Редактирование: Тигры, контрольная 1

==Описание==

В 2012 году лектор дал всего две задачи. В обеих был параметр '''N''', который на самом деле мало на что влиял. Его надо было посчитать как количество букв вашего ФИО, то есть для '''Потапенко Виктор Алексеевич''' параметр '''N''' = 25. Оценка складывалась из 2 за присутствие и по 1,5 за каждую из задач (за каждый из трех подпунктов первой задачи по 0,5). При неправильно посчитанном '''N''' лектор ставил 2. В проходе аудитории (П8) стоял стол, который мешал ходить, и, возможно поэтому, лектор не ходил и не проверял валидность конспектов, отсутствие телефонов и пр. На все давалось примерно 20 минут

==Теория==

===Седловые точки===

'''Седловая точка''' матрицы - это формально такой элемент матрицы, что в своем столбце он самый большой (один из самых больших, т.е. не строго >), а в своей строке он один из самых маленьких. Например в матрице

[[Изображение:Tig2.png]]

седловая точка - это элемент в первом столбце второй строке, так как он >= всех остальных элементов первого столбца и <= всех остальных элементов второй строки. Довольно просто показать, что если у матрицы несколько седловых точек, то все их значения равны. Для поиска всех седловых точек в матрицах большой размерности не нужно рассматривать каждый элемент отдельно, можно воспользоваться алгоритмом, опирающимся на вспомогательную теорему. Работу алгоритма покажем на примере поиска всех седловых точек матрицы

[[Изображение:Tig3.png]]

Соберем наименьшие значения по всем строкам, получим '''(-4, 2, 2, -3)'''. Также соберем наибольшие значения по всем столбцам '''(7, 2, 7, 2)'''. Проверим, равно ли наибольшее из чисел первого набора наименьшему числу из второго набора. В нашем случае это так и это число 2. Если бы оказалось, что максимум первого набора меньше, чем минимум второго, то седловых точек не было бы. А ситуации, что максимум первого набора больше минимума второго вообще быть не может, доказывается отдельно. Итак, теперь посмотрим, на каких позициях стоят 2-ки в наших наборах. В первом это '''{2, 3}''', а во втором это '''{2, 4}'''. На произведении этих множеств и располагаются все седловые точки (то есть '''{2, 3}''' X '''{2, 4}''' = { '''{2, 2}''', '''{3, 2}''', '''{2, 4}''', '''{3, 4}''' } )

[[Изображение:Tig4.png]]

Но причем здесь теория игр? Дело в том что при игре один-на-один, когда интересы игроков прямо противоположны мы пользуемся матрицами стратегий и понятием седловых точек. Например при игре в "камень ножницы бумага" матрица стратегий выглядит так

[[Изображение:Tig5.png]]

где стратегия - это непосредственно выбор камня, ножниц или бумаги, а на пересечениях стратегий выигрыш первого игрока. первый игрок выбирает строку, второй выбирает столбец. Можно проверить, что у этой матрицы нет седловых точек. Как и почти у всех матриц интересных игр один-на-один. Но представим, что матрица будет выглядеть немного по другому

[[Изображение:Tig6.png]]

И на пересечениях стратегий размер выигрыша первого игрока в рублях. То есть, если первый игрок выбрал бумагу и второй игрок выбрал бумагу, то второй платит первому 2 рубля. А если первый игрок выбрал ножницы, а второй камень, то первый игрок платит второму 1 рубль. Понятно, что первый игрок сразу же поймет, что надо все время показывать бумагу, так как тогда он будет только выигрывать. А второй, стараясь проиграть меньше, будет показывать камень, так как показав камень, он проиграет рубль, а не два. Как вы наверное уже догадались, точка в первой строке втором столбце - седловая (можете проверить). Игроки в погоне за выгодой будут выбирать стратегии так, что на их пересечении будут находиться седловые точки. А значение в этой точке (в данном случае '''1''') называется '''значением игры'''. Тройка {оптимальная стратегия Игрока 1, оптимальная стратегия Игрока 2, значение игры} называется '''решением игры'''. В нашем случае это {1, 2, 1} (или {Б, К, 1} что тоже самое).

Но мы довольно сильно исказили матрицу стратегий, а значит и правила, игры "камень ножницы бумага". Редкий человек захочет участвовать в ней в роли Игрока 2. Наши коррективы сделали игру несправедливой. Наличие седловой точки, как правило, свидетельствует о несправедливости игры

===Смешанные стратегии===

Когда седловых точек нет, начинается поиск вероятностей, с которыми надо распределить стратегии, чтобы обеспечить наибольший выигрыш. То есть уже понятно, что нет "волшебной" стратегии, подходящей на все случаи жизни, и что надо выбирать разные стратегии с разными вероятностями

[[Изображение:Tig7.png]]

===Методы решения матричных игр===

Графический алгоритм показан на примере решения второй задачи из контрольной.

