Редактирование: ОКФиКВ, 03 лекция (от 27 февраля)

Материал из eSyr's wiki.

Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.

'''Диктофонная запись второй части лекции:''' http://esyr.org/lections/audio/quantphys_2008_summer/QP_08_02_27.ogg
Лекция 3.

Темы
* Финитные и инфинитные движения. Дискретные и непрерывные энергетические спектры. Движение частицы в одномерной потенциальной яме. Дискретность энергетических спектров. Приближение двухуровневой системы. Эффект тунелирования через барьер. Движение в периодическом потенциальном поле.

Если движение совершается без граничных условия (т.е. от <math>-\infty</math> до <math>+\infty</math>) то движение называется инфинитным. Если движение происходит в ограниченной области, то движение финитно.

''Примеры'':

* Свободное движение.

Потенциальная энергия <math>U=const</math>. Положим <math>U=0</math>.

<math>H=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}</math>

Уравнение Шредингера:

<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}=E\Psi</math> (''это '''частный''' случай уравнения Шреднигера!'')

<math>p_k = \langle p\rangle = \int\Psi^*_k(x)\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi_k(x)dx=\hbar k</math>

<math>\frac{1}{\hbar}\frac{\partial E_k}{\partial k}=\frac{\hbar k}{m} = \frac{p_k}{m} = v_k</math> Эта формула верна и в общем случае (без доказательства).

* В прямоугольной потенциальной яме
(см. картинку на первой фотографии доски)

Впервые мы сталкиваемся со случаем финитного движения.

При <math>U_0 = const < +\infty</math>получаем сложную математическую задачу. Мы будем рассматривать случай <math>U_0 = +\infty</math>.

<math>F=\frac{\partial U}{\partial x} = +\infty</math> Слева и справа действуют бесконечные силы, не выпускающие частицу из ямы.

Мы должны поставить математические условия к тому, что частица не проникает сквозь стенки ямы. <math>\Psi(-a/2) = \Psi(a/2) = 0</math>. Посмотрим, какой спектр получается в этом случае. Теперь мы должны решать уравнение Шредингера. У нас здесь три области. Когда решается задача с конечной глубиной, трудность в решении для каждой области, а потом сшивать их. Тут проще потому, что в области 1 и 3 ... равно 0. А в области 2 случай ничем не отличается от свободного движения чатицы. В области 1 и 3 волновая функция 0, а в области 2 это <math>Ce^{\pm ikx}</math>. Тогда получается вот какая картина: надо брать суперпозицию этих функций. Частным решением является каждая из функций, общим решением является супрерпозиция функций:

<math>\Psi_k^+=C\left(e^{ikx}+e^{-ikx}\right)=A\cos{kx}</math> (решение должно быть действительным)

Но есть ещё одно решение:

<math>\Psi_k^-=C\left(e^{ikx}-e^{-ikx}\right)=B\sin{kx}</math>

Чему равняется k? Лектор ещё раз запишет уравнение Шредингера в области 2, и теперь он просто подставляет <math>Ce^{ikx}</math>.

<math>\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}Ce^{ikx}=Ee^{ikx}C</math>

k зависит от энергии. Если энергия задана, то <math>k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}</math>. <math>\Psi^+(-\frac{a}{2})=\Psi^+(+\frac{a}{2})=0</math> Граничные условия у нас 0, значит, cos обращается в 0 здесь, здесь, и <math>\frac{k_na}{2}=\frac{\pi}{2}n,\,n=1,3,5,\dots</math>. Соответственно, cos обращается в 0 в дискретных точках. То есть, мы получаем квантование вектор k в результате граничных условий. Не все значения удовл граничным условиям, отсюда и получается квантование. Каждому этому значению k соответствует энергия, получаем квантованный спектр энергий, в данном случае дискретный квантованный спектр энергий.

Чтобы сделать заключение, исследуем второй случай.

