Редактирование: Функциональный Анализ, 05 лекция (от 05 октября)

Материал из eSyr's wiki.

Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.

[[Функциональный Анализ, 04 лекция (от 28 сентября)|Предыдущая лекция]] | [[Функциональный Анализ, 06 лекция (от 12 октября)|Следующая лекция]]

=== пункт 2. ===

Теорема 5. Пусть f(x) --- суммируемая неотрицательная функция на множестве E конечной меры и интеграл от f(x) по dx равняется 0. Тогда f(x) ~ 0.

Доказательство. Фактически, нужно доказать, что |E[f(x) > 0]| = 0. Сначала, покажем &forall;a |E[f(x) > a]| = 0. &integral;_e f(x)dx &ge; &integral;_E_a f(x)dx &ge; a|E_a|, |E_a| &le; 1/a &integral;_E f(x)dx. Противоречие, значит это так.

E[f(x) > 0] = &cup;_n=1^&infin; E[f(x) > 1/n]. Тогда |E[f(x) > 0]| &le; &sum;_n=1^&infin;|E[f(x) > 1/n]| = 0

Теорема 6 (мажорантный признак). Пусть даны двефункции, удовл отношению 0 &le; f_1(x) &le; f_2(x) для почти всех x &isin; E, |E| &lt; +&infin;. Тогда, если f_2 --- сумируемая, то и f_1 --- суммируемая.

Доказательство. Дело в том, что для срезов выполняется f_1N(x) &le; f_2N(x) &rarr; &integral;_E f_1Ndx &le; &integral;_e f_2Ndx &le; &integral;_E f_2 dx

=== пункт 3. Интеграл Лебега от функции любого знака на множестве конечной меры ===

* f^+(x) = (|f(x)| + f(x)^&minus;)/2
* f^&minus; = (|f(x)| &minus; f(x))/2

Определение 3. Если f^+ и f^&minus; сумимируемы на E, то и f суммируема на E, и интеграл Лебега оперделяется как &integral;_e f(x)dx = &integral;_e f^+(x)dx &minus; &integral;_e f^&minus;(x)dx.

Замечание 1. Для того, чтобы ф-ция была сумм. на E, необх и достаточно, чтобы |f| была суммируема на Е. То есть, условной сходимости нет.

Докахательство. Пусть f сумиируема на Е, тогда + и минус суммируемы, а модуль --- иху сумма. В обратную сторону, если модуль суммируем, то каждая из функций не больше модуля &rarr; суммируема.

Простой пример, когда спрашивают, понимает ли человек, что такое сказано в замечании, что нет усл. сх-ти. Вопрос: интегрируема по Лебегу f(x) = 1/x sin(x) на E = (0, 1). Если 1/x заменим на t, то получим &integral;_0:1 1.ч ышт 1.ч вч = &integral;_1^+infin; sin t/t dt. По признаку Абеля инт. сходится. Но модуль не сх. &rarr; функция не явл. интегрируемой по Лебегу.

Замечание 2. Свойства интеграла 2---5 также имеют место.

Замечание 3. Теорема о полной аддитивности инт. Лебега тоже имеет место, единственное, нужно требовать сходимость ряда, в котором стоят модули интеграла. А теорема об абс. непрерывности тоже верна, только там надо написать модуль интеграла.

Здесь размерность не играет никакой роли. В принципе, можно было управляться с инт. методом Даниэля, если не хотим управляться с теорией меры, когда вводим множество меры 0, и дальше всё через него.

Были анекдотитческие случаи, когда один учебник выдержал 4 издания, в котором не были введены f^+ и f^-, и там практически все утверждения были неверны. Так что, медаль на груди --- не значит, что герой.

Теперь по классам.

Определение 4. Пусть E имеет конечную меру. Совокупность всех интегрируемых на этом монжестве меры обозначим L(E) = L_1(E). Говорят, что посл. функций f_n &isin; L(E) сходится к f(x) &isin; L(E) в L(E), если &integral;_E|f_n(x) &minus; f(x)| dx &rarr; 0 (n &rarr; &infin;).

В этой сходимости важно другое. Понятно, что из мажорантного признака вытекает, что, написав это неравенство: |&integral;_Ef_n(x) &minus; &integral;_E f(x)| dx &le; &integral;_E|f_n(x) &minus; f(x)| dx видно, что можно знак менять местами(? о_О).

Опбозначим E_N = [|f_n(x) &minus; f(x) &ge; &epsilon;|]

Тогда &integral;_E|f_n(x) &minus; f(x)| dx &ge; &integral;_E_n|f_n(x) &minus; f(x)| dx *ge; &epsilon;|E_n|. Отсюда --- из сходимости в L(Е) следует сходимость по мере. Обратное утв., вообще-говоря, неверно. Пример: f_n(x) = {n, x &isin; [0, 1/n]$ 0, x &isin; (1/n; 1]}. f(x) = 0. Очевидно, что по мере f_n(x) сходимость есть. И понятно, что |E[f_n(x) &ne; f(x)]| = 1/n &rarr; 0 и сходимость есть, но интеграл равен 1 и сходимости нет.