Также существует способ выкидывать неинформативные строки и столбцы из матрицы стратегий. Для этого нам нужно понятия слабого доминирования и выпуклой комбинации:

* Вектор '''a''' слабо доминирует вектор '''b''', если любой i-ый элемент '''а''' больше или равен i-му элементу '''b'''.

* Выпуклой комбинацией называют линейную комбинацию векторов, в которой коэффициенты неотрицательны и в сумме дают единицу. Например 0.2'''a''' + 0.3'''b''' + 0.5'''c''' это выпуклая комбинация векторов '''a''', '''b''' и '''c'''

Итак, строку мы можем выкинуть, если существует выпуклая комбинация остальных строк, слабо доминирующая эту строку. А столбец мы можем выкинуть, только если '''он''' слабо доминирует какую-нибудь выпуклую комбинацию остальных столбцов.

[[Изображение:Tig8.png]]

==Задачи==

===Задача 1===

====Пункт а====

Ответить на вопрос и обосновать, может ли у матрицы '''''N'''''x'''''N''''' быть ровно [[Изображение:Tig9.png]] (округлено вверх) седловых точек?

'''Решение'''

* Для четного N да, так как [[Изображение:Tig9.png]] это ровно половина элементов матрицы. Так что заполним левую половину нулями, а правую единицами. Получим точно нужное количество элементов, так как все нули у нас - наибольшие в столбцах и наименьшие в строках

[[Изображение:Tig10.png]]

* Для нечетного N нет, так как метод нахождения седловых точек, описанный в разделе Теория, основан на теореме, следствием из которой является то, что множество седловых точек представляется как прямоугольник, то есть множество точек ['''x''','''y'''] где '''x''' принадлежит '''X''', а '''y''' принадлежит '''Y'''. То есть количество седловых точек должно раскладываться на два множителя, оба из которых меньше или равны '''N'''. Таким образом, у матрицы 3x3 не может быть 7 седловых точек, так как 7 - простое число. А для N =25 [[Изображение:Tig9.png]] =313, а это число не делится нацело ни на одно из чисел от 2 до 25

====Пункт б====

Ответить на вопрос и обосновать, может ли у матрицы '''''N'''''x'''''N''''' не быть седловых точек?

'''Решение'''

Да, конечно. И это даже не зависит от N (при N > 1). Пример

[[Изображение:Tig11.png]]

Любой '''0''' является наименьшим в своей строке, но не является наибольшим в своем столбце.

Любая '''1''' является наибольшей в своем столбце, но не является наименьшей в своей строке.

====Пункт в====

Ответить на вопрос и обосновать, может ли у матрицы '''''N'''''x'''''N''''' быть ровно одна седловая точка?

'''Решение'''

Да, конечно. И это даже не зависит от N. Пример

[[Изображение:Tig12.png]]

Единственная седловая точка здесь это '''1''' (легко проверить)

===Задача 2===

Найти решение игры для матрицы стратегий

[[Изображение:Tig13.png]]

Будем решать для '''N''' = 25, но на самом деле здесь мало что зависит от '''N'''. Мы видим, что здесь нет седловых точек, а значит решение существует (причем обязательно) только в смешанных стратегиях

Воспользуемся графическим методом, который рассчитан на матрицы 2x'''n''' и '''m'''x2

Используя коэффициенты из трех столбцов нашей матрицы, запишем три уравнения прямых

[[Изображение:Tig14.png]]

Вычислив точки пересечения, построим графики ('''p''' принимает значения от 0 до 1)

[[Изображение:Tig15.png]]

Из всех пересечений выбираем те, под которыми не проходят другие прямые, и из них выбираем то, что левее. В нашем случае все просто, это пересечение прямых '''l1''' и '''l3'''. Значение '''p''' в этой точке 1/2, а значит распределение стратегий первого игрока у нас '''P''' = {'''p''', 1-'''p'''} = {1/2, 1/2}. Значение игры у нас 15,5 (значение l1 или l3 в точке пересечения). Осталось найти распределение стратегий второго игрока. Для этого нам надо решить еще одно уравнение. У нас пересеклись прямые l1 и l2, поэтому возьмем первый и третий столбец исходной матрицы. В каждом из них из верхнего элемента вычтем нижний (так мы получаем коэффициенты для уравнения второго игрока): '''k1''' = 1 - 30 = -29, '''k3''' = 30 - 1 = 29. Подставим их в уравнение

[[Изображение:Tig16.png]]

теперь '''Q'''= {'''q''', 0, 1 -'''q'''} (для прямых, не участвовавших в пересечении проставляем нулевую вероятность), следовательно '''Q''' = {1/2, 0, 1/2}

'''Ответ:''' '''P''' = {1/2, 1/2}, '''Q''' = {1/2, 0, 1/2}, '''v''' = 15,5

'''P.S.''' Есть решение еще проще. Если '''N'''>15, то можно выкинуть средний столбец, потому что он доминирует полусумму первого и третьего столбца. Тогда у нас получается циклическая матрица 2x2, которая легко решается и без графического метода