Материал из eSyr's wiki.

Версия 16:36, 10 мая 2008

Диктофонная запись: http://esyr.org/lections/audio/philmath_2008_summer/PM_08_02_25.ogg

Греческое чудо и возникновение греческой математики

В какой момент и в связи с чем возникла греческая математика? И можно ли о таком моменте говорить. На первый взгляд, такого момента обнаружить не можем, поскольку в любой культуре, которую можно соотнести как человеческую, можно обнаружить нечто, что можно назвать математикой. Тем более это касается всех древних культур. Поэтому, ответ на вопрос, в какой момент возникла математика, зависит от того, что мы можем признать математикой. Орнаменты, где прослеживается регулярность и симметрия? Вряд ли, скорее протоматематика. А расчёты? Математика или нет? Тут отвечают, что прикладная математика. Так что всё не очень просто.

Сейчас лектор попробует предложить ..., которой он будет придерживаться. Он предполагает, что это древняя греция, 5 — 3 вв до н. э. С исторической точки зрения это крошечный период, и в это время появляется то, что является математикой. Почему лектору представляется, что такой ответ оправдан? Первая причина: слово математика — греческое, и эта вещь достаточно серьёзная, в 20 веке обнаружили, что наш способ мышления связан с языком, и в связи с этим возникла тенденция в связи с языком понимать то, что мы говорим. Здесь можно впасть в крайность, но это достаточно серьёзно. Что так стали называть, откуда это берётся? И попытка это понять ведёт в обозначенный временной перирод. Ещё одно: дело в том, что когда мы говорим о математике, по крайней мере, ещё несколько веков назад это было 100-процентно так, мы имели в виду конкретный текст, это Начала Евклида. Ситуация начала серьёзно меняться только в 19 веке. До этого математика ассоциировалась с этим в первую очередь. Понятно, что это не единственный текст, но так случилось.

Два слова про Начала: изначально Стахея ассоциировались с языком, это так называемые элементы: звуки, буквы. Текст строится из букв — классич. образ стахеи. Когда дальше стали изучать мир, то оно ... . Аристотель скажет про всех философов до него, тем, что они занимались, тем, что искали начала и элемент всего. ... То же самое и в латыни: элемент — л, м, н — буквы. Но, во всяком случае, здесь идёт речь о первичном наборе, из которого строится всё остальное. И Стахея в названии Евклида отсылает к чему-то подобному. Он идёт от первичных арифметических, геометрических элементов, и в последних книгах строятся платоновы тела. Если полагать, что Евклид связан с платонический традицией, то надо вспоминать диалог ..., где именно эти 5 самых правильных многогранников рассматриваются как основа чувственного восприятия мира.

Дело в том, что именно это произведение было образцом понимания того, что такое математика. По нему учились. И сейчас, если взять учебники элементарной геометрии первой половины 20-го века, то они основываются на Началах. Что в первую очередь поражало в тексте Евклида: то, что в последствии стали называть дедуктивной структурой. И действительно, книга начинается с недоказуемых положений: оперделения, постулаты. Идёт глава "общие положения". Потом идут предложения, в строго порядке, пронумерованы, за ними идут строгие доказательства. Сейчас мы бы называли часть — задачи на построение, часть — теоремы. В доказательстве Евклид ссылается на недоказуемые положения, на то, что раньше доказывал. Доказывает всё новое и новое... Такой образ изложения материала оказался одним из важнейших моментов, связанных с математикой. Математика связана с математическим доказательством, с тем, как это делал Евклид.

И тут возн. один момент: та самая штука, с которой оно связано, мат. доказ, появляется именно в этот период. Поразительно, но нет ничего потобного грекам из предшест. культур. И появляется образ матем. как ... знания, и он отсылает именно туда. И этот образ стал размываться именно в последние 200 лет.

