Редактирование: Тигры, 02 лекция (от 11 сентября)
Материал из eSyr's wiki.
Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
- | + | Остлось доказть, что ... | |
- | + | ||
- | + | ||
x ∈ X, y ∈ Y, t ∈ (0,1) | x ∈ X, y ∈ Y, t ∈ (0,1) | ||
Строка 7: | Строка 5: | ||
K((1-t)x*+tx+y) > (1-t)k(x*,y) + tK(x, y) ≥ (1-t)_w_(x*) + tK(x,y) | K((1-t)x*+tx+y) > (1-t)k(x*,y) + tK(x, y) ≥ (1-t)_w_(x*) + tK(x,y) | ||
- | ỹ = y((1-t)x* + tx) --- это верно при | + | ỹ = y((1-t)x* + tx) --- это верно при фикс. ... |
- | _w_(x*) ≥ _w_((1-t)x* + tx) > (1-t)_w_(x*) + tk(x, ỹ) --- | + | _w_(x*) ≥ _w_((1-t)x* + tx) > (1-t)_w_(x*) + tk(x, ỹ) --- мыр списли эт сотн. при y=ỹ |
t_w_(x*) &gy; tK(x,ỹ) | t_w_(x*) &gy; tK(x,ỹ) | ||
Строка 15: | Строка 13: | ||
_w_(x*) > K(x, y((1-t)x* + tx)) | _w_(x*) > K(x, y((1-t)x* + tx)) | ||
- | Это | + | Это соотн. справидлив ∀t ∈ (0,1). Устремим t к 0. Что получится: |
- | _w_(x*) ≥ K(x,y(x*)) (здесь мы | + | _w_(x*) ≥ K(x,y(x*)) (здесь мы исп. докзанную в нчле непр.) |
Левая величина _w_(x*) = K(x*, y(x*)) | Левая величина _w_(x*) = K(x*, y(x*)) | ||
- | То есть | + | То есть покзно, что это — седловая точка. |
- | Теперь | + | Теперь отк. от стргости выпуклости/вогнутоти. |
Введём функцию K_ε(x,y) = K(x,y) - ε &sum_{i=1}^n x_i^2 + ε &sum_{j=1}^m y_j^2, ε > 0 | Введём функцию K_ε(x,y) = K(x,y) - ε &sum_{i=1}^n x_i^2 + ε &sum_{j=1}^m y_j^2, ε > 0 | ||
- | Так | + | Так кк кажде из лагаемых строго выпукло по x/y, то и сумма тоже строго выпукла по x и y. След, для неё верно только что док. утв.: (x_ε, y_ε) — седловая точка. K_ε(x,y) |
K_ε(x,y_ε) ≤ K_ε(x_ε,y_ε) < K_ε(x_ε,y), ∀ x ∈ X, y ∈ Y | K_ε(x,y_ε) ≤ K_ε(x_ε,y_ε) < K_ε(x_ε,y), ∀ x ∈ X, y ∈ Y | ||
Строка 38: | Строка 36: | ||
K(x, y_ε) — ε &sum_{i=1}^n x_i^2 ≤ K_ε(x_ε,y_ε) ≤ K(x_ε,y) + ε &sum_{j=1}^m y_j^2, ∀ x ∈ X, y ∈ Y | K(x, y_ε) — ε &sum_{i=1}^n x_i^2 ≤ K_ε(x_ε,y_ε) ≤ K(x_ε,y) + ε &sum_{j=1}^m y_j^2, ∀ x ∈ X, y ∈ Y | ||
- | Теперь ε_n → 0, n → ∞, ε_n > 0. | + | Теперь ε_n → 0, n → ∞, ε_n > 0. Тгд эти слаг. устр. к нулю, из гр. посл. можно выделить сходящуюся, соотв., без. гр. бщности y_{ε_n} → y*, x_{ε_n} → x*, и получем |
- | K(x, y*) ≤ K(x*, y), из этого условия мы | + | K(x, y*) ≤ K(x*, y), из этого условия мы дказывали ранее, что K(x*, y*) — седловя точка. |
- | Важно | + | Важно тметить, что эти усл. являются дсттчными, но не необхдимыми. |
- | Пример ( | + | Пример (усл. не явл. необх.): |
K(x,y) = x^e + 0×y, x, y ∈ [0,1]. (1,1) — седловая точка. (доказать дома) | K(x,y) = x^e + 0×y, x, y ∈ [0,1]. (1,1) — седловая точка. (доказать дома) | ||
Строка 52: | Строка 50: | ||
