Редактирование: Основы Кибернетики, Алгоритмы решения задач/Задачи на синтез схем

Материал из eSyr's wiki.

Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.

== По заданной ФАЛ с помощью простейших методов, метода каскадов или метода Шеннона построить реализующую ее СФЭ или КС. ==

=== Простейшие методы ===
==== Промежуточные действия ====
* Если ФАЛ представлена в виде таблицы, то построим по ней совершенную ДНФ (как объединение всех возможных случаев, когда она равна 1).
* Если ФАЛ представлена в виде формулы, преобразуем ее, чтобы остались только функции базиса Б0. Кроме того, поднимаем все отрицания (они должны стоять только над переменными, но не над бо́льшими кусками выражения).

==== Получение СФЭ ====
Строим как-нибудь подвыражения в соответствии с приоритетом операций. Поскольку оставлены только функции базиса Б0, то это не вызывает особых затруднений. Что вижу, то и рисую.

==== Получение КС ====
Разбираем формулу
* ''A'' ∨ ''B'' преобразуем в ветвление, где один вариант реализует ''A'', а другой — ''B''
* ''A'' & ''B'' преобразуем в последовательное соединение, где первая часть реализует ''A'', другая — ''B''.
* ''x''i преобразуем в контакт с меткой ''x''i
* ''x''i преобразуем в контакт с меткой ''x''i

=== Метод каскадов ===
==== Промежуточные действия ====
Пусть у нас имеются булевы функции F1(x1,x2,...xn),...,Fk(x1,x2,...xn), зависящие от n переменных. Обозначим следующее множество:
 M0 = {F1(x1,x2,...xn),...,Fk(x1,x2,...xn)}.
В простейшем случае, в нем одна функция. Воспользуемся следующим приемом:
 F(x1,x2,...xn)=x1*F(1,x2,...xn)V x1*F(0,x2,...xn)
Тогда определим правило построения следующих множеств (M1,M2,...,Mn):
 Mi+1 = {g(0,xi+1,...xn)|g∈Mi} U {g(1,xi+1,...xn)|g∈Mi}.
Если функция представлена строкой значений, то формируем новое множество из левых и правых половин.
Если функция представлена формулой, то подставляем в нее xi=0 и xi=1 и упрощаем.
При этом после построения из Mi удаляются все фунции, несущественно зависящие от x1 (для строк значений это хорошо видно, т.к. левая и правая половина совпадает)
===== Пример =====
 f1(x1,x2,x3,x4)=(1000 0010 1111 1000)
 f2(x1,x2,x3,x4)=(1000 1111 0010 1000)
*M0={(1000 0010 1111 1000),(1000 1111 0010 1000)}
*M1={(1000 0010),(1111 1000),(1000 1111),(0010 1000)}
*M2={(1000),(0010),(1111)}
*M3={(10),<strike>(00)</strike>,<strike>(11)</strike>}
*M4={0,1}

==== Получение СФЭ ====
Реализуем на базе любого входа
*0 = xi & xi
*1 = xi V xi

Для реализации элемента Mi используем элементы Mi+1: пусть f(0,xi+1,...xn)=g(xi+1,...xn) и f(1,xi+1,...xn)=h(xi+1,...xn).

Тогда для реализации f соединеним дизъюнкцией конъюнкцию g и xi с конъюнкцией h и xi.

Реализацию элементов M0 метим как выходы СФЭ.

==== Получение КС ====
Обозначаем все элементы всех множеств узлами КС.
*если g(xi+1,...xn)=h(0,xi+1,...xn), то соединим g и h контактом с меткой xi
*если g(xi+1,...xn)=h(1,xi+1,...xn), то соединим g и h контактом с меткой xi
После этого удаляем вершину с меткой 0 и все ведущие в нее контакты. Вершину с меткой 1, а также F1,...,Fk помечаем как входы КС.