Не все предст., когда жил евклид, это где-то рубеж 4 и 3 вв до нэ. Символически, это некая граница, к этому моменту можно считать, что сформирован образ антич. матем. До этого ничего опдобного нет. Есть матетмаитка древнеегипетская, древнешумер, древневавил., существовала матем. месопотамии. Тут действительно историки обнаруж ряд текство, которые мы можем признать матем., но здесь бросается в глаза серьёзное их отличие от античнеых текстов. Есть масса споров, что представляла собой догр. мат., и отношение гр. с догр.. Лектор сейчас не будет рассм. это в связи с тем, что тексты скупы: пара папирусов египетских и несколько глинянных табличек. По крайней мере, очень явно бросается в глаза отличие. И чтобы это было наглядно, лектор приведёт пример задачи из шумеро-вавилонских текстов. Лектор будет исп. нашу 10-ричную систему, у вавилонян было 60-ричное. Леткор специоально взял геом. задачу, чтобы лучше был виден контраст. Условие задачи: есть прямоугольный треуг., в нём проведена линия DE, AD=20, DB=30, известна площадь ADCE --- 320, надо найти AC, DE. Решение:

1. 320/20 = 16
2. 30 * 2 = 60
3. 60 + 20 = 80
4. 320/80 = 4
5. 16 + 4 = 20 --- AC
6. 16-4 = 12 --- DE

Комментариев нет. Есть задача, есть рецепт, делай это, делай это, получишь ответ.

Надо сказать, действительно, воспитанные на антич. матем историки, они в нкотором недоумении. Нормальному европ. человеку трудно понять, тут содержится набор действий, но нет самого главного --- обоснования. Таких задач много, есть задачники... Вот такая вот красота. Что на это можно сказать: некоторые полгают, раз оно есть, то так оно и было, но непонятно, как мыслить подобным образом, более того, решения правильные. Но они действия записывали, а лгоритм не записывалию. Другая точка зрения: у них всё это было, но что до нас дошло о математике этих культур. Пусть о математике 20 века до некоторого гипот. историка дойдёт обрывок тетрадки по математике 3 класса и несколько бухгалтерских расчётов. И мы на осн. этого будем оценивтаь их культуру. Аналогично и мы не можем оценить, что там было. Поэтому любое рассужд, было оно или нет, осн. на косвенных соображ. И какое соображ.: сторонники того, что доказ. было и в догр. матем., являют след мысль: человек везде человек, и мыслит везде одинаково, и если не могу представить, как можно без доказательство, то и они не могли без них. Поэтому либо они не дошли, либо не записывались. Что касается противников: всё, что мы знаем о культурах этих стран --- кто в нём, чем занимался, какой уклад жизни, не было некоей соц. ниши, в которой кто-то мог разраб. средства доказательства. Всё, ыто мы знаем, показывает то, что там это не нужно, это было жёсткое иерархиизированное общество. А, в отличие от них, у греков появляется эта ниша, созд. условия, и, более того, провоц к созд. полемики и проч. Лектор склонен к тому, что доказ. нет. Конечно, какое-то осмысление было, но путь тогда был не ценен, акцент был не на этом. Писцу древнеегип. не нужно было никому доказывать, что то, как он говорит, что это правильно. Ему нужно выдавать рецепт, и никто не просит обоснования.

Мы поговорили о том, в чём отлич. древнегр. матем от вост., поэтому у нас есть основ. связывать появление матем. с укзаанным периодом. На что стоит обратить внимание: что означ. слово математика, откуда появилось Если бы мы спросили у греков, то мы бы получили вполне опр. ответ. Этот ответ есть у поздних авторов: это байки, рассказанные о себе. Доксаграфия --- истории, сборники мнений о великих людях. Лектор отсылает к Диогену ... . Конечно, многие вещи, и, в частности, история о том, откуда появлилось слово матем. мы черпаем у поздних авторов, которых отделяет достаточно большое расстояние, 3---4 вв нэ. Тем не менее, античные анекдоты достаточно метки, опр. моменты схватывают дост. точно. Истории о созд. матем. однозначно отсылают к Пифагору и древним пифагорейцам. Античная, языческая школа просуществовала достаточно долго, пока школы не заакрылись.

Так вот, когда это происходило: сам Пифагор жил где-то в конце 6 века, сообщ. просущ. до 4.