Возникает вопрос, при каком допусловии возможно, что из сходимости по мере получить сходимость в L(E). Это и раскрывает теорема 7 (Лебега)

Теорема 7 (Лебега). Пусть E --- измеримое множество конечной меры. Пусть f_n(x) и f(x) --- измеримые, почти всюду конечные функции на E. Пусть f_n(x) сходится к f(x) по мере, и пусть существует для почти всех x &isin; E неотр. функция F(x) такая, что |f_n(x)| &le; F(x). Тогда f_n(x) сходится к f(x) L(E)

&integral;_E F(x) dx существует &rarr; f_n(x) &rarr; f(x) в L(E)

Доказательство. Из теоремы 6 параграфа 3 f_n_k(x) &rarr; f(x) (почти всюду). Тогда f_n_k(x) &le; F(x)| эквивалентно |f(x)| &le; F(x).

Кроме того, лектор хочет заметить, что |f_n(x) &minus; f(x)| &le; 2F(x).

Рассмотрим интеграл &integral;_E |f_n(x) &minus; f(x)| dx = &integral;_E_n |f_n(x) &minus; f(x)| dx + &integral;_E\E_n |f_n(x) &minus; f(x)| dx &le; 2 &integral;_E_n F(x)dx {&rarr; 0} + &epsilon;|E| &lt; C_1 &times; &epsilon; при n &rarr; &infin;

Напоследок, теорема Леви, но не того Леви, которы придумал джинсы.

Теорема 8 (Леви)

Полцарства за Леви. Последний раз лектор купил джинсы Леви в Америке в 2002 году за 30 баксов. Это были самые дорогие джинсы. Когда лектор зашёл в наш магазин и увидел польское фуфло с надписью Леви, он полнял, что здесь больше ничего покупать не стоит.

Пусть есть множество конечной меры. Последовательность f_n(x) состоит из суммируемых функций, для которых почти всюду выполняется неравенство f_n(x) &le; f_n+1 (x) и |&integral;_E f_n(x)dx| &le; M = const. Отсюда следует, что существует почти всюду предел f(x) = lim_n &rarr; &infin; f_n(x), который явл. суммируемой на E функцией, и f_n(x) &rarr; f(x)
Доказательство. Предел гарантирова монотонностью. Теперь достаточно доказать суммируемость, чтобы завершить доказательство. Так как суммируема &rarr; конечна &rarr; (по теореме 5) сходимость по мере &rarr; (по теореме 7) сходимость в L(E).

Можем считать f_n(x) &le; 0. Если это не так, то рассмотрим g_n(x) = f_n(x) &minus; f_1(x). Мажорантой будет выступать f(x). Раз посл. монотонно неубывающая, то получится, что и интегралы будут удовл. неравенству |&integral;_E f_n(x)dx| &le; |&integral;_E f(x)dx|.

Знак в теореме не играет роли (либо монот. возр., либо монот. убыв.).

Следствие из теоремы для рядов. Пусть на E конечной меры множество u_k(x) &ge; 0 почти всюду и суммиируема. Если почти всюду сходится ряд &sum;_k=1^&infin; &integral;_e u_k(x) dx &rarr; S(x) = &sum;_k=1^&infin; u_k(x) и ряд можно интегрировать почленно.

Доказательство: f_n(x) = S_n = &sum;_k=1^n u_k(x)

Теорема 9 (теорема Фату)

Я сначала написал «теорема Фаты». В пятницу шёл дождь жуткий, лектор пошёл через смотровую, а там место тусования молодожёнов, и эти мокрые курицы в тюле постоянно там тусуются...

Пройдёт 100 лёт, и будут считать, что язык Паскаль изобрёл Блез Паскаль, что он учился на ВМК, и студентка, доживущая до 120 лет будет рассказывать, что знакома с ним лично и давала ему списывать.

Есть мн-фо конечной меры E, f_n(x) &rarr; (почти всюду) f(x) на Е и &integral_e |f_n(x)|dx &le; A. Практически теорема Леви, только ограниченность интегралов по модулю. Тогда f(x) суммируема и &integral_E |f(x)| dx &isin; A.

Доказательство. g_n(x) = inf_k&ge;n |f_n(x)|, g_n(x) &le; |f_n(x)|, &integral_E g_n(x) dx &le; A, g_n(x) &rarr; |f(x)|, отсюда g_n(x) &rarr; (L(E)) |f(x)|, отсюда &integral;_E |f(x)| dx &isin; A.

