sup>a<sub>ii</sub>x<sub>i</sub><sup>2</sup><br />
<br />
(Ax, x) < 2&sum;<sub>i, = 1</sub><sup>m</sup>a<sub>ii</sub>x<sub>i</sub><sup>2</sup> = 2(Dx, x) &rArr; 2D > A — сходится<br />
<br />
чтд.<br />
<br />
Метод простой итерации: (x<sup>n + 1</sup>+xn)/&tau; + Ax<sup>n</sup> = f, x<sup>0</sup> — задано<br />
<br />
'''Следствие 3'''. Пусть &exist; A&nbsp;=&nbsp;A*&nbsp;>&nbsp;0, &gamma;<sub>2</sub> = max<sub>1 &le; x &le; m</sub>&lambda;<sub>k</sub><sup>A</sup> > 0. Тогда 0 < &tau; < 2/&gamma;<sub>2</sub> МПИ сходится при &forall;&nbsp;x<sup>0</sup><br />
<br />
'''Доказательство'''. Условие преобразуется в E&nbsp;&minus;&nbsp;0,5&tau;A&nbsp;>&nbsp;0, 1&nbsp;&minus;&nbsp;0,5&tau;&lambda;<sub>k</sub><sup>A</sup> > 0, 1 &minus; 0,5&tau;&gamma;<sub>2</sub> > 0, 0 < &tau; < 2/&gamma;<sub>2</sub>.<br />
<br />
{{Численные Методы}}</div>
Esyr01