Пифагор и пифагорейцы

Так что же озн. гр. слово матем.? Самое любопытное след. --- если мы спросим себя, как наиболее точно переводить слово матем. на русский, то это будет слово "наука", оно у казывает на то, что учат, чему обучают. И, как сообщ. поздние источники, есть какие-о области знания, которые могут быть усвоены самостоятельно, и есть какие-то знания, математика, которые требуют процесс обучения, наставления. Опять же, это отсыл. к Пифагор. сообщ., в частности, ... в своей пифагор. жизни расск. историю о том, что члены пиф. сообщ. делились на две группы: перифирийная, "слушатели", им сообщали только набор правил повед., в виде правил, что нужно, и что нельзя делать, и им не объясн., как это делать. И математиков, "наученных", которым обучение передавалось в полном объёме. Вот контекст.

Итак, термин связывают с пифагорейцами. Этот термин закрепляется в переходе от платона к Аристотелю, это рубеж 5 и 4 веков, и оказывается, что он закрепл. за нек-рой группой дисциплин, которые упорно предст. круг дисциплин, ктоторыми заним. пифагорейцы. Некоторые ист. нзаывают две дисц.: арифметика и геометрия. Кроме того, в текстах того же платона таких дисциплин оказывается 4: добавляются астрономия и музыка. В результате, получается 4 дисциплины. Причём, хотя в гр. разл. текстах можно найти разные варианты, но основная, самая известная и закрепившаяся, именно эта структура, теснйшим образом взаимосвяз. Эта 4 дисциплин, в средних веках, с лёгкой руки Байерса, получила название квадривиума, четверичного пути. Есть ещё другой термин Б.: трифиум, тривиально. Когда форм. вредневековая система учёности, была система 7 свободных искусств, 4 указанных и три языковых: грамматика, риторика и диалектика (логика). Это самый первый уровень, тривиальный: тривиум, потом квадривиум, потом другие, боле серьёзные вещи. Эта четвёрка, которая восх. к пифагорейцам, прочущ. очень долго.

Что же предст. собой 4 дисц., что за ними стояло? Второй вопрос: почему, при чём тут пифагорейцы, почему именно у них появл.

Начнём с первого вопроса. Что предст. 4 дисциплины в ту пору, и почему они обр. единое целое, почему в посл. это назвали матем. Понятно, что музыка это не иск. игры и астрономия это не наблюдение и запись движений тел. Тем не менее, здесь среди всего, что мы называли прикл. мат, преобл именно эти.

1. Арифметика. В этот период появл. арифметика. А что, до этого не вычисл. ничего? Вычисл. Но тут появилась арифм. как некатарая обл. знания о числах, которая обособила и противопоставила себя практич. выцчисл. Есть логистика: искуство счёта, а арифм это другое, это учение о числах, которе не связано с практ. задачами вычисл. Какие ещё особенности: греч. слово арифм. происх. от гр. слова арифмос, "число", но это слово имеет некоторые особенности. Хорошо, можно спросить, что греки называли числом? Число --- нат. число, хотя и тут возн. странности: можно обнаружить у того же Евклида, что 1 числом не является. В пифагор. школе и 2 числом не явл., числа нач. с 3. Первый вопрос: греки других чисел не знали? Рац., иррац? Эта класиф. любопытно. Рац. чисел не было. Дробей не было. Были отношения чисел. При этом отношение не рассм. как целостный объект не ставлися в один ряд с числами. Что, иррац не знали? Знали, классиф., но они возникали как геом. задачи, как отн. отрезков, это были как задачи отн. отрезков. И когда мы видим, что греки говаорят по поводу фигур., геом чисел, надо понимать, что контекст немного другой. Более того, нат. числа они представляли не совсем так. У Платона терм. плавающая, но арифм. он называет учение о чётном и нечётном. С нашей т. з. чётность особого смысла не имеет, это частный случай делимости. Дело вот в чём, почему у греков было важно: греки предст числа геометрически, Евклид числа изобр. отрезками, но, судя по тому, что говоряыт историки, такое предст. не было первоначальным. Первоначально числа предст набором дискр. объектов: для грека не только число, но и кучка и 10 камешков, которые можно по разному располож. Для них очень характ. задача: если есть число, то какого рода геом . конф. можно предст. Или наоборот: какие числа могут быть предст. в виде опр. фигуры. Эта тема характерна для греч. воспр. числа. Почему учение о чётности: если выложить в ряд, то у чётных разбитие по пустому месту, у неч. по объекту. Поэтому чётные числа соершенные. Кроме того, чётные числа женские... Вообще, есть у пифагорейцев теория о противополож. Кроме того, есть разные фигурные числа.И так, число мылится таким образом, образ геометричен.
2. Геометрия. Здесь попроще, наше предст. близко к пифагорейским, здесь достаточно всё понятно, но тоже были некоторые собенности. Греки больше тяготели к симметр. и правильным конфигурациям. Здесь связь с орнаментами и укладками больше. Пример: как вы думаете, какая теорема фигур. в числе самых раннрих, связ. с Пифагор? Теорема пифагора, теорема о сумме углов треуг., ещё одна: теорема о паркетах: если хочется замостить правильными многоуг. паркет, то это можно сделать тремя способами: 3,4,6-угольниками. Кроме того: сейчас мы рассм общ. треуг, и потом частые случаи. Греки смотрели наоборот: самый правильный равносторонний, остальное --- отклонения. Здесь представление о правильности, симметричности очень важно.