K(x,y) = y ln(x+3) + xy^2, x, y ∈ [0,1] | K(x,y) = y ln(x+3) + xy^2, x, y ∈ [0,1] | ||
- | Условия теоремы фон | + | Условия теоремы фон Нейман выполняются: |
K_{x}' = y/(x+3) + y^2 | K_{x}' = y/(x+3) + y^2 | ||
Строка 62: | Строка 60: | ||
K_{yy}'' = 2x ≥ 0 — выпукла по y. | K_{yy}'' = 2x ≥ 0 — выпукла по y. | ||
- | + | Усл. т. ф-Н вып, и есть седловая точка (показать дома, чт это (1,0)) | |
- | Теорема | + | Теорема констр. и вообще говоря, ей можн польз. для нахжд. седл. точки. |
- | Сейчас | + | Сейчас рассм. частный случай платжнй функции, для которой есть простой алгоритм. Он позв. свести писк. седл. точки к реш. сист. ур. и реш. мтр. игры. |
- | Раздел: | + | Раздел: необх. усл. для седловой точки |
- | + | Рассм. след. случай: множество стртегий X имеет след. вид: X={x=(x_1, ..., x_n), 0 ≤ a_i ≤ x_i ≤ b_i, i = 1..n}, Y={y=(y_1, ..., y_m), 0 ≤ c_i ≤ y_j ≤ d_j, j = 1..m} | |
- | Предполагаем, что K(x, y) | + | Предполагаем, что K(x, y) непр. на X× Y и имеет част. призсв. K_{x_i}', K_{y_j}', i=1..n, j=1..m. |
- | Прежде, чем вып. след. деёств, | + | Прежде, чем вып. след. деёств, рассм. систему: |
K_{x_i}'(x, y)(x_i - a_i)(x_i - b_i) = 0, i=1..n | K_{x_i}'(x, y)(x_i - a_i)(x_i - b_i) = 0, i=1..n | ||
K_{y_j}'(x, y)(y_j - c_j)(y_j - d_j) = 0, j=1..m (*) | K_{y_j}'(x, y)(y_j - c_j)(y_j - d_j) = 0, j=1..m (*) | ||
- | Предположим, | + | Предположим, чт эта сист. имеет реш. и мн-во решений конечно. Тогда пр. след. мнжества: те x из X, что: |
X^c = {x ∈ X: ∃y ∈ Y, (x,y) ∈ X} | X^c = {x ∈ X: ∃y ∈ Y, (x,y) ∈ X} | ||
Строка 83: | Строка 81: | ||
.... | .... | ||
- | + | Т. Если (x_0, y^0) — седловая точка K(x,y) на X×Y, то (x_0, y^0) ∈ C, (x_0, y^0) — c.т. K на X^c×Y^c | |
- | Эта | + | Эта теорем даёт нам алгритм поиска седл. Тчки. Пусть есть такая функция и вып. все усл. мы вып. сист. ур. (*), решаем её, получем, чт мн. реш. кнечно. Выпис мн-в X^c×Y^c, и получаем матричную игру, и тут уже искать просто. |
- | Еcли с.т. у K есть, то она | + | Еcли с.т. у K есть, то она бяз. вйдт в число точек матр. игры. Т есть реш. матр. игру и проверяем, будет ли каждя из. седл. точек для исх. игры. |
- | + | Доказательство. | |
K(x,y^0) ≤ K(x^0, y^0) ≤ K(x^0, y), ∀ x ∈ X, y ∈ Y | K(x,y^0) ≤ K(x^0, y^0) ≤ K(x^0, y), ∀ x ∈ X, y ∈ Y | ||
Строка 99: | Строка 97: | ||
Таким образом мы доказали первую часть. | Таким образом мы доказали первую часть. | ||
- | + | Втрая часть: если мы берём первое соотн, и оно верно при ∀ x ∈ X, y ∈ Y, то оно верно и при ∀ x ∈ X^c, y ∈ Y^c | |
- | Таким | + | Таким обр. мы получили алгоритм. |
Пример. | Пример. | ||
Строка 107: | Строка 105: | ||
K(x,y)=8(4xy^2-2x^2-y), x,y∈[0,1] | K(x,y)=8(4xy^2-2x^2-y), x,y∈[0,1] | ||
