Редактирование: Математическая Логика, 01 лекция (от 24 сентября)
Материал из eSyr's wiki.
Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
| Текущая версия | Ваш текст | ||
| Строка 7: | Строка 7: | ||
== Что изучает логика == | == Что изучает логика == | ||
| - | Логика обслуживает большое количество наук. Логика изучает законы окружающего мира. Предполагая, что в мире происходит то, что мы представляем, можно заметить, что в нём есть закономерности, какие-то конфигурации возможны, какие-то нет. То есть, возникают закономерности, причём событий разных. Тогда возникает предположение о том, что наряду с частными законами, касающимися физического, химического устройства нашего мира, есть такие законы, которые доминируют над ними | + | Логика обслуживает большое количество наук. Логика изучает законы окружающего мира. Предполагая, что в мире происходит то, что мы представляем, можно заметить, что в нём есть закономерности, какие-то конфигурации возможны, какие-то нет. То есть, возникают закономерности, причём событий разных. Тогда возникает предположение о том, что наряду с частными законами, касающимися физического, химического устройства нашего мира, есть такие законы, которые доминируют над ними всеми --- законы причинно-следственной связи. Первая сторона логики. |
| - | Жизнь человека состоит из того, что он пытается предвидеть, что происходит в этом мире, на основании знаний о мире. Человек опирается на законы причино-следоственной связи. То есть, законы влияют на мышление человека. При этом, то, что думает человек о законах, не есть законы. Изучение понимания | + | Жизнь человека состоит из того, что он пытается предвидеть, что происходит в этом мире, на основании знаний о мире. Человек опирается на законы причино-следоственной связи. То есть, законы влияют на мышление человека. При этом, то, что думает человек о законах, не есть законы. Изучение понимания человека --- вторая сторона логики. |
| - | Третья | + | Третья сторона --- исследование отражения причинно-следственных законов в языках. |
Отсюда видно, что дисциплины, заинтересованные в логике, достаточно своеобразны. Философия, математика, информатика. Мы будем изучать именно логику для информатики. Это достаточно специализированный курс, который правильнее назвать "прикладная логика". | Отсюда видно, что дисциплины, заинтересованные в логике, достаточно своеобразны. Философия, математика, информатика. Мы будем изучать именно логику для информатики. Это достаточно специализированный курс, который правильнее назвать "прикладная логика". | ||
| Строка 35: | Строка 35: | ||
Законы формальной логики есть законы преобразования знаний. Для получения новых знаний необязательно представлять суть знаний, достаточно представить форму, и тогда логика, работая с формами, сможет представить новые знания. | Законы формальной логики есть законы преобразования знаний. Для получения новых знаний необязательно представлять суть знаний, достаточно представить форму, и тогда логика, работая с формами, сможет представить новые знания. | ||
| - | Можно ли считать, что | + | Можно ли считать, что логика --- генератор информации? Нет. Знания мы получаем из жизненного опыта. Логика занимается преобразованием формальной информации. Законы формальной логики --- инструменты преобразования информатики. |
| - | == Основная задача | + | == Основная задача форм. логики == |
Предположим, что есть база знаний, представленная в виде утверждений. У нас есть некое предположение (гипотеза, запрос к БЗ). Нужно выяснить, является ли предположение следствием фактов знаний. То есть, нам нужен инструмент, способный выводить новые знания на основе БЗ. | Предположим, что есть база знаний, представленная в виде утверждений. У нас есть некое предположение (гипотеза, запрос к БЗ). Нужно выяснить, является ли предположение следствием фактов знаний. То есть, нам нужен инструмент, способный выводить новые знания на основе БЗ. | ||
| Строка 57: | Строка 57: | ||
== Программирование == | == Программирование == | ||
| - | Вычисление | + | Вычисление программы --- преобразование одних состояний в другие согласно алгоритму. |
| - | Логический | + | Логический вывод --- последовательное постороение по законам формальной логики одних из других, исходя из БЗ. |
Вывод налицо. Соответственно, хотелось бы автоматизировать связанные с этим задачи по аналогии с выполнением программы. | Вывод налицо. Соответственно, хотелось бы автоматизировать связанные с этим задачи по аналогии с выполнением программы. | ||
| - | Существует ли такие иррациональные α и β, что α<sup>β</sup> | + | Существует ли такие иррациональные α и β, что α<sup>β</sup> --- рациональное? --- пример простого неконструированного доказательства. |
Разработкой языка для МЛ займёмся в третьей части курса. | Разработкой языка для МЛ займёмся в третьей части курса. | ||
| Строка 69: | Строка 69: | ||
== Проверка правильности програм == | == Проверка правильности програм == | ||
| - | + | Программист --- человек, который тратит вторую половину жизни на то, чтобы исправить ошибки из первой половины. | |
Существует задача формальной проверки программ. Для этого нужно: | Существует задача формальной проверки программ. Для этого нужно: | ||
| Строка 85: | Строка 85: | ||
=== Аристотель === | === Аристотель === | ||
| - | Первый выявил законы формальной логики, «силогизмы». Написал труд о формальной логике. Открытие того, что законы носят формальный характер | + | Первый выявил законы формальной логики, «силогизмы». Написал труд о формальной логике. Открытие того, что законы носят формальный характер --- заслуга философа. |
