м |
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| - | [[Численные Методы, 01 лекция (от 12 февраля)|Предыдущая лекция]] | [[Численные Методы, 03 лекция (от 19 февраля)|Следующая лекция]]
| + | == From Ebaums Inc to MurkLoar. == |
| - | | + | We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race. |
| - | = Глава 1. Численные методы линейной алгебры = | + | Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated. |
| - | == Параграф 2. Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители (продолжение) ==
| + | Dig yourself a grave - you will need it. |
| - | | + | |
| - | Решение нелинейной системы (3), (4), полученной на [[Численные Методы, 01 лекция (от 12 февраля)|предыдущей лекции]].
| + | |
| - | * c<sub>ij</sub> = <sup>(a<sub>ij</sub> − Σ<sub>l=1</sub><sup>i−1</sup> b<sub>il</sub>×c<sub>lj</sub>)</sup>/<sub>b<sub>ii</sub></sub>, i < j ... (3)
| + | |
| - | * b<sub>ij</sub> = a<sub>ij</sub> − Σ<sub>l=1</sub><sup>j−1</sup> b<sub>il</sub>×c<sub>lj</sub>, i ≥ j ... (4)
| + | |
| - | | + | |
| - | Первый шаг: первая строка C
| + | |
| - | * b<sub>11</sub> = a<sub>11</sub>
| + | |
| - | * c<sub>1j</sub> = <sup>a<sub>1j</sub></sup>/<sub>b<sub>11</sub></sub>, j = <span style="border-top:solid 1px">1…m</span>
| + | |
| - | | + | |
| - | Второй шаг: первый столбец B
| + | |
| - | * b<sub>i1</sub> = a<sub>i1</sub>, i = <span style="border-top:solid 1px">1…m</span>
| + | |
| - | | + | |
| - | Третий шаг: вторая строка C
| + | |
| - | * b<sub>22</sub> = a<sub>22</sub> − b<sub>21</sub> × c<sub>12</sub>
| + | |
| - | * c<sub>2j</sub> = <sup>(a<sub>2j</sub> − b<sub>21</sub>×c<sub>1j</sub>)</sup>/<sub>b<sub>22</sub></sub>, j = <span style="border-top:solid 1px">2…m</span>
| + | |
| - | | + | |
| - | Четвёртый шаг: второй столбец B
| + | |
| - | * b<sub>i2</sub> = a<sub>i2</sub> − b<sub>i1</sub>×c<sub>12</sub>, i = <span style="border-top:solid 1px">2…m</span>
| + | |
| - | | + | |
| - | Таким образом, мы решили нелинейную систему, грамотно организовав алгоритм.
| + | |
| - | | + | |
| - | Факторизация A = B × C (2) осуществляется при b<sub>ii</sub> ≠ 0
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Утверждение'''. Пусть все главные угловые миноры A отличны от 0:
| + | |
| - | {|
| + | |
| - | |A<sub>1</sub> = a<sub>11</sub> ≠ 0
| + | |
| - | |;
| + | |
| - | |
| + | |
| - | {|style="text-align:center"
| + | |
| - | |rowspan="2"|A<sub>2</sub> = (
| + | |
| - | |a<sub>11</sub>
| + | |
| - | |a<sub>12</sub>
| + | |
| - | |rowspan="2"|) ≠ 0
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |a<sub>21</sub>
| + | |
| - | |a<sub>22</sub>
| + | |
| - | |}
| + | |
| - | |;
| + | |
| - | |…;
| + | |
| - | |
| + | |
| - | {|style="text-align:center"
| + | |
| - | |rowspan="3"|A<sub>i</sub> = (
| + | |
| - | |a<sub>11</sub>
| + | |
| - | |...
| + | |
| - | |a<sub>1i</sub>
| + | |
| - | |rowspan="3"|) ≠ 0
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |colspan="3"|...