=== Метод Шеннона ===
==== Промежуточные действия ====
Выбираем некоторое 1≤q≤n. Расклыдаваем исходное f(x',x") = V xi+1σi+1 & xi+2σi+2 & ... & xnσn & fσ"(x').
Обычно выбирают q = округленноый вниз(log2(n-2*log2(n))). После чего составляется универсальный многополюсник порядка q(имеющий q входов и 2n выходов) и мультиплексор порядка n-q (зависщий от адресных переменных xi+1, ... ,xn и от выходов универсального многополюсника, выдающий на выход fσ"(x') в соответствии с приведенной формулой в свой единственный выход).

Данный метод не применяется на практике для построения КС или СФЭ, это скорее мысленный эксперимент вроде падающего из окна Дэвида Дойча или квантового самоубийцы, используемый затем Шенноном и его последователями для оценки функции Шеннона...

==== Получение СФЭ ====
Универсальный многополюсник в СФЭ выглядит так:
Мультиплексор порядка q для f(x) в СФЭ выгладит так:

==== Получение КС ====
Универсальный многополюсник в КС выглядит так: точно так же как в методе каскадов к каждой вершине приписываем x1 или x1, дабы соединить с новой волной вершин. В каждой следующем множестве будет в 2 раза больше вершин.
Мультиплексор порядка q для f(x) в КС выгладит так:

== Оценить сверху или снизу сложность конкретной ФАЛ или сложность самой сложной ФАЛ из заданного множества в заданном классе схем. ==
=== Оценка сложности самой сложной ФАЛ из класса ===
Для того, что посчитать сложность самой сложной ФАЛ из некоторого класса ''Q''(''n'') &isin; ''P''2(''n''), то есть, иначе говоря, вычислить функцию Шеннона, связанную с классом ''Q''(''n'') (и для некоторого класса cхем U — например, СФЭ или КС), необходимо выполнить следующие шаги:
# Посчитать число функций в заданном классе ''Q''(''n'').
# Сразу же из этого получить асимптотически нижнюю оценку функции Шеннона, связанной с классом ''Q''(''n''):
#* ''L''''K''(''Q''(''n'')) ≳ log(|''Q''(''n'')|) / log(log(|''Q''(''n'')|))
#* LC(''Q''(''n'')) ≳ log(|''Q''(''n'')|) / log(log(|''Q''(''n'')|))
# Показать, как для любой функции из данного класса построить схему из класса U, реализующую данную функцию и имеющую сложность, асимптотически равную вычисленной нижней оценке. Из этого будет следовать, что полученная асимптотически нижняя оценка является и асимптотически верхней оценкой, а из этого, в свою очередь, будет следовать, что функция Шеннона для заданного класса ''U''(''n'') будет просто асимптотически равна полученной нижней оценке.
#* В пункте 3 всегда пригождается следующее: для любой функции от ''n'' переменных можно построить, реализующую её СФЭ и КС со сложностью, асимптотически не превосходящей 2n / ''n''

==== Пример ====
* Посчитать функцию Шеннона, связанную с классом самодвойственных функций, для класса СФЭ.
** Самодвойственная функция ''f'': ''f''(''x''1, &hellip;, ''x''n) = ''f''(''x''1, &hellip;, ''x''n)

'''Решение'''
# Первый пункт является самым главным. В нём нужно получить некоторую формулу, в которой любая функция из заданного класса выражается через функцию от меньшего числа переменных. Полученная формула пригодится и впоследствии. Например, для класса самодвойственных функций, разложим функцию ''f'' по первой переменной ''f''(''x''1, ''x''2, &hellip;, ''x''n) = ''x''1 & ''f''(0, ''x''2, &hellip;, ''x''n) ∨ ''x''1 & ''f''(1, ''x''2, &hellip;, ''x''n) = ''x''1 & ''f''(0, ''x''2, &hellip;, ''x''n) ∨ ''x''1 & ''f''(0, ''x''2, &hellip;, ''x''n) = ''x''1 & ''f''0(''x''2, &hellip;, ''x''n) ∨ ''x''1 & ''f''0(''x''2, &hellip;, ''x''n), где ''f''0 = ''f''(0, ''x''2, &hellip;, ''x''n). Перепишем это в виде ''f''(''x''1, &hellip;, ''x''n) = ''x''1 ⊕ ''f''0(''x''2 ⊕ ''x''1, &hellip;, ''x''n ⊕ ''x''1) (*). Теперь видно, самодвойственная функция от ''n'' переменных однозначно определяется функцией ''f''0 от ''n'' &minus; 1 переменной, и, следовательно, число самодвойственных функций от ''n'' переменных равно 22''n'' &minus; 1. В принципе, это и ежу очевидно, но полученная нами (*) потребуется нам в дальнейшем.
# Из пункта 1 следует что ''L''C(''Q''(''n'')) ≳ 2''n'' &minus; 1 / ''n''
# Из (*), а также из утверждения строим схему для произвольной самодвойственной функции. Строим ''f''0 (сложность 2''n'' &minus; 1 / (''n'' &minus; 1)). Для ''n'' «⊕» потребуется ещё не более, чем ''C'' &times; ''n'' функциональных элементов. В итоге как раз и получится, что сложность результирующей схемы асимптотически не превосходит 2''n'' &minus; 1 / ''n''