Ставим граничное условие, равенство к 0 на границе, опять же приводит к квантованию вектора k:

Теперь мы можем резюмировать наши результаты. Наличие гр. условий приводит к дискр. энерг. спектру и дискр. набору волновых функций. Лектор их выпишет: ... . Вот результат мат. иссл. --- решения ур. Ш. Каки реузльтаты получаем: интересный эффект --- квантовый параллелизм. Он явл. следвтвием принципа суперпозиции. В обычной механике шар может лететь либо вперёд, либо назад. А в квантовой механике мы имеем решение: ... --- две волны, напр. противоположно друг другу. Но мы же стационарное решение нашли. А если подставить общее? Какой вид будет иметь полное решение тогда? ... Тогда ясно, что эти 2 волны распространяются в разных нпр. Фиксируете фазу, ддиф. по t, и получаете: ... . Мы впервые столкнулись с квантовым параллелизмом, в котором частица обл. обпр. импульсом. Это суперпозиц. сост. Характеристики суперпозиц. сост. неопределены. Нарисуем график: просто косирнус, n=2, первое возб. сост., это неч. функция. И, соответственно, уровни энергии: .... . И дальше, по мере возрастания n, дальше мы получаем, что уровни расходятся, E<sub>n</sub> ~ n^2, следовательно, расстояние пропорционлаьно n. Что главное: энерг. спектр при наличии гранич условий становится дискретным. В квантовой механике получаем дискр. сост., и благодаря этому возм. квантовые вычисл. Интуиция подск., что чтобы реализ  бит, нужна система с двумя состояниями. Если оставим два уровня, то это и есть кубит. Но есть отличие: он может находиться в суперпозиционном состоянии, давая экспоненциально большой выигрыш, и преимущества квантового компьютинга сидят в самой квантовой механике. В классической механике непр. энергетический спектр. А где появляются обертона? Серипач изм. длину волны, изменяется звучания. Изменяются гранич. условия. Гранич. условия приводят к квантованию. k квантовано, может принимать разреш знач, и екаждому значению k соответствует свой уровень энергии e_n. Дискр. энерг. спектр. Будет ещё один --- зонный спектр.

Теперь качественно обсудим те изменения, которые произойдут в случае реальной ямы. У нас есть аппарат, и даже не решая, мы можем сделать выводы. С чего начинаем: с записи гамильтониана. В области 2 ничего не меняется, уравнение Ш. такое же. А теперь в области 3: в обл. 3 нужно u_0 учесть, и получаем:  ... . Теперь, какое соотношение между u_0 и e? Нас будет интересовать связанное движение, и каждый ответит, что e < u_0? ЧТОбЫ ДВИжЕНИЕ бЫЛО СВЯЗНЫМ. ... Это означает, что у нас есть две возможности, два решения. Какое выбрать из этих двух решений? Ясно, что убывающее, возрастающее не удовлетворяет условиям нормировки. Обсудим физический смысл. ... Это область, в которой полная энергия меньше, че мпотенциальная. Внутри ямы, наоборот: ... . Но вне ямы e < u_0. Это невозможно в классической физике. Поскольку к полной энергии добавляется положительно опр. форма. Эта область называется ... . Квантовая частица может проникать в классич. недоступную область. Это качественный вывод. Какое следствие отсюда: несколько видоизменённых задач. ... Летит частица, волна слева направо. И вот частица попадает вот в эту область, а это энергия частицы, e < u_0. В некотором смылсе это аналог классической задачи: катится шарик со скоростью v, масса m, высота h. вопрос, что произойдёт? Как решать в классич. случае, понятно: сравнить кин. и пот. энергию. В квантовом случае оказывается, что частица проходит через этот барьер (туннелирует), с определённой вероятностью отражается.  Мы не найдём точно туннелирование, мы найдём экспоненциальный фактор. ... Это и будет вероятность просачивания/прохождения/туннелирования. Эффект туннелирования очень часто встречается в физике. При распаде идёт эффект туннелирования. Мы дома сталкиваемся с эффектом туннелирования. Например, если мы имеем контакт двух проводов. Электроны встречают слой диелектрика, и туннелируют. При этом возрастают примеры и сопротивление. Это простейжий пример эффекта туннелирования.

Осталось полчаса, и лектор хотел бы перейти к движению частицы в периодическом потенциале, но сначала лектор устроит проверочку.

Очень интересный и важный тип движкения. Предыдущий тип движения тоже очень важный тип, как пример --- движение электрона в атоме, там кулоновская яма. Тут жен примером является движение электрона в кристалле.

Ничего нового в подходе не езобретаем и изобрести не можем, действуем по схеме. КМ --- набор рецептов. Вот мы решили уравн Ш., и говорим, волна бежит сюда, волна бежит сюда, берём суперпозицию. Но где масса электрона? На этот вопрос КМ не отвечает, в первом постулате говорится. Это не вопрос КМ, КМ его отметает. Ни наа что другое КМ не претендует. Это от\дна из причин, по которой многие не удовлетворены КМ.