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |a<sub>i1</sub>
| + | |
| - | |...
| + | |
| - | |a<sub>ii</sub>
| + | |
| - | |}
| + | |
| - | |}
| + | |
| - | Тогда разложение матрицы (2) существует и единственно.
| + | |
| - | | + | |
| - | <div class="comment">Класс задач, где присутствуют симметрические матрицы, достаточно широк</div>
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Доказательство'''.
| + | |
| - | | + | |
| - | ∃! A<sub>i</sub> = B<sub>i</sub> C<sub>i</sub> = b<sub>11</sub> × b<sub>22</sub> × … × b<sub>i − 1,i − 1</sub> × b<sub>ii</sub>
| + | |
| - | | + | |
| - | b<sub>11</sub> × b<sub>22</sub> × … × b<sub>i − 1,i − 1</sub> = A<sub>i − 1</sub>
| + | |
| - | | + | |
| - | b<sub>ii</sub> = <sup>A<sub>i</sub></sup>/<sub>A<sub>i − 1</sub></sub>, i = , i = <span style="border-top:solid 1px">2…m</span>
| + | |
| - | | + | |
| - | ч. т. д.
| + | |
| - | | + | |
| - | === Связь метода Гаусса с разложением A = B × C ===
| + | |
| - | | + | |
| - | В методе Гаусса для того, чтобы свести матрицу к верхнетреугольной матрице с единицами на главной диагонали, требуется <sup>(m<sup>3</sup> − m)</sup>/<sub>3</sub> операций.
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Задача'''. Показать, что для реализации (вычисления) по формулам (3), (4) требуется точно такое же число действий: <sup>(m<sup>3</sup> − m)</sup>/<sub>3</sub> ([[Численные Методы, задачи на лекциях#Задача 1|решение]]).
| + | |
| - | | + | |
| - | В результате факторизации получаем систему BСx = f. Система Ax = f (1) сводится к решению двух уравнений By = f (5), Cx = y (6)
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Число действий для решения (5):'''<br />
| + | |
| - | b<sub>i1</sub>y<sub>1</sub> + b<sub>i2</sub>y<sub>2</sub> + … + b<sub>ii</sub>y<sub>i</sub> = f<sub>i</sub>, i = 1..m<br />
| + | |
| - | y<sub>i</sub> = <sup>(f<sub>i</sub> - Σ<sub>l = 1</sub><sup>i − 1</sup>b<sub>il</sub>y<sub>l</sub>)</sup>/<sub>b<sub>ii</sub></sub><br />
| + | |
| - | i − 1 умножение + 1 деление — '''i''' действий<br />
| + | |
| - | Итого Σ<sub>i = 1</sub><sup>m</sup>i = '''<sup>m(m+1)</sup>/<sub>2</sub>''' действий.<br />
| + | |
| - | В точности то же самое число действий, что требуется для вычисления правой части в методе Гаусса.<br />
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Число действий для решения (6)''':<br />
| + | |
| - | x<sub>i</sub> + C<sub>i, i + 1</sub>x<sub>i+1</sub> + … + C<sub>im</sub>x<sub>m</sub> = y<sub>i</sub>, i = 1..m<br />
| + | |
| - | x<sub>i</sub> = y<sub>i</sub> − Σ<sub>l = i + 1</sub><sup>m</sup>c<sub>il</sub>x<sub>l</sub><br />
| + | |
| - | m − i умножений, i = <span style="border-top:solid 1px">2…m</span><br />
| + | |
| - | Итого '''<sup>m(m − 1)</sup>/<sub>2</sub><br />'''
| + | |
| - | В точности то число действий, которое требуется для обратного хода Гаусса.<br />
| + | |
| - | | + | |
| - | Весь метод Гаусса требует <sup>(m<sup>3</sup> − m)</sup>/<sub>3</sub> + m<sup>2</sup> = <sup>m</sup>/<sub>3</sub> × (m<sup>2</sup> + 3m − 1). В чём же выигрыш? Он будет показан при нахождении обратной матрицы.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Параграф 3. Обращение матрицы методом Гаусса-Жордана ==
| + | |
| - | | + | |
| - | Пусть есть матрица A размера m × m, det A ≠ 0. Тогда для неё существует A<sup>−1</sup>: A<sup>−1</sup> × A = A × A<sup>−1</sup> = E.