==== Пример ====
* Посчитать функцию Шеннона, также для класса СФЭ, связанную с классом функций, таких, что:
''f''(''x''1, ''x''2, ''x''3, &hellip;, ''x''n) = ''f''(''x''3, ''x''1, ''x''2, &hellip;, ''x''n)

'''Решение'''
# Разлагаем ''f'' по первым трём переменным:
#* ''f''(''x''1, ''x''2, ''x''3, ''x''4, &hellip;, ''x''n) = ''x''1 & ''x''2 & ''x''3 & ''f''(0, 0, 0, ''x''4, &hellip;, ''x''n) ∨ ''x''1 & ''x''2 & ''x''3 & ''f''(0, 0, 1, ''x''4, &hellip;, ''x''n) ∨ ''x''1 & ''x''2 & ''x''3 & ''f''(0, 1, 0, ''x''4, &hellip;, ''x''n) ∨ ''x''1 & ''x''2 & ''x''3 & ''f''(0, 1, 1, ''x''4, &hellip;, ''x''n) ∨ ''x''1 & ''x''2 & ''x''3 & ''f''(1, 0, 0, ''x''4, &hellip;, ''x''n) ∨ ''x''1 & ''x''2 & ''x''3 & ''f''(1, 0, 1, ''x''4, &hellip;, ''x''n) ∨ ''x''1 & ''x''2 & ''x''3 & ''f''(1, 1, 0, ''x''4, &hellip;, ''x''n) ∨ ''x''1 & ''x''2 & ''x''3 & ''f''(1, 1, 1, ''x''4, &hellip;, ''x''n) = (''x''1''x''2''x''3 ∨ ''x''1''x''2''x''3) & ''f''a ∨ ((''x''1''x''2''x''3 ∨ ''x''1''x''2''x''3)) & ''f''b (*), где ''f''a = ''f''(0, 0, 0, ''x''4, &hellip;, ''x''n) = ''f''(1, 0, 0, ''x''4, &hellip;, ''x''n) = ''f''(1, 1, 0, ''x''4, &hellip;, ''x''n) = f(1, 1,1,x4,...,xn) = ''f''(0, 1, 1, ''x''4, &hellip;, ''x''n) = ''f''(0, 0, 1, ''x''4, &hellip;, ''x''n); ''f''b = ''f''(0, 1, 0, ''x''4, &hellip;, ''x''n) = ''f''(1, 0, 1, ''x''4, &hellip;, ''x''n). Теперь видно, что функция из данного класса однозначно определяется парой (''f''a, ''f''b), где ''f''a, ''f''b — функции от ''n'' &minus; 3 переменных. Таким образом, число функций из заданного класса равно числу таких пар, т.&nbsp;е. 22''n'' &minus; 3 &times; 22''n'' &minus; 3 = 22''n'' &minus; 2
# Из (1) следует, что ''L''C(''Q''(''n'')) ≳ 2''n'' &minus; 2 / ''n''
# Опять же, из (*) ясно, как строить схему для произвольной функции из заданного класса. Строим СФЭ для функций ''f''a, ''f''b (сложность каждой &le; (2''n'' &minus; 3 / (''n'' &minus; 3)). И, кроме того, нам потребуется дополнительная константа С «∨», «&» и «¬» для реализации (*). Складывая (2''n'' &minus; 3 / (''n'' &minus; 3)) + (2''n'' &minus; 3 / (''n'' &minus; 3)) + С, получим как раз, что это ≲ 2''n'' &minus; 2 / ''n''.