| - | Далее силогизмы расширялись, следовали различные проявления, разная интерпретация: греческие философы считали, что это законы идеального мира, | + | Далее силогизмы расширялись, следовали различные проявления, разная интерпретация: греческие философы считали, что это законы идеального мира, христианские --- божий промысел. |
Логика так развивалась 2000 лет, пока её не занялись математики. | Логика так развивалась 2000 лет, пока её не занялись математики. | ||
| Строка 111: | Строка 111: | ||
Совершил значительную работу, завершил геометрию, конкретно, завершил работу Евклида по аксиматизации геометрии. В то время появились многие другие геометрии, и надо было понять, какая из аксиоматик правильная, в частности, показать, что из неё нельзя вывести две противоречивых вещи. Лобачевский долго пытался доказать от противного, но не смог. Завершил это Гильберт, проанализаровав геометрию Евклида, создал систему из 27—28 аксиом, и сказал, что она столь же не противоречива, сколь не противоречива арифетика, кроме того, любая другая альтернативная геометрия столь же не противоречива. Таким образом, формальная логика заработала, она начала решать практические задачи. | Совершил значительную работу, завершил геометрию, конкретно, завершил работу Евклида по аксиматизации геометрии. В то время появились многие другие геометрии, и надо было понять, какая из аксиоматик правильная, в частности, показать, что из неё нельзя вывести две противоречивых вещи. Лобачевский долго пытался доказать от противного, но не смог. Завершил это Гильберт, проанализаровав геометрию Евклида, создал систему из 27—28 аксиом, и сказал, что она столь же не противоречива, сколь не противоречива арифетика, кроме того, любая другая альтернативная геометрия столь же не противоречива. Таким образом, формальная логика заработала, она начала решать практические задачи. | ||
| - | Так как к арифметике сводится всё-всё-всё, Гильберт задался вопросом: а нельзя ли создать аксиоматику для всей математику? Эта система должна быть выразительна настолько, что в ней можно представить любую область математики. Эта система должна была описывать не только числа и фигуры, но и теоремы, утвреждения, доказательства. Тогда бы мы получили математическое здание, внутри которого заключены все истины. Это вроде троллей, которые пытались затащить на небо зеркало, чтобы обсмеять Бога. Это была так называемая программа | + | Так как к арифметике сводится всё-всё-всё, Гильберт задался вопросом: а нельзя ли создать аксиоматику для всей математику? Эта система должна быть выразительна настолько, что в ней можно представить любую область математики. Эта система должна была описывать не только числа и фигуры, но и теоремы, утвреждения, доказательства. Тогда бы мы получили математическое здание, внутри которого заключены все истины. Это вроде троллей, которые пытались затащить на небо зеркало, чтобы обсмеять Бога. Это была так называемая программа Гильберта --- аксиоматизации математики. |
Поскольку это была суперзадача, то многие математики заинтересовались этой программой. | Поскольку это была суперзадача, то многие математики заинтересовались этой программой. | ||
| - | Гильберт был очень темпераментный, но, тем не менее, оставил большой след в математике. Всем известна ОТО Эйнштейна, но он был хороший физик и плохой математик, и работал в паре с Гильбертом, который создавал для ОТО математический аппарат. | + | Гильберт был очень темпераментный, но, тем не менее, оставил большой след в математике. Всем известна ОТО Эйнштейна, но он был хороший физик и плохой математик, и работал в паре с Гильбертом, который создавал для ОТО математический аппарат. Другое --- квантовая физика, там тоже красивая математика. Математики из школы Гильберта и сам Гильберт занимались разработкой математического аппарата для квантовой физики. |
=== Бертран Рассел === | === Бертран Рассел === | ||
| Строка 121: | Строка 121: | ||
Философ, политик, граф, либерал. | Философ, политик, граф, либерал. | ||
| - | Он разработал формальный язык. | + | Он разработал формальный язык. Кванторы --- его изобретение. Он аксиоматизировал логику. Он заложил при помощи этих законов основы математики. Написал трёхтомник, в котором описал математику формально с нуля. Эта книжка подвела строгий математический базис под всеми основными математическими понятиями. |
| - | Действительно интересный человек, его | + | Действительно интересный человек, его жизнь --- сплошной роман, приблизительно такой же, как жизнь Байрона. Ярый пацифист. Имел беседу с Ленином, в Ленине разочаровался, в социализме --- нет. Прочитал лекции в Китае. Занимался пропагандой социализма, изгонялся из фак-тов за вольнодумство. Неоднократно арестовывался. Блестящий философ. Написал книгу "история западно-европейской философии", ставшую бестселлером (а сейчас "Гарри-поттер" --- бестселлер). Написал письмо Кеннеди и Хрущёву, и оба ответили. |
| - | Начало 60-х годов, не было ни одной | + | Начало 60-х годов, не было ни одной логич. книжки. |
=== Курт Гёдель === | === Курт Гёдель === | ||
| Строка 157: | Строка 157: | ||
=== Михаил Захарьящев === | === Михаил Захарьящев === | ||
| - | Автор концепции курса, который лектор читает. Его область | + | Автор концепции курса, который лектор читает. Его область изучения --- модальные логики. |
== Логические парадоксы == | == Логические парадоксы == | ||
| - | Движущая сила | + | Движущая сила логики --- парадоксы. Математики двигают её не просто так, а для решения задач. Математическую логику они развивали для получения инструментария доказательства утвреждений. Чтобы не сталкиваться с парадоксами. |
Примеры парадоксов: парадоксы лжеца и др. | Примеры парадоксов: парадоксы лжеца и др. | ||