- | + | Сначла прверим, вып. ли усл. т. ф-Н. По x она вогн. и по y она вып. Отсюда по т. ф-н. сущ. с. т. | |
- | Теперь будем строить | + | Теперь будем строить сист. ур. (*): |
K'_x=8(4y^2-4x), K'_y=8(8xy-1) | K'_x=8(4y^2-4x), K'_y=8(8xy-1) | ||
Строка 115: | Строка 113: | ||
(y^2-x)(x-0)(x-1) = 0 | (y^2-x)(x-0)(x-1) = 0 | ||
(8xy-1)(y-0)(y-1) = 0 | (8xy-1)(y-0)(y-1) = 0 | ||
- | решаем эту систему: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (1, 1/8), (1/4, 1/2) --- построили | + | решаем эту систему: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (1, 1/8), (1/4, 1/2) --- построили мнжество C |
X^c = {0, 1/4, 1}, Y^c = {0, 1/8, 1/2, 1} | X^c = {0, 1/4, 1}, Y^c = {0, 1/8, 1/2, 1} | ||
- | Теперь строим | + | Теперь строим матр. игру: |
x^c \ y^c 0 1/8 1/2 1 | x^c \ y^c 0 1/8 1/2 1 | ||
0 0 -1 -4 -8 | 0 0 -1 -4 -8 | ||
Строка 125: | Строка 123: | ||
1 -16 -33/2 -12 8 | 1 -16 -33/2 -12 8 | ||
- | + | седл. точка --- (1/4, 1/2). Дальше над, вобще говоря, проверить все плоуч. седл. точки. | |
- | Но | + | Но пск. мыу уст., что пот . ф-Н есть 1 седл точка, а получили мы их мксимум одну, то их ровно одна. |
- | + | Смешанные стратегии в ант. играх. | |
- | Когда | + | Когда рассм. игра с плат. матр. A = ||a_ij||, i=1..n, j=1..m. Каждый выбирает i/j соответственно, и один получает a_ij, другой -a_ij |
- | Игра обычно | + | Игра обычно разыг. много раз. При этом возн. понятие p=(p_1, ..., p_n), p_i > 0, &suum;_{i=1}^n p_i=1 --- вектор вер. выб. стратегии i --- смешанная тртегия перв. игрока. Множество этих стратегий P_n = {p=(p_1, ..., p_n), p_i > 0, ∑_{i=1}^n p_i=1}. Аналогично для второго игрока: Q_m = {q=(q_1, ..., q_m), q_j > 0, ∑_{j=1}^m q_j=1}. |
- | Пусть p∈ P_n, q ∈ Q_n. Как | + | Пусть p∈ P_n, q ∈ Q_n. Как считется результат? читается матожидание платежа. Платёж a_ij первый игрок плучет при выборе стртегии i и выборе стр. j вторым игроком. Но первый игр. выбирает с вер. p_i, а второй — q_j. Вероятность дн. выбора --- p_i×q_j. Тогда выигрыш равен A(p,q) = &sum_{i=1}^n ∑_{j=1}^m a_ij p_i q_j. Это показ, какой выигр. получат игроки , если выбрли стратегии p, q. |
- | От игры с | + | От игры с плат. матр. A мы перешли к игре с плат. функцией A(p,q). |
A(p,j) = &sum_{i=1}^n a_ij p_i, A(i, q) = ∑_{j=1}^m a_ij q_j | A(p,j) = &sum_{i=1}^n a_ij p_i, A(i, q) = ∑_{j=1}^m a_ij q_j | ||
Строка 143: | Строка 141: | ||
A(p,q) = ∑_{j=1}^m A(p,j) q_j = &sum_{i=1}^n A(i, q) p_i | A(p,q) = ∑_{j=1}^m A(p,j) q_j = &sum_{i=1}^n A(i, q) p_i | ||
- | Каждый игрок по прежнему | + | Каждый игрок по прежнему действ. по принц. мкс. выгоды, тгда плучим: |
