Функциональный Анализ, 05 лекция (от 05 октября)

Материал из eSyr's wiki.

Перейти к: навигация, поиск

Предыдущая лекция | Следующая лекция

Содержание

пункт 2.

Теорема 5. Пусть f(x) --- суммируемая неотрицательная функция на множестве E конечной меры и интеграл от f(x) по dx равняется 0. Тогда f(x) ~ 0.

Доказательство. Фактически, нужно доказать, что |E[f(x) > 0]| = 0. Сначала, покажем ∀a |E[f(x) > a]| = 0. &integral;_e f(x)dx ≥ &integral;_E_a f(x)dx ≥ a|E_a|, |E_a| ≤ 1/a &integral;_E f(x)dx. Противоречие, значит это так.

E[f(x) > 0] = ∪_n=1^∞ E[f(x) > 1/n]. Тогда |E[f(x) > 0]| ≤ ∑_n=1^∞|E[f(x) > 1/n]| = 0

Теорема 6 (мажорантный признак). Пусть даны двефункции, удовл отношению 0 ≤ f_1(x) ≤ f_2(x) для почти всех x ∈ E, |E| < +∞. Тогда, если f_2 --- сумируемая, то и f_1 --- суммируемая.

Доказательство. Дело в том, что для срезов выполняется f_1N(x) ≤ f_2N(x) → &integral;_E f_1Ndx ≤ &integral;_e f_2Ndx ≤ &integral;_E f_2 dx

пункт 3. Интеграл Лебега от функции любого знака на множестве конечной меры

  • f^+(x) = (|f(x)| + f(x)^−)/2
  • f^− = (|f(x)| − f(x))/2

Определение 3. Если f^+ и f^− сумимируемы на E, то и f суммируема на E, и интеграл Лебега оперделяется как &integral;_e f(x)dx = &integral;_e f^+(x)dx − &integral;_e f^−(x)dx.

Замечание 1. Для того, чтобы ф-ция была сумм. на E, необх и достаточно, чтобы |f| была суммируема на Е. То есть, условной сходимости нет.

Докахательство. Пусть f сумиируема на Е, тогда + и минус суммируемы, а модуль --- иху сумма. В обратную сторону, если модуль суммируем, то каждая из функций не больше модуля → суммируема.

Простой пример, когда спрашивают, понимает ли человек, что такое сказано в замечании, что нет усл. сх-ти. Вопрос: интегрируема по Лебегу f(x) = 1/x sin(x) на E = (0, 1). Если 1/x заменим на t, то получим &integral;_0:1 1.ч ышт 1.ч вч = &integral;_1^+infin; sin t/t dt. По признаку Абеля инт. сходится. Но модуль не сх. → функция не явл. интегрируемой по Лебегу.

Замечание 2. Свойства интеграла 2---5 также имеют место.

Замечание 3. Теорема о полной аддитивности инт. Лебега тоже имеет место, единственное, нужно требовать сходимость ряда, в котором стоят модули интеграла. А теорема об абс. непрерывности тоже верна, только там надо написать модуль интеграла.

Здесь размерность не играет никакой роли. В принципе, можно было управляться с инт. методом Даниэля, если не хотим управляться с теорией меры, когда вводим множество меры 0, и дальше всё через него.

Были анекдотитческие случаи, когда один учебник выдержал 4 издания, в котором не были введены f^+ и f^-, и там практически все утверждения были неверны. Так что, медаль на груди --- не значит, что герой.

Теперь по классам.

Определение 4. Пусть E имеет конечную меру. Совокупность всех интегрируемых на этом монжестве меры обозначим L(E) = L_1(E). Говорят, что посл. функций f_n ∈ L(E) сходится к f(x) ∈ L(E) в L(E), если &integral;_E|f_n(x) − f(x)| dx → 0 (n → ∞).

В этой сходимости важно другое. Понятно, что из мажорантного признака вытекает, что, написав это неравенство: |&integral;_Ef_n(x) − &integral;_E f(x)| dx ≤ &integral;_E|f_n(x) − f(x)| dx видно, что можно знак менять местами(? о_О).