<!-- Объяснил довольно криво, но, надеюсь, идея понятна.
И ещё я не умею пользоваться викой. Как встраивать латеховские формулы?
Почему у меня не получается? Вначаое пытался, а потом забил...

Есир, помоги, пожалуйста! Надеюсь, что ты всё приведёшь к нормальному виду, если тебе не будт влом.
Броник. -->

==== Оценка снизу ====

=== Оценка сложности ФАЛ ===
==== Оценка сверху ====
=== Оценка сложности самой сложной ФАЛ из класса ===
==== Оценка снизу ====

== По заданной КС построить эквивалентную ей самокорректирующуюся КС. ==
=== Определение самокорректирующейся КС ===
(p,&nbsp;q)-самокорректирующейся КС называют КС, из которой всегда получается эквивалентная ей КС (реализующая те же формулы через все контакты) после p операций обрыва контакта (смена проводимости одного контакта с xσ на 0) и q операций замыкания контакта (смена проводимости одного контакта с xσ на 1).

=== Простейший способ построения ===
* Для защиты от одного разрыва каждый контакт заменяем на пару параллельных.
* Для защиты от n разрывов&nbsp;— на (n+1) дублирующих друг друга контактов.
* Для защиты от одного замыкания каждый контакт заменяем на пару последовательных.
* Для защиты от n замыканий&nbsp;— на (n+1) подряд идущих одинаковых контактов.
Итого, для (p,&nbsp;q)-самокорректирующей схемы мы каждый из контактов заменяем на последовательность из (q&nbsp;+&nbsp;1) блоков, каждый из которых&nbsp;— параллельный пучок из (p&nbsp;+&nbsp;1) контакта.

==== Пример ====
{|
 !Исходная контактная схема
 !Контактная схема, исправляющая один разрыв
 |-
 |style="text-align:center"|[[Изображение:Contact_scheme.png|320px|Исходная контактная схема]]
 |style="text-align:center"|[[Изображение:Contact_scheme_parallel.png|320px|Контактная схема, исправляющая один разрыв]]
 |-
 !Контактная схема, исправляющая одно замыкание
 !Контактная схема, исправляющая один разрыв и одно замыкание
 |-
 |style="text-align:center"|[[Изображение:Contact_scheme_sequential.png|320px|Контактная схема, исправляющая одно замыкание]]
 |style="text-align:center"|[[Изображение:Contact_scheme_pq.png|320px|Контактная схема, исправляющая один разрыв и одно замыкание]]
 |}

=== Способы с оптимизацией числа дуг самокорректирующейся КС ===
Существуют способы предварительной модификации схемы, после чего к контактам нетронутой части применяется описанный выше алгоритм.

==== Для исправления одного замыкания ====
*Выделяем цикл из одинаковых контактов, вводим новую вершину и делаем ее центром звезды, на которую заменяем найденный цикл.
*Все контакты, не вошедшие ни в 1 цикл удваиваем последовательно.
*Данная конфигурация устойчива к одному замыканию, т.к. между любыми исходными узлами появляется не 1, а 2 контакта.

==== Для исправления одного обрыва цепи ====
*Выделяем звезду из одинаковых контактов, удаляем все контакты звезды и соединяем все контакты циклом.
*Все контакты, не вошедшие ни в 1 звезду удваиваем параллельно.
*Данная конфигурация устойчива к одному обрыву, т.к. между любыми 2 узлами появляется не 1, а 2 пути.