Ставим задачу. Есть у нас кристалл --- периодическое чередование атомов. Вообще, там трёхмерное движение, но мы рассм. одномер. движение. Получается такой одномерный кристалл. Ионы в кристалле создают периодический потенциал u(x). Главное что --- при приближении электрона к ядру его потенциал уменьшается. Важным оказывается только одно обстоятельство: периодичность движения. И мы отражаем эту периодичность такой формулой: ... . Эта функция, которая вляется периодической, может быть разложена в ряд Фурье таким образом ... . Вот всё, что мы можем. А, мы ещё можем записать гамильтониан: ... .  Это довольно сложная задача. Но в общем виде можно получить качественное решение. Как мы будем рассуждать? Представьте: кристалл, периодическая структура, влетает в кристалл волна. Что будет происходить с волной, когда она входит в период. структуру. Тот, кто изучал волну, скажет, что происходит дифракция, рождаются дифрагированные волны. Вот это и будет волновое поле электрона в кристалле. Построим волновой пакет --- сумму волн. Теперь у нас есть решение: ... . Леткор просто подставил разложение потенциала в уравнение. Отсаётся вопрос, что такое ek' --- это энергия возмущённого электроном кристалла (?). Теперь преобразуем его следующим образом --- умножим на e<sup>-ikx</sup> и проинтегрируем. ЛЕктор запишет результат: ... . Что же отсюда следует: если мы запускаем волну, то в результате дифракции появляются дифрагированные волны, сдвинутые на некоторую обратную решётку. Это означает, что в этом пакете не будет никаких волн кроме исходных волн и сдвинутых. Только такие волны должны фигурировать в пакете. Давайте запишем этот волновой пакет. ... . Это и есть решение ур. Ш. Конечно, мы его не решили, мы предугадали форму. Но так оно и есть. Придадим ему канонический вид. ... Это и есть решение решение ур. Ш. Это волна, аплитуда которой промодулирована. Какими свойствами она обладает:
* ... явл. периодической функцией с периодом решётки
* ... явл. периодической функцией ....
Функция &psi;k называется функцией Блоха или блоховской функцией. Этот результат явл. сутью теоремы Блоха: волна в кристале имеет блоховский вид

<gallery>
Изображение:Qp 08 02 27 01.jpg
Изображение:Qp 08 02 27 02.jpg
Изображение:Qp 08 02 27 03.jpg
</gallery>

Пожалуйста, обратите внимание, что все ваши добавления могут быть отредактированы или удалены другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. eSyr's_wiki:Авторское право).
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Описание изменений:

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, использованные на этой странице:

Получено с http://esyr.org/wiki/%D0%9E%D0%9A%D0%A4%D0%B8%D0%9A%D0%92%2C_03_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%28%D0%BE%D1%82_27_%D1%84%D0%B5%D0%B2%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8F%29

