Редактирование: СППМ/ЧУМ, 02 лекция (от 23 марта)
Материал из eSyr's wiki.
Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 13: | Строка 13: | ||
* ∅ — идеал | * ∅ — идеал | ||
* Идеал, порожд. a: | * Идеал, порожд. a: | ||
- | + | <a> <b> = J(b) | |
\ / | \ / | ||
∅ | ∅ | ||
- | + | * Идеал, порожд. a и b: | |
- | + | <a,b> | |
/ \ | / \ | ||
- | + | <a> <b> = J(b) | |
\ / | \ / | ||
∅ | ∅ | ||
* c: | * c: | ||
- | + | <a,b> <c> | |
/ \ / | / \ / | ||
- | + | <a> <b> = J(b) | |
\ / | \ / | ||
∅ | ∅ | ||
* Объед. идеалов c и a,b: | * Объед. идеалов c и a,b: | ||
- | + | <a,c> | |
/ \ | / \ | ||
- | + | <a,b> <c> | |
/ \ / | / \ / | ||
- | + | <a> <b> = J(b) | |
\ / | \ / | ||
∅ | ∅ | ||
* Объед. идеалов d: | * Объед. идеалов d: | ||
- | + | <d> | |
| | | | ||
- | + | <a,c> | |
/ \ | / \ | ||
- | + | <a,b> <c> | |
/ \ / | / \ / | ||
- | + | <a> <b> = J(b) | |
\ / | \ / | ||
∅ | ∅ | ||
Строка 71: | Строка 71: | ||
Вторая операция: добавление наиб. или наим. элемента. Будем обозн. P^. | Вторая операция: добавление наиб. или наим. элемента. Будем обозн. P^. | ||
- | Третья операция — прямая сумма, P+Q. Если у нас есть два ЧУМ, P и Q, с непересек. носителями: | + | Третья операция — прямая сумма, P+Q. Если у нас есть два ЧУМ, P и Q, с непересек. носителями: <P, ≤_P>, <Q, ≤_q>, то P ∪ Q наз. множеством объед., а порядок задан след. образом: x ≤ y ⇔ x ≤_P y || x ≤_Q y. |
Частично мы делаем вот для чего: обычно все ЧУМ необозримы, и какая-то их классиф., нет её. Например, попытка разл. ЧУМ в прямую сумму и рассм. компоннты. Наск. она удачна, увидим позже. | Частично мы делаем вот для чего: обычно все ЧУМ необозримы, и какая-то их классиф., нет её. Например, попытка разл. ЧУМ в прямую сумму и рассм. компоннты. Наск. она удачна, увидим позже. | ||
Строка 82: | Строка 82: | ||
x_2 | x_2 | ||
- | / \ | + | / \ < вот здесь можно разрезать |
x_1 x_3 | x_1 x_3 | ||
- | | | + | | >< | < вот здесь можно разрезать |
y_2 y_4 | y_2 y_4 | ||
- | / \ / | + | / \ / < здесь — нельзя. |
y_1 y_3 | y_1 y_3 | ||
Лубое ЧУМ. разл. в множ. упор. или неуп. элементоа. | Лубое ЧУМ. разл. в множ. упор. или неуп. элементоа. | ||
- | Лексикограф. сумма: | + | Лексикограф. сумма: <P, ≤_P>, причём с каж. эл-том P связано ЧУМ <Q_p, ≤_p>. Сейчас будет подстановка: ∑_p Q_p. Его элементы — пары (p,q), а порядок — след. образом: (p, q) ≤ (p', q') ⇔ (p <_P p') || ((p = p') && (q ≤_p q')) |
На уровне диагграмм Х.: надо нарис. P, откинуть все линии, вместо каждого эл-та нарис. Q, и соед. элементы макс. и мин. элементы. | На уровне диагграмм Х.: надо нарис. P, откинуть все линии, вместо каждого эл-та нарис. Q, и соед. элементы макс. и мин. элементы. | ||
Строка 114: | Строка 114: | ||
Прямое произведение P × Q есть упорядоч. мн-во с носителем P × Q, порядок задаётся след. образом: (p, q) ≤ (p', q') ⇔ p ≤_P p' && q ≤_Q q'. На ур. диагр. Х. вместо каждого элемента из P ставим Q и соед. соотв. элементы. | Прямое произведение P × Q есть упорядоч. мн-во с носителем P × Q, порядок задаётся след. образом: (p, q) ≤ (p', q') ⇔ p ≤_P p' && q ≤_Q q'. На ур. диагр. Х. вместо каждого элемента из P ставим Q и соед. соотв. элементы. | ||