Опбозначим E_N = [|f_n(x) − f(x) ≥ ε|]

Тогда &integral;_E|f_n(x) − f(x)| dx ≥ &integral;_E_n|f_n(x) − f(x)| dx *ge; ε|E_n|. Отсюда --- из сходимости в L(Е) следует сходимость по мере. Обратное утв., вообще-говоря, неверно. Пример: f_n(x) = {n, x ∈ [0, 1/n]$ 0, x ∈ (1/n; 1]}. f(x) = 0. Очевидно, что по мере f_n(x) сходимость есть. И понятно, что |E[f_n(x) ≠ f(x)]| = 1/n → 0 и сходимость есть, но интеграл равен 1 и сходимости нет.

Возникает вопрос, при каком допусловии возможно, что из сходимости по мере получить сходимость в L(E). Это и раскрывает теорема 7 (Лебега)

Теорема 7 (Лебега). Пусть E --- измеримое множество конечной меры. Пусть f_n(x) и f(x) --- измеримые, почти всюду конечные функции на E. Пусть f_n(x) сходится к f(x) по мере, и пусть существует для почти всех x ∈ E неотр. функция F(x) такая, что |f_n(x)| ≤ F(x). Тогда f_n(x) сходится к f(x) L(E)

&integral;_E F(x) dx существует → f_n(x) → f(x) в L(E)

Доказательство. Из теоремы 6 параграфа 3 f_n_k(x) → f(x) (почти всюду). Тогда f_n_k(x) ≤ F(x)| эквивалентно |f(x)| ≤ F(x).

Кроме того, лектор хочет заметить, что |f_n(x) − f(x)| ≤ 2F(x).

Рассмотрим интеграл &integral;_E |f_n(x) − f(x)| dx = &integral;_E_n |f_n(x) − f(x)| dx + &integral;_E\E_n |f_n(x) − f(x)| dx ≤ 2 &integral;_E_n F(x)dx {→ 0} + ε|E| < C_1 × ε при n → ∞

Напоследок, теорема Леви, но не того Леви, которы придумал джинсы.

Теорема 8 (Леви)

Полцарства за Леви. Последний раз лектор купил джинсы Леви в Америке в 2002 году за 30 баксов. Это были самые дорогие джинсы. Когда лектор зашёл в наш магазин и увидел польское фуфло с надписью Леви, он полнял, что здесь больше ничего покупать не стоит.

Пусть есть множество конечной меры. Последовательность f_n(x) состоит из суммируемых функций, для которых почти всюду выполняется неравенство f_n(x) ≤ f_n+1 (x) и |&integral;_E f_n(x)dx| ≤ M = const. Отсюда следует, что существует почти всюду предел f(x) = lim_n → ∞ f_n(x), который явл. суммируемой на E функцией, и f_n(x) → f(x) Доказательство. Предел гарантирова монотонностью. Теперь достаточно доказать суммируемость, чтобы завершить доказательство. Так как суммируема → конечна → (по теореме 5) сходимость по мере → (по теореме 7) сходимость в L(E).

Можем считать f_n(x) ≤ 0. Если это не так, то рассмотрим g_n(x) = f_n(x) − f_1(x). Мажорантой будет выступать f(x). Раз посл. монотонно неубывающая, то получится, что и интегралы будут удовл. неравенству |&integral;_E f_n(x)dx| ≤ |&integral;_E f(x)dx|.

Рассмотрим последовательность срезов f_nN(x) →(почти всюду) f_n(x). Тогда lim_n→∞ |&integral;_E f_nN(x)dx| → |&integral;_E f_N(x)dx|. Кроме того, f_nN(x) ≤ f_n(x). Тогда получаем, что интеграл |&integral;_E f_nТ(x)dx| ≤ |&integral;_E f_n(x)dx| ≤ M. Отсюда |&integral;_E f_Т(x)dx| ≤ M. Отсюда чтд.

Знак в теореме не играет роли (либо монот. возр., либо монот. убыв.).

Следствие из теоремы для рядов. Пусть на E конечной меры множество u_k(x) ≥ 0 почти всюду и суммиируема. Если почти всюду сходится ряд ∑_k=1^∞ &integral;_e u_k(x) dx → S(x) = ∑_k=1^∞ u_k(x) и ряд можно интегрировать почленно.

Доказательство: f_n(x) = S_n = ∑_k=1^n u_k(x)

Теорема 9 (теорема Фату)

Я сначала написал «теорема Фаты». В пятницу шёл дождь жуткий, лектор пошёл через смотровую, а там место тусования молодожёнов, и эти мокрые курицы в тюле постоянно там тусуются...