max_{p∈P_n} min_{q∈Q_m} A(p,q) = min_{q∈Q_m} A(p^0,q) | max_{p∈P_n} min_{q∈Q_m} A(p,q) = min_{q∈Q_m} A(p^0,q) | ||
Строка 149: | Строка 147: | ||
min_{q∈Q_m} max_{p∈P_n} A(p,q) = max_{p∈P_n} A(p,q^0) | min_{q∈Q_m} max_{p∈P_n} A(p,q) = max_{p∈P_n} A(p,q^0) | ||
- | В | + | В такй игре всегд сущ. седл. точка. |
Л1. P_n, Q_m — выпуклые компакты. | Л1. P_n, Q_m — выпуклые компакты. | ||
1) p^1, p^2 ∈ P_n, α ∈ (0,1) | 1) p^1, p^2 ∈ P_n, α ∈ (0,1) | ||
- | + | Рссмтрим αp^1 + (1-α)p^2 | |
Тогда | Тогда | ||
αp^1 + (1-α)p^2 ≥ 0 | αp^1 + (1-α)p^2 ≥ 0 | ||
Строка 165: | Строка 163: | ||
∑_i=1^n lim_{k &rasrr; ∞} p_i^k = ∑_i=1^n p_i^0 | ∑_i=1^n lim_{k &rasrr; ∞} p_i^k = ∑_i=1^n p_i^0 | ||
- | Из | + | Из опр. P и Q. Мы делем вывод, что A(p,q) непр, и явл. линейной. Знчит, на и вып, и вогн. по любой перем. То есть, на вогн. по p и вып. по q. Терема ф-н. По теореме ф-н сущ. седл. тчка. Т. о.., мы доказали теор. "в матр. игре всегда сущ. смеш. стратегия". Нуи и поск. мы тметили, чт функция A(p,q) — непр., а мнжества смеш. стр. явл. компактными, то это позволяло писать max/min. |
- | Ну и | + | Ну и вобще, мы делем какой вывд: max min и min max равны. Это следствие из теоремы. |
- | Как решать | + | Как решать матр. игры в меш. страт.: нужно нйти любую седловую точку. |
- | + | тметим ещ раз., чт если p*, q* --- оптимальные стртегии, то (p*, q*) — седловая точка. | |
- | Отметим | + | Отметим св-ва оптимальных смешанных стратегий. Тройкой (p*, q*, V) будем называть решение игры. V = max_p nim_q A(p,q) = min_q max_p A(p,q) = A(p*, q*) Когда нам будет дана со смеш. стратегией, т целью будет явл. реш. игры. Таких троек мжет быть много. Для поиска таких троек небх. знть св-ва опт. смеш. стртегий. |
- | 1. Если (p*, q*, V) — решение игры с | + | 1. Если (p*, q*, V) — решение игры с матр. A, то (p*, q*, V+c) — решение игры с матрицей Ã = ||a_ij + c||, c=const. Мы примбвили кнстанту ко всем эл-там матрицы. Чт меняется? Мнжеств реш. не меняется, меняется тльк знач. игры. Докажем: |
A(p,q) + c = A(p,q) + c(∑_i=1^n p_i)(∑_i=j^m q_j) = &sum_{i=1}^n ∑_{j=1}^m (a_ij + c) p_i q_j = Ã(p,q) | A(p,q) + c = A(p,q) + c(∑_i=1^n p_i)(∑_i=j^m q_j) = &sum_{i=1}^n ∑_{j=1}^m (a_ij + c) p_i q_j = Ã(p,q) | ||
- | Пусть | + | Пусть выплнено условие, и A(p*, q*) — ст. Тогда |
A(p,q*) ≤ A(p*, q*) ≤ A(p*, q) | A(p,q*) ≤ A(p*, q*) ≤ A(p*, q) | ||
Строка 186: | Строка 184: | ||
Ã(p,q*) ≤ A(p*, q*) + с ≤ Ã(p*, q) | Ã(p,q*) ≤ A(p*, q*) + с ≤ Ã(p*, q) | ||
- | Теперь из | + | Теперь из утв., док. на пршлой лекции, следует, что (p*, q*) обр. седл. тчку и (p*, q*, V+с) — решение игры |
