| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| - | [[Численные Методы, 03 лекция (от 19 февраля)|Предыдущая лекция]] | [[Численные Методы, 05 лекция (от 27 февраля)|Следующая лекция]]
| + | == From Ebaums Inc to MurkLoar. == |
| - | | + | We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. |
| - | = Глава 1. Численные методы линейной алгебры = | + | Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated. |
| - | == Параграф 6. Теоремы о сходимости итерационных методов ==
| + | Dig yourself a grave - you will need it. |
| - | === Энергетическая норма ===
| + | |
| - | | + | |
| - | Пусть есть самосопряжённый положительно определённый оператор D = D* > 0
| + | |
| - | | + | |
| - | Положительно определённый оператор:
| + | |
| - | Есть пространство x ∈ H. Оператор положительно определённый, если (Dx, x) > 0, ∀ x ≠ 0.
| + | |
| - | | + | |
| - | Неотрицательный оператор: (Dx, x) ≥ 0, ∀ x ≠ 0.
| + | |
| - | | + | |
| - | Если оператор положительно определённый, то тогда ∃ δ> 0: (Dx, x) ≥δ(x, x)
| + | |
| - | | + | |
| - | Теперь мы можем ввести энергетическую норму: ||x||<sub>D</sub> = (Dx,x)<sup><sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | Переходит в обычную при D = E.
| + | |
| - | | + | |
| - | Оказывается, можно ввести положительную определённость для несамосопряжённого вещественного оператора: если H — вещественный, то D > 0: (Dx, x) > 0, x ≠ 0
| + | |
| - | | + | |
| - | Если D = D* > 0, то ∃ D<sup>−1</sup> = (D<sup>−1</sup>)* > 0. Кроме того, ∃ D<sup><sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup> = (D<sup><sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup>)* > 0, ∃ D<sup>−<sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup> = (D<sup>−<sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup>)* > 0.
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Задача'''. H — вещественный, D > 0. Показать, что (<sup>(D + D*)</sup>/<sub>2</sub>x, x) = (Dx, x), <sup>(D + D*)</sup>/<sub>2</sub> > 0
| + | |
| - | | + | |
| - | Для оценки скорости сходимости введём '''вектор погрешности''': v<sup>n</sup> = x<sup>n</sup> − x.
| + | |
| - | | + | |
| - | * Ax = f (1)
| + | |
| - | * ∃ A<sup>−1</sup> (m × m)
| + | |
| - | * B <sup>(x<sup>n + 1</sup> − x<sup>n</sup>)</sup>/<sub>τ</sub> + Ax<sup>n</sup> = f (2)
| + | |
| - | * x<sup>n</sup> = v<sup>n</sup> + x
| + | |
| - | * B (v<sup>n + 1</sup> − v<sup>n</sup>)/τ + Av<sup>n</sup> = 0 (3)
| + | |
| - | * (v<sup>n + 1</sup> − v<sup>n</sup>)/τ + B<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup> = 0
| + | |
| - | * v<sup>n+1</sup> = v<sup>n</sup> − τB<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup> = (E − τB<sup>−1</sup>A)v<sup>n</sup>
| + | |
| - | * S = E − τB<sup>−1</sup>A (4)
| + | |
| - | | + | |
| - | Мы получили матрицу перехода, и многое от неё зависит, точнее от её спектра. Чем компактнее спектр, тем лучше сходимость.
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Теорема 1'''. Итерационный метод (2) решения системы (1) сходится при любом начальном приближении тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы S по модулю меньше 1: |λ<sub>k</sub><sup>S</sup>| < 1.
| + | |
| - | | + | |
| - | Это означает, что оператор S — сжимающий.
| + | |
| - | | + | |
| - | (Доказательство есть в Бахвалове, на лекции не приводилось)
| + | |
| - | | + | |
| - | Далее H — вещественное.
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Теорема 2 (Самарского, о достаточном условии сходимости метода (2))'''. Пусть есть A = A* = A<sup>T</sup> > 0 (симметрический положительно определённый оператор (матрица)) и выполненно операторное (матричное) неравенство B − 0,5τA > 0, τ > 0 (5). Тогда (2) сходится при любом начальном приближении в среднеквадратичной норме ||x<sup>n</sup> − x|| = (∑<sub>i = 1</sub><sup>m</sup> (x<sub>i</sub><sup>n</sup> − xi)<sup>2</sup>)<sup><sup>1</sup>/<sub>2</sub></sup> → 0, n → ∞.
| + | |
| - | | + | |
| - | <div class="comment">Можно записать условия, которые неконструктивные, которые не проверишь. Проверим: первое условие нормальное, ибо почти всегда матрицы симметрические. На B условие самосопряжённости не накладываем. Таким образом, условия не жёсткие.</div>
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Идея доказательства''': введём числовую последовательность, докажем её монотонность, огрограниченность, и получим, что в этой норме вектор сходится к 0.