Пожалуйста, обратите внимание, что все ваши добавления могут быть отредактированы или удалены другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. eSyr's_wiki:Авторское право).
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Описание изменений:

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, использованные на этой странице:

Шаблон:Курс Основы Кибернетики

Получено с http://esyr.org/wiki/%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D1%8B_%D0%9A%D0%B8%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8%2C_%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D1%8B_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B7_%D1%81%D1%85%D0%B5%D0%BC

@@ Строка 18: / Строка 18: @@
 === Метод каскадов ===
 ==== Промежуточные действия ====
-Пусть у нас имеются булевы функции F<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, &hellip; , x<sub>n</sub>), &hellip; , F<sub>k</sub>(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, &hellip; , x<sub>n</sub>), зависящие от n переменных. Обозначим следующее множество:
+Пусть у нас имеются булевы функции F<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,...x<sub>n</sub>),...,F<sub>k</sub>(x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,...x<sub>n</sub>), зависящие от n переменных. Обозначим следующее множество:
- M<sub>0</sub> = {F<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, &hellip; , x<sub>n</sub>), &hellip; , F<sub>k</sub>(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, &hellip; , x<sub>n</sub>)}.
+ M<sub>0</sub> = {F<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,...x<sub>n</sub>),...,F<sub>k</sub>(x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,...x<sub>n</sub>)}.
 В простейшем случае, в нем одна функция. Воспользуемся следующим приемом:
- F(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, &hellip; , x<sub>n</sub>) = x<sub>1</sub>*F(1,x<sub>2</sub>, &hellip; , x<sub>n</sub>)V <span style="border-top:solid 1px">x<sub>1</sub></span>*F(0, x<sub>2</sub>, &hellip;, x<sub>n</sub>)
+ F(x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,...x<sub>n</sub>)=x<sub>1</sub>*F(1,x<sub>2</sub>,...x<sub>n</sub>)V <span style="border-top:solid 1px">x<sub>1</sub></span>*F(0,x<sub>2</sub>,...x<sub>n</sub>)
-Тогда определим правило построения следующих множеств (M<sub>1</sub>, M<sub>2</sub>, &hellip; , M<sub>n</sub>):
+Тогда определим правило построения следующих множеств (M<sub>1</sub>,M<sub>2</sub>,...,M<sub>n</sub>):
- M<sub>i+1</sub> = {g(0,x<sub>i+1</sub>, &hellip; , x<sub>n</sub>)|g∈M<sub>i</sub>} U {g(1,x<sub>i+1</sub>, &hellip; , x<sub>n</sub>)|g∈M<sub>i</sub>}.
+ M<sub>i+1</sub> = {g(0,x<sub>i+1</sub>,...x<sub>n</sub>)|g∈M<sub>i</sub>} U {g(1,x<sub>i+1</sub>,...x<sub>n</sub>)|g∈M<sub>i</sub>}.
 Если функция представлена строкой значений, то формируем новое множество из левых и правых половин.
 Если функция представлена формулой, то подставляем в нее x<sub>i</sub>=0 и x<sub>i</sub>=1 и упрощаем.
@@ Строка 30: / Строка 30: @@
  f<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,x<sub>3</sub>,x<sub>4</sub>)=(1000 0010 1111 1000)
  f<sub>2</sub>(x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,x<sub>3</sub>,x<sub>4</sub>)=(1000 1111 0010 1000)
-*M<sub>0</sub> = {(1000 0010 1111 1000),(1000 1111 0010 1000)}
+*M<sub>0</sub>={(1000 0010 1111 1000),(1000 1111 0010 1000)}
-*M<sub>1</sub> = {(1000 0010),(1111 1000),(1000 1111),(0010 1000)}
+*M<sub>1</sub>={(1000 0010),(1111 1000),(1000 1111),(0010 1000)}
-*M<sub>2</sub> = {(1000),(0010),(1111)}
+*M<sub>2</sub>={(1000),(0010),(1111)}
-*M<sub>3</sub> = {(10),<strike>(00)</strike>,<strike>(11)</strike>}
+*M<sub>3</sub>={(10),<strike>(00)</strike>,<strike>(11)</strike>}
-*M<sub>4</sub> = {0,1}
+*M<sub>4</sub>={0,1}
 ==== Получение СФЭ ====

Редактирование: Основы Кибернетики, Алгоритмы решения задач/Задачи на синтез схем

Материал из eSyr's wiki.

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

инструменты

Разделы

Спецкурсы

9 семестр

7 семестр

5 семестр

3 семестр

Поиск

Инструменты