- | 2. Тройка (p*, q*, V) | + | 2. Тройка (p*, q*, V) явл. реш. игры т и тт, к A(i, q*) ≤ V ≤ A(p*,j), ∀ i=1..n, j=1..m |
- | + | Док-во. 1)Пусть (p*, q*, V) — решение. Тогда: | |
A(p,q*) ≤ A(p*, q*) = V ≤ A(p*, q), ∀ p ∈ P_n, q ∈ Q_m | A(p,q*) ≤ A(p*, q*) = V ≤ A(p*, q), ∀ p ∈ P_n, q ∈ Q_m | ||
- | Т.к. оно верно для всех p, q, то можно взять p=(0...0, 1 (i-е место), ..., 0) ∈ P_n, q=(0...0, 1 (j-е место), ..., 0) ∈ Q_m, и | + | Т. к. оно верно для всех p, q, то можно взять p=(0...0, 1 (i-е место), ..., 0) ∈ P_n, q=(0...0, 1 (j-е место), ..., 0) ∈ Q_m, и срзу получаем эт и соотношения. |
- | 2)Пусть | + | 2)Пусть вып. соотн: |
A(p,q*) ≤ A(p*, q*) = V ≤ A(p*, q), ∀ p ∈ P_n, q ∈ Q_m | A(p,q*) ≤ A(p*, q*) = V ≤ A(p*, q), ∀ p ∈ P_n, q ∈ Q_m | ||
- | Возьмём | + | Возьмём произв p, q. Возьмём соотн. A(i, q*) ≤ V, i=1..n |
∑_{i=1}^n p_i A(i, q*) ≤ ∑_{i=1}^n V p_i | ∑_{i=1}^n p_i A(i, q*) ≤ ∑_{i=1}^n V p_i | ||
A(p, q*) ≤ V | A(p, q*) ≤ V | ||
- | В итоге | + | В итоге плучится, что A(p,q*) ≤ V ≤ A(p*, q). Это значает, что (p*, q*, V) — решение. |
Пример. | Пример. | ||
Строка 213: | Строка 211: | ||
Решение: ((1/2, 1/2), (1/2, 1/2), 1/2) | Решение: ((1/2, 1/2), (1/2, 1/2), 1/2) | ||
- | + | Мжн докзать, что _I_ ≤ V ≤ ~I~ (докзать дома) | |
3. Справедливы следующие равенства: | 3. Справедливы следующие равенства: | ||
Строка 234: | Строка 232: | ||
V = min_q max_p A(p,q) = min_q max_i A(i,q) | V = min_q max_p A(p,q) = min_q max_i A(i,q) | ||
- | Cл2. (доказать | + | Cл2. (доказать самстоятельно) (p*, q*, V) — решение т и тт, к min_ A(p*, j) = max_i A(i, q*) = V |
- | В | + | В это св-в тоже заложен некий алг. поиска решения. |
Св4. (p*, q*, V) — решение | Св4. (p*, q*, V) — решение | ||
Строка 242: | Строка 240: | ||
1) q*_{j_0} > 0 ← A(p*, j_0) = V | 1) q*_{j_0} > 0 ← A(p*, j_0) = V | ||
- | + | Дкажем первую часть. | |
пусть p*_{i_0} > 0, A(i_0, q*) ≤ V | пусть p*_{i_0} > 0, A(i_0, q*) ≤ V | ||
Строка 250: | Строка 248: | ||
Св5. P*, Q* — компакты. | Св5. P*, Q* — компакты. | ||
- | + | Док-во. Выпуклсть: p_1, p62 ∈ P*, α ∈ (0,1) | |
~p = αp^1 + (1-α)p^2 ∈ P_n | ~p = αp^1 + (1-α)p^2 ∈ P_n | ||
- | Осталось доказать, что это оптимальная стратегия. Все | + | Осталось доказать, что это оптимальная стратегия. Все линейнсти можн записть след. брзм: A(~p, j) = αA(p^1, j) + (1-α)A(p^2,j) ≥ αV + (1-α)V=V |
A(~p, j) ≥ V, ∀ j=1..m | A(~p, j) ≥ V, ∀ j=1..m | ||
Строка 269: | Строка 267: | ||
p^0 ∈ P* | p^0 ∈ P* | ||
- | В | + | В след раз мы покажем, что крйних тчек конеч. число, и тогда это многогрнник. Тгда же будет укзн способ нахожд. крайнихз точек. |
Раздел: доминирование матричных строк и столбцов | Раздел: доминирование матричных строк и столбцов | ||