@@ Строка 54: / Строка 54: @@
 <math>\Psi^-(-\frac{a}{2})=\Psi^-(+\frac{a}{2})=0</math>
-Ставим граничное условие: равенство 0 на границе опять же приводит к квантованию вектора k:
+Ставим граничное условие, равенство к 0 на границе, опять же приводит к квантованию вектора k:
 <math>\frac{k_na}{2}=\frac{\pi}{2}n,\,n=2,4,6,\dots</math>
-Теперь мы можем резюмировать наши результаты. Наличие граничных условий приводит к дискретному энергетическому спектру и дискретному набору волновых функций. Лектор их выпишет:
+Теперь мы можем резюмировать наши результаты. Наличие гр. условий приводит к дискр. энерг. спектру и дискр. набору волновых функций. Лектор их выпишет: ... . Вот результат мат. иссл. --- решения ур. Ш. Каки реузльтаты получаем: интересный эффект --- квантовый параллелизм. Он явл. следвтвием принципа суперпозиции. В обычной механике шар может лететь либо вперёд, либо назад. А в квантовой механике мы имеем решение: ... --- две волны, напр. противоположно друг другу. Но мы же стационарное решение нашли. А если подставить общее? Какой вид будет иметь полное решение тогда? ... Тогда ясно, что эти 2 волны распространяются в разных нпр. Фиксируете фазу, ддиф. по t, и получаете: ... . Мы впервые столкнулись с квантовым параллелизмом, в котором частица обл. обпр. импульсом. Это суперпозиц. сост. Характеристики суперпозиц. сост. неопределены. Нарисуем график: просто косирнус, n=2, первое возб. сост., это неч. функция. И, соответственно, уровни энергии: .... . И дальше, по мере возрастания n, дальше мы получаем, что уровни расходятся, E<sub>n</sub> ~ n^2, следовательно, расстояние пропорционлаьно n. Что главное: энерг. спектр при наличии гранич условий становится дискретным. В квантовой механике получаем дискр. сост., и благодаря этому возм. квантовые вычисл. Интуиция подск., что чтобы реализ  бит, нужна система с двумя состояниями. Если оставим два уровня, то это и есть кубит. Но есть отличие: он может находиться в суперпозиционном состоянии, давая экспоненциально большой выигрыш, и преимущества квантового компьютинга сидят в самой квантовой механике. В классической механике непр. энергетический спектр. А где появляются обертона? Серипач изм. длину волны, изменяется звучания. Изменяются гранич. условия. Гранич. условия приводят к квантованию. k квантовано, может принимать разреш знач, и екаждому значению k соответствует свой уровень энергии e_n. Дискр. энерг. спектр. Будет ещё один --- зонный спектр.
-<math>\Psi^-_n(x)=B\sin{k_nx},\,E_n=\frac{\hbar^2k_n^2}{2m},\,n=2,4,6,\dots</math>
+Теперь качественно обсудим те изменения, которые произойдут в случае реальной ямы. У нас есть аппарат, и даже не решая, мы можем сделать выводы. С чего начинаем: с записи гамильтониана. В области 2 ничего не меняется, уравнение Ш. такое же. А теперь в области 3: в обл. 3 нужно u_0 учесть, и получаем:  ... . Теперь, какое соотношение между u_0 и e? Нас будет интересовать связанное движение, и каждый ответит, что e < u_0? ЧТОбЫ ДВИжЕНИЕ бЫЛО СВЯЗНЫМ. ... Это означает, что у нас есть две возможности, два решения. Какое выбрать из этих двух решений? Ясно, что убывающее, возрастающее не удовлетворяет условиям нормировки. Обсудим физический смысл. ... Это область, в которой полная энергия меньше, че мпотенциальная. Внутри ямы, наоборот: ... . Но вне ямы e < u_0. Это невозможно в классической физике. Поскольку к полной энергии добавляется положительно опр. форма. Эта область называется ... . Квантовая частица может проникать в классич. недоступную область. Это качественный вывод. Какое следствие отсюда: несколько видоизменённых задач. ... Летит частица, волна слева направо. И вот частица попадает вот в эту область, а это энергия частицы, e < u_0. В некотором смылсе это аналог классической задачи: катится шарик со скоростью v, масса m, высота h. вопрос, что произойдёт? Как решать в классич. случае, понятно: сравнить кин. и пот. энергию. В квантовом случае оказывается, что частица проходит через этот барьер (туннелирует), с определённой вероятностью отражается.  Мы не найдём точно туннелирование, мы найдём экспоненциальный фактор. ... Это и будет вероятность просачивания/прохождения/туннелирования. Эффект туннелирования очень часто встречается в физике. При распаде идёт эффект туннелирования. Мы дома сталкиваемся с эффектом туннелирования. Например, если мы имеем контакт двух проводов. Электроны встречают слой диелектрика, и туннелируют. При этом возрастают примеры и сопротивление. Это простейжий пример эффекта туннелирования.
-<math>\Psi^+_n(x)=B\cos{k_nx},\,E_n=\frac{\hbar^2k_n^2}{2m},\,n=1,3,5,\dots</math>
