Редактирование: Численные Методы, Определения
Материал из eSyr's wiki.
Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.
ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ: Длина этой страницы составляет 44 килобайт. Страницы, размер которых приближается к 32 КБ или превышает это значение, могут неверно отображаться в некоторых браузерах. Пожалуйста, рассмотрите вариант разбиения страницы на меньшие части.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 173: | Строка 173: | ||
== Что значит «решить СЛАУ итерационным методом» == | == Что значит «решить СЛАУ итерационным методом» == | ||
- | * x<sub>i</sub><sup>n</sup> — i-я | + | * x<sub>i</sub><sup>n</sup> — i-я ккордината, n-я итерация |
* x<sup>0</sup> — начальное приближение | * x<sup>0</sup> — начальное приближение | ||
Строка 197: | Строка 197: | ||
== Соотношение сложностей методов Якоби и Зейделя == | == Соотношение сложностей методов Якоби и Зейделя == | ||
- | По сложности и скорости сходимости эти два метода одинаковы. | + | По сложности и скорости сходимости эти два метода одинаковы. |
== Двуслойная запись == | == Двуслойная запись == | ||
Строка 265: | Строка 265: | ||
== Теорема о сходимости метода Зейделя == | == Теорема о сходимости метода Зейделя == | ||
'''Следствие 4'''. Пусть ∃ A = A* > 0, 2D > A. Тогда метод Зейделя сходится при любом начальном приближении в среднеквадратичной норме. | '''Следствие 4'''. Пусть ∃ A = A* > 0, 2D > A. Тогда метод Зейделя сходится при любом начальном приближении в среднеквадратичной норме. | ||
- | Вообще достаточно только самосопряженности оператора А: A = A* > 0 | ||
== Скорость сходимости итерационного метода == | == Скорость сходимости итерационного метода == | ||
Строка 278: | Строка 277: | ||
Тогда итерационный метод B <sup>(x<sup>n + 1</sup> − x<sup>n</sup>)</sup>/<sub>τ</sub> + Ax<sup>n</sup> = f сходится к решению СЛАУ Ax = f и имеет место оценка ||v<sup>n + 1</sup>||<sub>B</sub> ≤ ρ||v<sup>n</sup>|| | Тогда итерационный метод B <sup>(x<sup>n + 1</sup> − x<sup>n</sup>)</sup>/<sub>τ</sub> + Ax<sup>n</sup> = f сходится к решению СЛАУ Ax = f и имеет место оценка ||v<sup>n + 1</sup>||<sub>B</sub> ≤ ρ||v<sup>n</sup>|| | ||
- | == Равенство | + | == Равенство Парсиваля == |
- | '''Равенство | + | '''Равенство Парсиваля''' |
Пусть D = D* > 0, ∃ ортонормированный базис из собственных векторов x = ∑<sub>k = 1</sub><sup>m</sup>c<sub>k</sub>e<sub>k</sub>. | Пусть D = D* > 0, ∃ ортонормированный базис из собственных векторов x = ∑<sub>k = 1</sub><sup>m</sup>c<sub>k</sub>e<sub>k</sub>. | ||
Строка 285: | Строка 284: | ||
== Оценка скорости сходимости МПИ == | == Оценка скорости сходимости МПИ == | ||
- | '''Следствие 2 из теоремы об оценке скорости сходимости итерационного метода.''' Пусть A = | + | '''Следствие 2 из теоремы об оценке скорости сходимости итерационного метода.''' Пусть A = a* > 0, |
* γ<sub>1</sub> = min<sub>1 ≤ k ≤ m</sub> λ<sub>k</sub><sup>A</sup>, > 0 в силу положительной определённости | * γ<sub>1</sub> = min<sub>1 ≤ k ≤ m</sub> λ<sub>k</sub><sup>A</sup>, > 0 в силу положительной определённости | ||
* γ<sub>2</sub> = max<sub>1 ≤ k ≤ m</sub> λ<sub>k</sub><sup>A</sup> | * γ<sub>2</sub> = max<sub>1 ≤ k ≤ m</sub> λ<sub>k</sub><sup>A</sup> | ||
- | Тогда МПИ (x<sup>n+1</sup> − x<sup>n</sup>)/τ + Ax<sup>n</sup> = f, где τ = <sup>2</sup>/<sub>γ<sub>1</sub> + γ<sub>2</sub></sub>, ρ = <sup>1 − ξ</sup>/<sub>1 + ξ</sub>, ξ = <sup>γ<sub>1</sub></sup>/<sub>γ<sub>2</sub></sub> — сходится, имеет место оценка ||x<sup>n | + | Тогда МПИ (x<sup>n+1</sup> − x<sup>n</sup>)/τ + Ax<sup>n</sup> = f, где τ = <sup>2</sup>/<sub>γ<sub>1</sub> + γ<sub>2</sub></sub>, ρ = <sup>1 − ξ</sup>/<sub>1 + ξ</sub>, ξ = <sup>γ<sub>1</sub></sup>/<sub>γ<sub>2</sub></sub> — сходится, имеет место оценка ||x<sup>n</sup> − x|| ≤ ρ||x<sup>n</sup> − x|| |