Пройдёт 100 лёт, и будут считать, что язык Паскаль изобрёл Блез Паскаль, что он учился на ВМК, и студентка, доживущая до 120 лет будет рассказывать, что знакома с ним лично и давала ему списывать.

Есть мн-фо конечной меры E, f_n(x) → (почти всюду) f(x) на Е и &integral_e |f_n(x)|dx ≤ A. Практически теорема Леви, только ограниченность интегралов по модулю. Тогда f(x) суммируема и &integral_E |f(x)| dx ∈ A.

Доказательство. g_n(x) = inf_k≥n |f_n(x)|, g_n(x) ≤ |f_n(x)|, &integral_E g_n(x) dx ≤ A, g_n(x) → |f(x)|, отсюда g_n(x) → (L(E)) |f(x)|, отсюда &integral;_E |f(x)| dx ∈ A.

Теорема 10 (Лебега). Для того, чтобы ограниченная f(x) на измеримом мн-ве конечной меры была интегрируема по Лебегу, необх. и достаточно, чтобы она была измеримой.

Док-во. Достаточность доказана в Т.2. Докажем необходимость.

Построим последовательность разбиений T^(n) = {E_k^(n)}_k=1^m(n), каждое посл. разбиение будет измельчением предыдущего. M_k^n = sup_E_k^(n) f(x), m_k^n = inf_E_k^(n) f(x), _f_n(x) = M_k^(n) на E_k^(n), f__n(x) = m_k^(n) на E_k^(n), S_n = &integral;_E _f_n(x)dx, S_n = &integral;_E f__n(x)dx, 0 ≤ S_n − s_n < 1/n, f__n(x) ≤ f(x) ≤ _f_n(x), lim_n→∞ &integral;_E _f_n(x)dx = lim_n→∞ &integral;_E f__n(x)dx = &integral;_E f(x)dx, и тогда 0 = lim_n→∞ [&integral;_E _f_n(x)dx − &integral;_E f_n(x)dx] = &integral;_E _f_(x)dx − &integral;_E f__(x)dx = &integral;_E |_f_(x) − f__(x)| dx = 0

...

отсуда f(x) также измеримая функция, чтд.

Пункт 4. Интеграл Лебега от измеримой функции на произвольном измеримом множестве.

Пусть E --- произвольное изм. множество. Определим исчерпывающую последовательность для E следующим образом:

  • x_n ∈ x_n+1
  • |x_n| < ∞
  • ∪_n=1^∞ x_n = E

Пусть функция измерима для каждого множества из исчерпывающей последовательности E, и пусть существует предел lim_n→∞ &integral;_x_n f(x)dx = &integral;_E f(x)dx. Тогда функция называется интегрируемой на E, и предел --- несобственный интеграл Лебега первого рода.

Пункт 5. Теорема Фубини

Будет сформулирована без доказательства. Лектор расскажет её на прямоугольнике (хотя можно и на н-мерном параллелепипеде)

Пусть П = {(x, y): a ≤ X ≤ b, c &lr; y ≤ d}

Теорема 11 (Фубини)/ Пусть функция суммируема на прямоугольнике. Тогда для пости всех y ∈ [c, d] существует интеграл от a до b f(x, y) по dx. Аналогично для x и y. Кроме того, &integral;&integral;_П f(x, y) dxdy = &integral;_a^b dx &integral;_c^d f(x, y) dy = &integral;_c^d dy &integral;_a^b f(x, y) dx.

Доказательство. Это теорема легко доказывается, если есть Даниэль.

Обратная к теореме неверно: возьмём f(x, y) = xy / (x^2 + y^2)^2 x^2 + y^2 ≠ 0; 0, x=y=0 на квадрате [-1; 1] × [1; 1]. Тогда интеграл по x равен 0, по y --- 0. Сама же функция не суммируема на квадрате.

Тем не менее, если хотя бы один из повторных интегралов от модуля существует, то есть другой и справедлива теорема Фубини.

Теперь всё, необх. к функану, рассказано, и на след. лекции будет функан.


Функциональный Анализ


01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16


Календарь

пн пн пн пн пн
Сентябрь
07 14 21 28
Октябрь
05 12 19 26
Ноябрь
02 09 16 23 30
Декабрь
07 14 21

Материалы к зачёту
Список вопросов | Список задач


Эта статья является конспектом лекции.

Эта статья ещё не вычитана. Пожалуйста, вычитайте её и исправьте ошибки, если они есть.
Личные инструменты
Разделы