-Вот результат математических исследований --- решения уравнения Шредингера. Каки реузльтаты получаем: интересный эффект --- квантовый параллелизм. Он является следвтвием принципа суперпозиции. В обычной механике шар может лететь либо вперёд, либо назад. А в квантовой механике мы имеем решение: ... --- две волны, напр. противоположно друг другу. Но мы же стационарное решение нашли. А если подставить общее? Какой вид будет иметь полное решение тогда?
-<math>\Psi^+_k(x,t)=\left(e^{ikx}+e^{-ikx}\right)e^{-\frac{iE_k}{\hbar}t}</math>
-[[Image:fig1.gif|thumb|239px]]
-Тогда ясно, что эти 2 волны распространяются в разных нправлениях. Фиксируете фазу, ддиф. по t, и получаете: <!-- что мы получаем? --> ... . Мы впервые столкнулись с квантовым параллелизмом, в котором частица обл. обпр. импульсом. Это суперпозиц. сост. Характеристики суперпозиц. сост. неопределены. Нарисуем график: просто косирнус, <math>n=2</math>, первое возбужденное состояние, это нечетная функция. И, соответственно, уровни энергии: .... . И дальше, по мере возрастания n, дальше мы получаем, что уровни расходятся, <math>E_n \sim n^2</math>, следовательно, расстояние пропорционлаьно n. Что главное: энергетический спектр при наличии граничных условий становится дискретным. В квантовой механике получаем дискретные состояния, и благодаря этому возм. квантовые вычисл. Интуиция подсказывате, что чтобы реализ бит, нужна система с двумя состояниями. Если оставим два уровня, то это и есть кубит. Но есть отличие: он может находиться в суперпозиционном состоянии, давая экспоненциально большой выигрыш, и преимущества квантового компьютинга сидят в самой квантовой механике. В классической механике непрерывный энергетический спектр. А где появляются обертона? Скрипач изменяет длину волны, изменяется звучания. Изменяются граничные условия. Граничные условия приводят к квантованию. k квантовано, может принимать разрешенные значения, и каждому значению k соответствует свой уровень энергии <math>E_n</math>. Дискретный энергетический спектр. Будет ещё один --- зонный спектр.
-Теперь качественно обсудим те изменения, которые произойдут в случае реальной ямы. У нас есть аппарат, и даже не решая, мы можем сделать выводы. С чего начинаем: с записи гамильтониана. В области 2 ничего не меняется, уравнение Ш. такое же. А теперь в области 3: в обл. 3 нужно учесть <math>U_0</math>, и получаем:
-<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi_{III}=-\left(U_0-E\right)\Psi_{III}</math>
-Теперь, какое соотношение между <math>U_0</math> и <math>E</math>? Нас будет интересовать связанное движение, и каждый ответит, что <math>E<U_0</math>? Чтобы движение было связным
-<math>\Psi_{III}\sim \exp{\left\{\pm\sqrt{\frac{2m(U_0-E)}{\hbar^2}}x\right\}}</math>
-Это означает, что у нас есть две возможности, два решения. Какое выбрать из этих двух решений? Ясно, что убывающее, возрастающее не удовлетворяет условиям нормировки. Обсудим физический смысл. ... Это область, в которой полная энергия меньше, чем мпотенциальная. Внутри ямы, наоборот: ... . Но вне ямы <math>E<U_0</math>. Это невозможно в классической физике. [[Image:Туннелирование_через_барьер.gif|thumb|280px]] Поскольку к полной энергии добавляется положительно определенная форма. Эта область называется классически недоступная область. Квантовая частица может проникать в классич. недоступную область. Это качественный вывод. Какое следствие отсюда: несколько видоизменённых задач. Летит частица, волна слева направо. И вот частица попадает вот в эту область, а это энергия частицы, <math>E<U_0</math>. В некотором смылсе это аналог классической задачи: катится шарик со скоростью v, масса m, высота h. вопрос, что произойдёт? Как решать в классическом случае, понятно: сравнить кинетическую и потенциальную энергию. В квантовом случае оказывается, что частица с определенной вероятностью проходит через этот барьер (туннелирует), и с определённой вероятностью отражается.  Мы не найдём точно туннелирование, мы найдём экспоненциальный фактор.
-<math>\left|\Psi(a)\right|^2\sim \exp{\left\{-2\sqrt{\frac{2m(U_0-E)}{\hbar^2}}\right\}}</math>
-Это и будет вероятность просачивания/прохождения/туннелирования. Эффект туннелирования очень часто встречается в физике. При распаде идёт эффект туннелирования. Мы дома сталкиваемся с эффектом туннелирования. Например, если мы имеем контакт двух окисленных проводов. Электроны встречают слой диелектрика, и туннелируют. При этом возрастает сопротивление. Это простейший пример эффекта туннелирования.
 Осталось полчаса, и лектор хотел бы перейти к движению частицы в периодическом потенциале, но сначала лектор устроит проверочку.

Редактирование: ОКФиКВ, 03 лекция (от 27 февраля)

Материал из eSyr's wiki.

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

инструменты

Разделы

Спецкурсы

9 семестр

7 семестр

5 семестр

3 семестр

Поиск

Инструменты