- | + | < Пример Z_3 × Z_4 > | |
P × Q ~= Q × P. Однако диагр. Х. будут совершенно непохожи. | P × Q ~= Q × P. Однако диагр. Х. будут совершенно непохожи. | ||
- | Важна след. теорема: каждый частич. порядок вложим в произв. соотв. цепей: P ⊂- | + | Важна след. теорема: каждый частич. порядок вложим в произв. соотв. цепей: P ⊂-> C_1 × ... × C_k. |
По поводу прямой суммы: '''1''' озн. один элмент, если есть P+Q, то есть и nP. Что такое n'''1'''? Антицепь из n элементов. А что такое 1 +O 1 +O ... +O 1? n-элем. цепь. | По поводу прямой суммы: '''1''' озн. один элмент, если есть P+Q, то есть и nP. Что такое n'''1'''? Антицепь из n элементов. А что такое 1 +O 1 +O ... +O 1? n-элем. цепь. | ||
Строка 138: | Строка 138: | ||
P^n ~= Q^n ⇒ P ~= Q. | P^n ~= Q^n ⇒ P ~= Q. | ||
- | Степень. Есть два ЧУМ, | + | Степень. Есть два ЧУМ, <P, ≤_P>, <Q, ≤_Q>, P^Q — множество всех изотонных отобр. из Q в P: {f: Q → P | f — изотонная}, порядок: f ≤ g: ∀_Q x: f(x) ≤_P q(x) |
Для д. Х. нет простого алгоритма. для примера лектор построит Z_4^{Z_3}: | Для д. Х. нет простого алгоритма. для примера лектор построит Z_4^{Z_3}: | ||
- | + | < пример > | |
'''2''' ×' '''3''': | '''2''' ×' '''3''': | ||
Строка 192: | Строка 192: | ||
Полная решётка — inf/sup суш. у любого подмн-ва. | Полная решётка — inf/sup суш. у любого подмн-ва. | ||
- | Другой подход к решётке: | + | Другой подход к решётке: <L, |_|, П>. Эти операции подч. законам коммутативности: a |_| b = b |_| a (аналогич. для пересеч.); ассоциативности: a П (b П c) = (a П b) П c; jvybgjntynyjcnb x |_| x = x; полгощения x |_| (x П y) = x. |
Любое решёточно упор. множество есть решётка и наоборот. a |_| b = sup {a,b}, a П b = inf {a, b}. | Любое решёточно упор. множество есть решётка и наоборот. a |_| b = sup {a,b}, a П b = inf {a, b}. | ||
Строка 236: | Строка 236: | ||
Элемент наз. неразлож. в объед, если из a = b |_| c ⇐ a = b || a = c | Элемент наз. неразлож. в объед, если из a = b |_| c ⇐ a = b || a = c | ||
- | В рассм. в начале лекции примере | + | В рассм. в начале лекции примере <c> неразложим. |
Множество всех неразлож. эл-тов L будем обозн. I_{rr}(L). | Множество всех неразлож. эл-тов L будем обозн. I_{rr}(L). | ||
Строка 255: | Строка 255: | ||
* Z_k | * Z_k | ||
* Забор с соед. кр. элементами. Малая корона — s_n | * Забор с соед. кр. элементами. Малая корона — s_n | ||
- | * Двудольное ЧУМ, по n элементов, где верх. связ. со всеми ниж, кроме своего индекса: a_i | + | * Двудольное ЧУМ, по n элементов, где верх. связ. со всеми ниж, кроме своего индекса: a_i < b_i, i ≠ j. Это наз. большая корона — S_n. |
- | s_n, S_n — 2n-эл множества, n | + | s_n, S_n — 2n-эл множества, n>3. |
Для n ≥ 3, k ≥ 0 вводится двудольный граф из 2(n+k) элементов, где верхние эл. соед. с нижними n, начиная с i+k+1, циклически. Обобщённая корона. | Для n ≥ 3, k ≥ 0 вводится двудольный граф из 2(n+k) элементов, где верхние эл. соед. с нижними n, начиная с i+k+1, циклически. Обобщённая корона. |