| + | |
| - | | + | |
| - | Один из способов нахождения матрицы — нахождение алгебраических дополнений. Один из недостатков в том, что при малом определителе гигантские погрешности. Второй способ в приписывании единичной матрицы и проведения над ней действий трёх видов до получения единичной матрицы слева. Тоже не лучше.
| + | |
| - | | + | |
| - | Метод Гаусса-Жордана:
| + | |
| - | * Обозначим A<sup>−1</sup> = X. Тогда AX = E
| + | |
| - | * Запишем в явном виде:
| + | |
| - | * ∑<sub>l = 1</sub><sup>m</sup>a<sub>il</sub>x<sub>lj</sub> = δ<sub>ij</sub>, i, j = 1..m (2)
| + | |
| - | * m<sup>2</sup> неизвестных, поэтому действий m<sup>6</sup>
| + | |
| - | Сейчас мы покажем, что разумно организовав алгоритм, получим порядка m<sup>3</sup> действий.
| + | |
| - | | + | |
| - | Решение этой системы распадётся на решение m систем, у которых будет меняться только правая часть.
| + | |
| - | | + | |
| - | Введём вектор x<sup>(j)</sup> = (x<sub>1j</sub>, x<sub>2j</sub>, …, x<sub>mj</sub>)<sup>T</sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | Вектор δ<sup>(j)</sup> = (0, 0, …, 0, 1 (j-я позиция), 0, …, 0)
| + | |
| - | | + | |
| - | Тогда Ax<sup>(j)</sup> = δ<sup>(j)</sup>, j = 1..m (3)
| + | |
| - | | + | |
| - | Факторизуем A = B×C. Для этого потребуется <sup>(m<sup>3</sup> − m)</sup>/<sub>3</sub> действий
| + | |
| - | | + | |
| - | Далее решаем 2 системы:
| + | |
| - | | + | |
| - | BCx<sup>(j)</sup> = δ<sup>(j)</sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | Cx<sup>(j)</sup> = y<sup>(j)</sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | * By<sup>(j)</sup> = δ<sup>(j)</sup> (4), j = <span style="border-top:solid 1px">2…m</span>
| + | |
| - | * Cx<sup>(j)</sup> = y<sup>(j)</sup> (5)
| + | |
| - | | + | |
| - | Решение пары таких систем требует m<sup>2</sup> действий, а всего таких систем m. То есть, итого <sup>(m<sup>3</sup> − m)</sup>/<sub>3</sub> + m<sup>3</sup> = <sup>4</sup>/<sub>3</sub> m<sup>3</sup> − <sup>m</sup>/<sub>3</sub>
| + | |
| - | | + | |
| - | Теперь покажем, что число действий можно свести к m<sup>3</sup>. За счёт чего мы можем снизить число действий:
| + | |
| - | | + | |
| - | В уравнении (4) правые части имеют очень специальный вид. Мы в первый раз ненулевую компоненту встретим только на j-м шаге.
| + | |
| - | | + | |
| - | Первое уравнение:
| + | |
| - | * b<sub>11</sub>y<sub>1</sub><sup>(j)</sup> = 0 => y<sub>1</sub><sup>(j)</sup> = 0
| + | |
| - | * b<sub>21</sub>y<sub>1</sub><sup>(j)</sup> + b<sub>22</sub>y<sub>2</sub><sup>(j)</sup> = 0 ⇒ y<sub>2</sub><sup>(j)</sup> = 0
| + | |
| - | * …
| + | |
| - | * y<sub>j − 1</sub><sup>(j)</sup> = 0 (6*)
| + | |
| - | * b<sub>jj</sub>y<sub>j</sub><sup>(j)</sup> = 1 ⇒ y<sub>j</sub><sup>(j)</sup> = <sup>1</sup>/<sub>bjj</sub>
| + | |
| - | * b<sub>ij</sub>y<sub>j</sub><sup>(j)</sup> + b<sub>i, j + 1</sub>y<sub>j + 1</sub><sup>(j)</sup> + … +b<sub>ii</sub>y<sub>i</sub><sup>(j)</sup> = 0, i = j + 1..m
| + | |
| - | * y<sub>i</sub><sup>(j)</sup> = <sup>(Σ<sub>l = j</sub><sup>i − 1</sup>b<sub>il</sub>y<sub>l</sub><sup>(j)</sup>)</sup>/<sub>b<sub>ii</sub></sub>, i = j+1..m (6)
| + | |
| - | | + | |
| - | Пусть i, j фиксированы. Тогда 1 деление и i − j умножений. Отпустим один из индексов, i. Получим:
| + | |
| - | | + | |
| - | * m − j + (m − j − 1) + … + 2 + 1 = <sup>(m − j + 1)(m − j)</sup>/<sub>2</sub> умножений
| + | |
| - | * m − j делений (6) + 1 (6*)
| + | |
| - | * m − j + 1 делений
| + | |
| - | | + | |
| - | Всего при фиксированном j: <sup>(m − j + 1)(m − j)</sup>/<sub>2</sub> + <sup>2(m − j + 1)</sup>/<sub>2</sub> = <sup>(m − j + 1)(m − j + 2)</sup>/<sub>2</sub> умножений и делений.