Теорема 10 (Лебега). Для того, чтобы ограниченная f(x) на измеримом мн-ве конечной меры была интегрируема по Лебегу, необх. и достаточно, чтобы она была измеримой.

Док-во. Достаточность доказана в Т.2. Докажем необходимость.

Построим последовательность разбиений T^(n) = {E_k^(n)}_k=1^m(n), каждое посл. разбиение будет измельчением предыдущего. M_k^n = sup_E_k^(n) f(x), m_k^n = inf_E_k^(n) f(x), _f_n(x) = M_k^(n) на E_k^(n), f__n(x) = m_k^(n) на E_k^(n), S_n = &integral;_E _f_n(x)dx, S_n = &integral;_E f__n(x)dx, 0 &le; S_n &minus; s_n &lt; 1/n, f__n(x) &le; f(x) &le; _f_n(x), lim_n&rarr;&infin; &integral;_E _f_n(x)dx = lim_n&rarr;&infin; &integral;_E f__n(x)dx = &integral;_E f(x)dx, и тогда 0 = lim_n&rarr;&infin; [&integral;_E _f_n(x)dx &minus; &integral;_E f_n(x)dx] = &integral;_E _f_(x)dx &minus; &integral;_E f__(x)dx = &integral;_E |_f_(x) &minus; f__(x)| dx = 0

...

отсуда f(x) также измеримая функция, чтд.

=== Пункт 4. Интеграл Лебега от измеримой функции на произвольном измеримом множестве. ===

Пусть E --- произвольное изм. множество. Определим исчерпывающую последовательность для E следующим образом:
* x_n &isin; x_n+1
* |x_n| &lt; &infin;
* &cup;_n=1^&infin; x_n = E

Пусть функция измерима для каждого множества из исчерпываювщей последовательности E, и пусть существует предел lim_n&rarr;&infin; &integral;_x_n f(x)dx = &integral;_E f(x)dx. Тогда функция называется интегрируемой на E, и предел --- несобственный интеграл Лебега первого рода.

=== Пункт 5. Теорема Фубини ===

Будет сформулирована без доказательства. Лектор расскажет её на прямоугольнике (хотя можно и на n-мерном параллелепипеде)

Пусть П = {(x, y): a &le; X &le; b, c &lr; y &le; d}

Теорема 11 (Фубини)/ Пусть функция суммируема на прямоугольнике. Тогда для пости всех y &isin; [c, d] существует интеграл от a до b f(x, y) по dx. Аналогично для x и y. Кроме того, &integral;&integral;_П f(x, y) dxdy = &integral;_a^b dx &integral;_c^d f(x, y) dy = &integral;_c^d dy &integral;_a^b f(x, y) dx.

Доказательство. Это теорема легко доказывается, если есть Даниэль.

Обратная к теореме неверно: возьмём f(x, y) = xy / (x^2 + y^2)^2 x^2 + y^2 &ne; 0; 0, x=y=0 на квадрате [-1; 1] &times; [1; 1]. Тогда  интеграл по x равен 0, по y --- 0. Сама же функция не суммируема на квадрате.

Тем не менее, если хотя бы один из повторных интегралов от модуля существует, то есть другой и справедлива теорема Фубини.

Теперь всё, необх. к функану, рассказано, и на след. лекции будет функан.

Пожалуйста, обратите внимание, что все ваши добавления могут быть отредактированы или удалены другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. eSyr's_wiki:Авторское право).
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Описание изменений:

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, использованные на этой странице:

Получено с http://esyr.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%2C_05_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%28%D0%BE%D1%82_05_%D0%BE%D0%BA%D1%82%D1%8F%D0%B1%D1%80%D1%8F%29

Редактирование: Функциональный Анализ, 05 лекция (от 05 октября)

Материал из eSyr's wiki.

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

инструменты

Разделы

Спецкурсы

9 семестр

7 семестр

5 семестр

3 семестр

Поиск

Инструменты

@@ Строка 102: / Строка 102: @@
 * &cup;_n=1^&infin; x_n = E
-Пусть функция измерима для каждого множества из исчерпывающей последовательности E, и пусть существует предел lim_n&rarr;&infin; &integral;_x_n f(x)dx = &integral;_E f(x)dx. Тогда функция называется интегрируемой на E, и предел --- несобственный интеграл Лебега первого рода.
+Пусть функция измерима для каждого множества из исчерпываювщей последовательности E, и пусть существует предел lim_n&rarr;&infin; &integral;_x_n f(x)dx = &integral;_E f(x)dx. Тогда функция называется интегрируемой на E, и предел --- несобственный интеграл Лебега первого рода.
 === Пункт 5. Теорема Фубини ===