Редактирование: Определения из теории вероятностей

Материал из eSyr's wiki.

Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.

= <math>\sigma</math>-алгебра =
Совокупность A подмножеств множества <math>\Omega</math> называется <math>\sigma</math>-алгеброй:
* <math>\Omega \in A</math>
* <math>A_l \in A, l = 1,2</math>, то <math>\Sigma_{l=1}^{\inf}A_l \in A</math>
* если <math>B \in A</math>, то <math>\overline{B} \in A</math>

= Случайный эксперимент =
'''Случайный эксперимент''' -- это математическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать.

= Случайная величина =

Определение случайной величины различно для 2-х случаев: <math>\Omega</math> -- счетное или не счетное

'''Случайная величина''' -- подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

'''Случайная величина''' — это измеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве.

'''Случайная величина''' -- это функция, заданная на пространстве элементарных событий <math>\Omega = \{\omega_1, ... , \omega_n\}</math>.

==Определение==

Пусть <math>(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})</math> — вероятностное пространство. Функция <math>X\colon\Omega \to \mathbb{R}</math>, измеримая относительно <math>\mathcal{F}</math> и борелевской σ-алгебры на <math>\mathbb{R}</math>, называется случайной величиной.

Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением.

==Определение==
Случайной величиной называется функция <math>X = X(\omega)</math>, заданная на пространстве элементарных событий <math>\Omega</math>, для которой событие {X < x} = <math>\{ \omega: X(\omega) < x \}</math> принадлежит <math>\sigma </math>-алгебре A для любого вещественного X.

= Вероятность =
'''Вероятность''' (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события.  Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента]. Согласно определению П. Лапласа мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель - число всех возможных случаев.

'''Вероятность''' - мера, заданная на измеримом пространстве (Ω, X):

* Р(Ω)=1
* Р(А)>=0 для любого <math>A \in X</math>
* обладает свойством сигма-аддитивности (счетной аддитивности) .

= Вероятностное пространство =
==Определение==

'''Вероятностное пространство'''  — это тройка <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>, где 
* <math>\Omega \ </math> — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
* <math>\mathcal{F}</math> — сигма-алгебра подмножеств <math>\Omega \ </math>, называемых (случайными) событиями;
* <math>\mathbb{P}</math> — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что <math>\mathbb{P}(\Omega) = 1</math>.

=== Замечания ===
* Элементарные события (элементы <math>\Omega \ </math>), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
* Каждое случайное событие (элемент <math>\mathcal{F}</math>) — это подмножество <math>\Omega \ </math>. Говорят, что в результате эксперимента ''произошло'' случайное событие <math>A\subset \Omega</math>, если (элементарный) исход эксперимента является элементом <math>A</math>.<br>Требование, что <math>\mathcal{F}</math> является сигма-алгеброй подмножеств <math>\Omega \ </math>, позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.
= Распределение вероятностей =
''' Закон распределения случайной величины X ''' -- соответствие. которое каждому значению <math>x_l</math> дискретной случайной величины X сопоставляет его вероятность <math>p_l</math>.
'''Распределение вероятностей''' — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.

== Определение ==

'''Определение ''' Пусть задано вероятностное пространство <math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</math>, и на нём определена случайная величина <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math>. В частности, по определению, <math>X</math> является измеримым отображением измеримого пространства <math>(\Omega, \mathcal{F})</math> в измеримое пространство <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>, где <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math> обозначает борелевскую сигма-алгебру на <math>\mathbb{R}</math>. Тогда случайная величина <math>X</math> индуцирует вероятностную меру <math>\mathbb{P}^X</math> на <math>\mathbb{R}</math> следующим образом:

:<math>\mathbb{P}^X(B) = \mathbb{P}(X^{-1}(B)),\; \forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).</math>

Мера <math>\mathbb{P}^X</math> называется '''распределением''' случайной величины <math>X</math>.

= Случайная выборка =
'''Случайной выборкой объема <math>n</math>''', отвечающей случайной величине <math>X</math>, c функцией распределения <math>F(x)</math>, называется набор <math>n</math> независимых случайных величин <math>X_1, X_2, ..., X_n</math>, каждая из которых имеет распределение <math>F(x)</math>

= Источники =
http://ru.wikipedia.org

Пожалуйста, обратите внимание, что все ваши добавления могут быть отредактированы или удалены другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. eSyr's_wiki:Авторское право).
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Описание изменений:

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, использованные на этой странице:

Шаблон:Курс МОТП

Получено с http://esyr.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B7_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9

Редактирование: Определения из теории вероятностей

Материал из eSyr's wiki.

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

инструменты

Разделы

Спецкурсы

9 семестр

7 семестр

5 семестр

3 семестр

Поиск

Инструменты

@@ Строка 50: / Строка 50: @@
 = Распределение вероятностей =
 ''' Закон распределения случайной величины X ''' -- соответствие. которое каждому значению <math>x_l</math> дискретной случайной величины X сопоставляет его вероятность <math>p_l</math>.
 '''Распределение вероятностей''' — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.