| + | |
| - | | + | |
| - | Отпускаем j, j = <span style="border-top:solid 1px">2…m</span>. Получим:
| + | |
| - | ∑<sub>j = 1</sub><sup>m</sup>(<sup>(m − j + 1)(m − j + 2)</sup>/<sub>2</sub>) ... (δ)
| + | |
| - | | + | |
| - | '''Задача'''. Показать, что (δ) = m(m+1)(m+2)/6
| + | |
| - | | + | |
| - | Для (5) мы выигрыша получить не можем. Поэтому для (5) при фиксированном j получаем <sup>m(m − 1)</sup>/<sub>2</sub> действий. Для решения всех систем (5) требуется <sup>m<sup>2</sup>(m− 1)</sup>/<sub>2</sub> действий. Итого получаем:
| + | |
| - | | + | |
| - | <sup>(m<sup>3</sup> − m)</sup>/<sub>3</sub> + <sup>m(m + 1)(m + 2)</sup>/<sub>6</sub> + <sup>m<sup>2</sup>(m − 1)</sup>/<sub>2</sub> = <sup>m</sup>/<sub>6</sub> × (2m<sup>2</sup> − 2 + m<sup>2</sup> + 3m + 2 + 3m<sup>2</sup> − 3m) = m<sup>3</sup>
| + | |
| - | | + | |
| - | Таким образом, разумно организовав вычисления, мы получим обратную матрицу за m<sup>3</sup> операций.
| + | |
| - | | + | |
| - | == Параграф 4. Метод квадратного корня ==
| + | |
| - | | + | |
| - | Другое название: метод Холецкого
| + | |
| - | | + | |
| - | Решаем уравнение Ax = f (1)
| + | |
| - | * |A| ≠ 0 (m × m)
| + | |
| - | * A = A* ⇔ a<sub>ij</sub> = <span style="border-top:solid 1px">a<sub>ji</sub></span>
| + | |
| - | * A = A<sup>T</sup> — для вещественных матриц
| + | |
| - | | + | |
| - | Суть метода:
| + | |
| - | | + | |
| - | Факторизуем матрицу A в виде A = S*DS (2)
| + | |
| - | {|style="text-align:center"
| + | |
| - | |
| + | |
| - | |s<sub>11</sub>
| + | |
| - | |s<sub>12</sub>
| + | |
| - | |s<sub>13</sub>
| + | |
| - | |...
| + | |
| - | |s<sub>1m</sub>
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |s<sub>22</sub>
| + | |
| - | |s<sub>23</sub>
| + | |
| - | |...
| + | |
| - | |s<sub>2m</sub>
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |S =
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |s<sub>33</sub>
| + | |
| - | |..
| + | |
| - | |s<sub>3m</sub>
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |
| + | |
| - | |colspan="5"|...
| + | |
| - | |-
| + | |
| - | |
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |0
| + | |
| - | |...