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Доказательство'''. Введём y<sub>n</sub> = (Av<sup>n</sup>, v<sup>n</sup>) ≥ 0. Найдём y<sub>n + 1</sub> = (Av<sup>n + 1</sup>, v<sup>n + 1</sup>) = (A(E − τB<sup>−1</sup>A)v<sup>n</sup>, (E − τB<sup>−1</sup>A)v<sup>n</sup>) = (Av<sup>n</sup>, v<sup>n</sup>) − τ((AB<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup>, v<sup>n</sup>) + (Av<sup>n</sup>, B<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup>) − τ(AB<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup>, B<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup>)) = (*)
| + | |
| - | | + | |
| - | (B<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup>, Av<sup>n</sup>) = (Av<sup>n</sup>, B<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup>)
| + | |
| - | | + | |
| - | (*) = y<sub>n</sub> − τ(2(Av<sup>n</sup>, B<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup>) − τ(AB<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup>, B<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup>)) = y<sub>n</sub> − 2τ((B − 0,5τA)B<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup>, B<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup>)
| + | |
| - | | + | |
| - | ((B − 0,5τA)B<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup>, B<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup>) ≥ 0 ⇒ y<sub>n + 1</sub> ≤ y<sub>n</sub>
| + | |
| - | | + | |
| - | Последовательность невозрастающая и, следовательно, имеет предел.
| + | |
| - | | + | |
| - | ∃ δ > 0: ((B − 0,5τA)B<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup>, B<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup>) ≥ δ||B<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup>||<sup>2</sup> (на основании задачи)
| + | |
| - | | + | |
| - | (y<sub>n + 1</sub> − y<sub>n</sub>)/τ + 2((B − 0,5τA)B<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup>, B<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup>) = 0
| + | |
| - | | + | |
| - | В силу задачи можем подставить:
| + | |
| - | (y<sub>n + 1</sub> − y<sub>n</sub>)/τ + δ||B<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup>||<sup>2</sup> ≤ 0
| + | |
| - | | + | |
| - | при n → ∞:
| + | |
| - | | + | |
| - | lim ||B<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup>|| = 0
| + | |
| - | | + | |
| - | ω<sup>n</sup> = B<sup>−1</sup>Av<sup>n</sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | v<sup>n</sup> = A<sup>−1</sup>Bω<sup>n</sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | ||v<sup>n</sup>|| ≤ ||A<sup>−1</sup>B|| ||ω<sup>n</sup>||
| + | |
| - | | + | |
| - | lim<sub>n → ∞</sub> ||v<sup>n</sup>|| = 0
| + | |
| - | | + | |
| - | lim<sub>n → ∞</sub> ||x<sup>n</sup> − x|| = 0
| + | |
| - | | + | |
| - | чтд.
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Следствие 1'''. Пусть ∃ A = A* > 0, 2D > A. Тогда метод Якоби сходится при любом начальном приближении.
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Доказательство'''.
| + | |
| - | * A = R<sub>1</sub> + D + R<sub>2</sub>
| + | |
| - | * D(x<sup>n + 1</sup> − x<sup>n</sup>) + Ax<sup>n + 1</sup> = f
| + | |
| - | * τ = 1, B = D, a<sub>ii</sub> ≠ 0
| + | |
| - | * D − 0,5A > 0
| + | |
| - | * 2D > A
| + | |
| - | чтд
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Задача'''. Доказать, что если A = A* > 0 ⇒ a<sub>ii</sub> > 0, i = 1..m
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Следствие 2'''. Пусть ∃ A = A* > 0, матрица со строгим диагональным преобладанием: a<sub>ii</sub> > ∑<sub>j = 1, j ≠ i</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>|, i =1..m (6)
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Доказательство'''.
| + | |
| - | | + | |
| - | * 2D > A
| + | |
| - | * (Ax, x) = ∑<sub>i, j = 1</sub><sup>m</sup>a<sub>ij</sub>x<sub>i</sub>x<sub>j</sub> ≤ ∑<sub>i, j = 1</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>| |x<sub>i</sub>| |x<sub>j</sub>| ≤ (ab < a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>) ∑<sub>i, j = 1</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>| |x<sub>i</sub>|<sup>2</sup>/2 + ∑<sub>i, j = 1</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>| |x<sub>j</sub>|<sup>2</sup>/2 = ∑<sub>i, j = 1</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>| |x<sub>i</sub>|<sup>2</sup>/2 + ∑<sub>j, i = 1</sub><sup>m</sup>|a<sub>ji</sub>| |x<sub>i</sub>|<sup>2</sup>/2 = ∑<sub>i, j = 1</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>| |x<sub>i</sub>|<sup>2</sup> = ∑<sub>i, = 1</sub><sup>m</sup>(a<sub>ii</sub> + ∑<sub>j = 1, j ≠ i</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>|) x<sub>i</sub><sup>2</sup> = (**)
| + | |
| - | | + | |
| - | 2a<sub>ii</sub> > a<sub>ii</sub> + ∑<sub>j = 1, j ≠ i</sub><sup>m</sup>|a<sub>ij</sub>|
| + | |
| - | | + | |
| - | (**) < 2∑<sub>i, = 1</sub><sup>m</sup>a<sub>ii</sub>x<sub>i</sub><sup>2</sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | (Ax, x) < 2∑<sub>i, = 1</sub><sup>m</sup>a<sub>ii</sub>x<sub>i</sub><sup>2</sup> = 2(Dx, x) ⇒ 2D > A — сходится
| + | |
| - | | + | |
| - | чтд.
| + | |
| - | | + | |
| - | Метод простой итерации: (x<sup>n + 1</sup>+xn)/τ + Ax<sup>n</sup> = f, x<sup>0</sup> — задано
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Следствие 3'''. Пусть ∃ A = A* > 0, γ<sub>2</sub> = max<sub>1 ≤ x ≤ m</sub>λ<sub>k</sub><sup>A</sup> > 0. Тогда 0 < τ < 2/γ<sub>2</sub> МПИ сходится при ∀ x<sup>0</sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Доказательство'''. Условие преобразуется в E − 0,5τA > 0, 1 − 0,5τλ<sub>k</sub><sup>A</sup> > 0, 1 − 0,5τγ<sub>2</sub> > 0, 0 < τ < 2/γ<sub>2</sub>.
| + | |
| - | | + | |
| - | {{Численные Методы}}
| + | |