Это понятно, как астр. с музыкой затесались.

1. Музыка. Упорно расск., что воспр. мира свзано с откр., которое сделал Пифагор: он открыл музык. интервал. Он открыл, что то, хорошо или плохо звучит, зависит от отношения чисел. Открыл базовые интервалы: октаву, кванту и квинту; 1:2, 2:3, 3:4. Идея состоит в том, что музыка --- учение о праввльиных музык. интервалах. Связь правильности звучания с отношениями чисел. Опять же, с одной стороны, это прикл. матем, с другой, это арифм. и геометрия (деление струн на части). Музыка в таком понимании дост. тесно связ.
2. Астрономия. А., дост. серьёзная, существовала раньше. В догр. цив., похоже, минмальная связь набл. с объясн. Греки начинают с того, что пытаются создать модель мира, описать,как что движется, возн. некие кинем. модели. Эти модели были пронизаны идеей правильности, всё станет подчинено главной фигкру: круг/шар. Действиетльно, небесные тела двигаются по окр., имею шарообр форму., соотн. орбит подчиненно правильным соотношениям. Это такая правильная картина. Но как атсрономия связана с мцзыкой: согл. Пиф., вся эта красота как-то звучит, неокоторы мправильным, прекрасным, образом. Когда речь шла о соотн. орбит, то они связывались с интервалами. Так или иначе важна идея, что астр. теснейшим образом связана с музыкой.

Эти 4 дисц. образовывали связь воспр. в единое целое. Поянтно, что в разное время возникали на роль претендентовв матем. науки. Например, оптика, реже механика, но базоваяч структура оставлаась такая.

Несколько слов о след. вопросе. Как лектор сказал, возн. вопрос: хорошо, квалривиум, да, пифагор, но с чего вдруг они нач. этим заниматься. В первую очередь бросается в глаза, что это не связано в коммерч., практич. проектами, более того, математика рассм не как решение практических задач. Именно поэтому тут есть музыка и астрономия, потому что отн. к ним особое. Астр: почему подлунный мир? выше орбиты луны --- неизменный, правильный мир, ниже --- область созд. и уничт., и человек должен был стремиться правильности, отстраняться от практ., Эти науки направлены на то, чтобы вытаскивать из хаоса и ... . И последнее, возн. вопрос, каков контекст: зачем? Это вопрос, что предст. собой сообщ.ю, которое создал Пифагор, и это сообщ. хоть и занималось тем, как надо орг. правильную жизнь. Гармония --- пифагорейский термин, неоке предст. о правильном ритме, симметрии. Но, что здесь важно: доминанта была религиозная, и интерес к матем. задавался религиозным контекстом. Окажется, что, похоже, этого будет недостаточно. Да, пифагор. сообщ. предст. замкнутый круг, но если бы матем. жила в сост. пиф. сообщ., то она в составе него бы и погибла, но она начала победоносно шествовать, и этот вопрос, который будет нас занимать.