| + | |
| - | |s<sub>mm</sub>
| + | |
| - | |}
| + | |
| - | s<sub>ii</sub> > 0, i = <span style="border-top:solid 1px">2…m</span>
| + | |
| - | | + | |
| - | D = diag (d<sub>11</sub>, …, d<sub>mm</sub>) d<sub>ii</sub> = ±1, i = 1..m
| + | |
| - | | + | |
| - | Тогда система (1) решается следующим образом:
| + | |
| - | * S*DSx = f
| + | |
| - | * S*Dy = f (3)
| + | |
| - | * Sx = y
| + | |
| - | Эти две системы решаются явным образом, ибо матрицы треугольные
| + | |
| - | | + | |
| - | рассмотрим вещественную матрицу A = ((a<sub>11</sub>, a<sub>12</sub>), (a<sub>12</sub>, a<sub>22</sub>)) a<sub>ij</sub> — вещественное. Тогда S = ((s<sub>11</sub>, s<sub>12</sub>), (0, s<sub>22</sub>)), S* = ((s<sub>11</sub>, 0), (s<sub>12</sub>, s<sub>22</sub>)), D=((d<sub>11</sub>, 0), (0, d<sub>22</sub>))
| + | |
| - | | + | |
| - | Умножим DS = ((d<sub>11</sub>, 0), (0, d<sub>22</sub>)) ((s<sub>11</sub>, s<sub>12</sub>), (0, s<sub>22</sub>)) = ((d<sub>11</sub>s<sub>11</sub>, d<sub>11</sub>s<sub>12</sub>), (0, d<sub>22</sub>s<sub>22</sub>)). Она сохранила верхнетреугольную форму (позже покажем, что умножение верхнетреугольной на почти верхнетреугольную сохраняет форму). Домножим на S*. S*DS = ((s<sub>11</sub>, 0), (s<sub>12</sub>, s<sub>22</sub>))((d<sub>11</sub>s<sub>11</sub>, d<sub>11</sub>s<sub>12</sub>), (0, d<sub>22</sub>s<sub>22</sub>)) = ((d<sub>11</sub>s<sub>11</sub><sup>2</sup>, d<sub>11</sub>s<sub>12</sub>s<sub>11</sub>), (d<sub>11</sub>s<sub>12</sub>s<sub>11</sub>, d<sub>11</sub>s<sub>12</sub><sup>2</sup> + d<sub>22</sub>s<sub>22</sub><sup>2</sup>)) = A. Поэлементно приравниваем компоненты.
| + | |
| - | * d<sub>11</sub>s<sub>11</sub><sup>2</sup> = a<sub>11</sub>
| + | |
| - | * d<sub>11</sub>s<sub>12</sub>s<sub>11</sub> = a<sub>12</sub>
| + | |
| - | * d<sub>11</sub>s<sub>12</sub><sup>2</sup> + d<sub>22</sub>s<sub>22</sub><sup>2</sup> = a<sub>22</sub>
| + | |
| - | | + | |
| - | Посмотрим на первое уравнение. Из него понятно, что d<sub>11</sub> = sign a<sub>11</sub>. Тогда отсюда получаем s<sub>11</sub> = sqrt(|a<sub>11</sub>|). Дальше смотрим на второе уравнение: s<sub>12</sub> = a<sub>12</sub>/d<sub>11</sub>s<sub>11</sub>. Теперь последнее уравнение рассматриваем. Перепишем его в виде: d<sub>22</sub>s<sub>22</sub><sup>2</sup> = a<sub>22</sub> − d<sub>11</sub>s<sub>12</sub><sup>2</sup>. Отсюда получим d<sub>22</sub> = sign(a<sub>22</sub> − d<sub>11</sub>s<sub>12</sub><sup>2</sup>), s<sub>22</sub> = sqrt(|a<sub>22</sub> − d<sub>11</sub>s<sub>12</sub><sup>2</sup>|). Таким образом, мы показали, что для матрицы 2×2 в таком виде осуществима.
| + | |
| - | | + | |
| - | {{Численные Методы}}
| + | |
We at EbaumsWorld consider you as disgrace of human race.
Your faggotry level exceeded any imaginable levels, and therefore we have to inform you that your pitiful resourse should be annihilated.
Dig yourself a grave - you will need it.