== Теорема о сходимости ПТИМ == | == Теорема о сходимости ПТИМ == | ||
Строка 350: | Строка 349: | ||
* x<sub>n</sub>/e<sub>1</sub>λ<sub>1</sub><sup>−n</sup> = e<sub>1</sub> + … + (c<sub>m</sub>/c<sub>1</sub>)(λ<sub>1</sub>/λ<sub>m</sub>)<sup>n</sup>e<sub>m</sub> | * x<sub>n</sub>/e<sub>1</sub>λ<sub>1</sub><sup>−n</sup> = e<sub>1</sub> + … + (c<sub>m</sub>/c<sub>1</sub>)(λ<sub>1</sub>/λ<sub>m</sub>)<sup>n</sup>e<sub>m</sub> | ||
- | == Метод обратных итераций со | + | == Метод обратных итераций со сдигом == |
* (A − αE)x<sub>n + 1</sub> = x<sub>n</sub> (5) | * (A − αE)x<sub>n + 1</sub> = x<sub>n</sub> (5) | ||
** n = 0, 1, …, x<sub>0</sub> — начальное приближение, α ∈ R | ** n = 0, 1, …, x<sub>0</sub> — начальное приближение, α ∈ R | ||
Строка 416: | Строка 415: | ||
N<sub>n</sub>(x) = f(x<sub>0</sub>) + (x − x<sub>0</sub>)f(x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>) + (x − x<sub>0</sub>)(x − x<sub>1</sub>)f(x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>) + … + (x − x<sub>0</sub>)(x − x<sub>1</sub>)…(x − x<sub>n − 1</sub>)f(x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>, …, x<sub>n</sub>) | N<sub>n</sub>(x) = f(x<sub>0</sub>) + (x − x<sub>0</sub>)f(x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>) + (x − x<sub>0</sub>)(x − x<sub>1</sub>)f(x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>) + … + (x − x<sub>0</sub>)(x − x<sub>1</sub>)…(x − x<sub>n − 1</sub>)f(x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub>, …, x<sub>n</sub>) | ||
- | == Погрешность | + | == Погрешность инторполяционной формулы Ньютона == |
Погрешность та же самая, но записана внешне по-другому: | Погрешность та же самая, но записана внешне по-другому: | ||
Строка 422: | Строка 421: | ||
== Когда лучше использовать Ньютона, а когда — Лагранжа | == Когда лучше использовать Ньютона, а когда — Лагранжа | ||
- | * Ньютон удобен при постепенном добавлении узлов, когда их количество | + | * Ньютон удобен при постепенном добавлении узлов, когда их количество нефисировано |
* Лагранж удобен, когда количество узлов фиксировано, но они могут находиться в разных местах | * Лагранж удобен, когда количество узлов фиксировано, но они могут находиться в разных местах | ||
Строка 470: | Строка 469: | ||
* c<sub>2</sub>(x) = ((x − x<sub>1</sub>)<sup>2</sup>(x − x<sub>0</sub>))/((x<sub>2</sub> − x<sub>1</sub>)<sup>2</sup>(x<sub>2</sub> − x<sub>0</sub>)) | * c<sub>2</sub>(x) = ((x − x<sub>1</sub>)<sup>2</sup>(x − x<sub>0</sub>))/((x<sub>2</sub> − x<sub>1</sub>)<sup>2</sup>(x<sub>2</sub> − x<sub>0</sub>)) | ||
* b<sub>1</sub>(x) = ((x − x<sub>0</sub>)(x − x<sub>1</sub>)(x − x<sub>2</sub>))/((x<sub>1</sub> − x<sub>0</sub>)(x<sub>1</sub> − x<sub>2</sub>)) | * b<sub>1</sub>(x) = ((x − x<sub>0</sub>)(x − x<sub>1</sub>)(x − x<sub>2</sub>))/((x<sub>1</sub> − x<sub>0</sub>)(x<sub>1</sub> − x<sub>2</sub>)) | ||
- | * c<sub>1</sub>(x) = (x − x<sub>0</sub>)(x − x<sub>2</sub>)/((x<sub>1</sub> − x<sub>0</sub>)<sup>2</sup>(x<sub>1</sub> − x<sub>2</sub>)<sup>2</sup>)) × [1 − ((x − x<sub>1</sub>)(2x<sub>1</sub> − x<sub>0</sub> − x<sub>2</sub>))/((x<sub>1</sub> − x<sub>0</sub>)(x<sub>1</sub> − x<sub>2</sub>))] | + | * c<sub>1</sub>(x) = (x − x<sub>0</sub>)(x − x<sub>2</sub>)/((x<sub>1</sub> − x<sub>0</sub>)<sup>2</sup>(x<sub>1</sub> − x<sub>2</sub>)<sup>2</sup>)) & times; [1 − ((x − x<sub>1</sub>)(2x<sub>1</sub> − x<sub>0</sub> − x<sub>2</sub>))/((x<sub>1</sub> − x<sub>0</sub>)(x<sub>1</sub> − x<sub>2</sub>))] |
== Погрешность полинома Эрмита == | == Погрешность полинома Эрмита == |