- | + | Предп, что одна из стрк каз. меньше других, то первому игроку выгднее её вычеркнуть и не рассм. Аналогично для второго игрока. | |
- | Теорема. Если | + | Теорема. Если нек. стрк матрицы A = ||A_ij|| доминируется (строго доминируется) выпуклой линейной комб. ост. строк, то эта строка входит с нулевой верятнстью в некрую (любую) опт. смеш. стратю. первг игрока (и её мжн вычеркнуть). |
- | Теорема. Если | + | Теорема. Если нек. столбец матрицы A = ||A_ij|| доминирует (строго доминирует) выпуклую лин. комб. ост. стролбцов, то этот столбец входит с нулевой вероятнстью в некрую (любую) опт. смеш. стратю. второго игрока (и его можно вычеркнуть). |
- | + | Нестргое доминирование. Пусть нек-рая строка матр. нестрог доминируется. Чт это значит: | |
- | + | Взьмём α+i ≥ 0, &sum_{i≠i_0} α_i = 1, ∑ α_i a_i ---вып. лин. комб. | |
- | + | Дминируется: a_ij ≤ ∑_{i≠i_0} αa_ij, j=1..m --- нестр. доминир. | |
- | a_ij < ∑_{i≠i_0} αa_ij, j=1..m --- | + | a_ij < ∑_{i≠i_0} αa_ij, j=1..m --- стр. доминир. |
p* ∈ P* | p* ∈ P* | ||
Строка 298: | Строка 296: | ||
~p ∈ P_n | ~p ∈ P_n | ||
- | Осталось | + | Осталось показть, что это оптим. смеш. страт. |
A(~p, ) = ∑_{i ≠ i_0} (p*_i + α_i p*_{i_0}) a_ij = ∑_{i ≠ i_0} p*_i a_ij + p*_{i_0} ∑_{i ≠ i_0} .... | A(~p, ) = ∑_{i ≠ i_0} (p*_i + α_i p*_{i_0}) a_ij = ∑_{i ≠ i_0} p*_i a_ij + p*_{i_0} ∑_{i ≠ i_0} .... | ||
Строка 304: | Строка 302: | ||
A(~p, ) ≥ V | A(~p, ) ≥ V | ||
- | + | Случй строгого дминирвания: | |
- | Надо | + | Надо дказать, что p*_{i_0} = 0. Пусть p*_{i_0} ≥ 0. Тогда V=A(i_0, q*) = ∑_j a_{{i_0}j} q*_j < ∑_j (∑_{i≠i_0} α_i a_ij) q*_i = ∑_j α_i ∑_j a_ij q*_i = ... V < V — противоречие. |
Пример | Пример | ||
Строка 313: | Строка 311: | ||
4 2 4 0 | 4 2 4 0 | ||
0 4 0 8 | 0 4 0 8 | ||
- | + | Первя строка меньше третьей, след., она доминир., но нестрого. Но если мы ищем хотя бы дн реш., то мы её мжем вычеркнуть. | |
3 4 2 4 | 3 4 2 4 | ||
4 2 4 0 | 4 2 4 0 | ||
0 4 0 8 | 0 4 0 8 | ||
- | Сравним 1 и 3 | + | Сравним 1 и 3 стобцы. 1 ≥ 3. Имеет место доминир. столбцов, и его можно вычеркнуть. |
4 2 4 | 4 2 4 | ||
2 4 0 | 2 4 0 | ||
4 0 8 | 4 0 8 | ||
- | Первый столбец доминирует | + | Первый столбец доминирует л. к. 2 и 3 столбцв с коэф. 0.5. Оаять первый столбец вычёркиваем. |
2 4 | 2 4 | ||
4 0 | 4 0 | ||
0 8 | 0 8 | ||
- | Здесь | + | Здесь доминир. строк. доминируется 1 строчка ЛК 2 и 3 с коэф 0.5 |
4 0 | 4 0 | ||
0 8 | 0 8 | ||
- | Не | + | Не бхъясняя, как мы ищем реш, то для посл. игры решение такое: p*' = (2/3, 1/3), q*' = (2/, 1/3), w=8/3. |
{{Тигры}} | {{Тигры}} | ||
{{Lection-stub}} | {{Lection-stub}} |