Редактирование: МОТП, Контрольная 2013

Материал из eSyr's wiki.

Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.

== Задача 1 ==

Рассматривается задача классификации объектов на два класса по одному признаку. Предполагается, что значение признака ''x'' для объектов из классов <math>K_1</math>, <math>K_2</math> распределено по закону Рэлея:

Пусть <math> \beta_1 = 7.3</math> <math>\beta_2 = 1.3 .</math> Требуется найти области значений признака ''x'', соответствующие отнесению объектов в каждый из двух классов байесовским классификатором, если априорные вероятности классов равны, соответственно, 0.3 и 0.7.

=== Решение ===

По определению [http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%91%D0%B0%D0%B9%D0%B5%D1%81%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80 баесовского классификатора]:

<math>a(x) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} \lambda_{y} P_y p_y(x),</math>

где <math>x</math> - классифицируемый пример, <math>a(x)</math> - классификатор, <math>Y</math> - множество классов (<math>K_1, K_2</math>), <math>\lambda_y</math> - цена ошибки (<math>\lambda_1 = \lambda_2</math>), <math>P_y</math> - вероятность появления объекта класса <math>y</math> (априорная вероятность), <math>p_y(x)</math> - плотность распределения класса <math>y</math> в точке <math>x</math>.

Построим множество, на котором <math> \lambda_{1} P_1 p_1(x) \lessgtr \lambda_{2} P_2 p_2(x).</math> Для этого решим уравнение:

<math> \lambda_{1} 0.3 p(x|K_1) \lessgtr \lambda_{2} 0.7 p(x|K_2) </math>

<math> 0.3 \cdot 7.3 \cdot x e^{(-\frac{7.3}{2}x^2)} \lessgtr 0.7 \cdot 1.3 \cdot x e^{(-\frac{1.3}{2}x^2)} </math>

<math> e^{(-3x^2)} \lessgtr 0.4155 </math>

<math> -3x^2 \lessgtr \ln(0.4155) \lessgtr -0.878 </math>

<math> x \gtrless 0.541 </math>

Таким образом, при <math> x > 0.541 </math> классификатор отнесёт объект в класс <math> K_2 </math>, при <math> x < 0.541 </math> - в класс <math> K_1 </math>

[[Изображение:MOTP_2013_1.png]]

== Задача 2 ==

Имеется задача распознавания с 4-мя классами и одним признаком. Предполагается, что с использованием метода "Линейная машина" для каждого класса найдены следующие линейные разделяющие функции:

Требуется изобразить на графике области, соответствующие отнесению к каждому из четырех классов.

=== Решение ===

Для нахождения требуемых областей, решим системы неравенств:

<math> (1)
\begin{cases}
f_1(x) > f_2(x) \\
f_1(x) > f_3(x) \\
f_1(x) > f_4(x)
\end{cases}
</math>

<math>
\begin{cases}
4.8 - 2.3 x > -4.6 - 2.6 x \\
4.8 - 2.3 x > 4.5 - 2.3 x \\
4.8 - 2.3 x > 4.2 - 0.4 x
\end{cases}
</math>

<math>
\begin{cases}
x > -31.3 \\
4.8 > 4.5 \\
x < 0.3
\end{cases}
</math>

Таким образом, объект будет отнесён в класс 1 при <math> x \in (-31.3, 0.3). </math>

Аналогично:

<math> (2)
\begin{cases}
f_2(x) > f_1(x) \\
f_2(x) > f_3(x) \\
f_2(x) > f_4(x)
\end{cases}
</math>

<math>
\begin{cases}
-4.6 - 2.6 x > 4.8 - 2.3 x \\
-4.6 - 2.6 x > 4.5 - 2.3 x  \\
-4.6 - 2.6 x > 4.2 - 0.4 x
\end{cases}
</math>

<math>
\begin{cases}
x < -31.3 \\
x < -30.3  \\
x < -4
\end{cases}
</math>

Oбъект будет отнесён в класс 2 при <math> x \in (-\inf, -31.3). </math>

<math> (3)
\begin{cases}
f_3(x) > f_1(x) \\
f_3(x) > f_2(x) \\
f_3(x) > f_4(x)
\end{cases}
</math>

<math>
\begin{cases}
4.5 - 2.3 x > 4.8 - 2.3 x \\
4.5 - 2.3 x > -4.6 - 2.6 x \\
4.5 - 2.3 x > 4.2 - 0.4 x
\end{cases}
</math>

<math> x \in \empty </math>, поэтому никакой объект не будет отнесён к классу 3.

<math> (3)
\begin{cases}
f_4(x) > f_1(x) \\
f_4(x) > f_2(x) \\
f_4(x) > f_3(x)
\end{cases}
</math>

<math>
\begin{cases}
x > 0.3 \\
x > -4 \\
x > 0.2
\end{cases}
</math>

Oбъект будет отнесён в класс 4 при <math> x \in (0.3, +\inf). </math>

[[Изображение:MOTP_2013_2.png]]

== Задача 3 ==

Предполагается, что линейный дискриминант Фишера используется для распознавания объектов из двух классов по паре признаков <math> x_1 </math> и <math> x_2 </math>. Требуется вычислить вектор, задающий направление перпендикуляра к прямой, разделяющей объекты двух классов:

Класс 1: <math> \begin{pmatrix} 2.3 \\ 1.8 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3.0 \\ 1.9 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3.2 \\ 2.1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3.1 \\ 0.6 \end{pmatrix} </math>

Класс 2: <math> \begin{pmatrix} -0.9 \\ -3.6 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -0.1 \\ -3.8 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0.1 \\ -2.8 \end{pmatrix} </math>

=== Решение ===

Перпендикуляр к прямой, разделяющей объекты двух классов, описывается уравнением:

<math>\vec{w} =  ( \Sigma_1 + \Sigma_2 )^{-1}(\vec{\mu_1} - \vec{\mu_2}),</math>

где <math> \vec{\mu_i} </math> - матожидания объектов каждого класса, а <math> \Sigma_i </math> - ковариационная матрица.

Посчитаем матождиания:

<math> \vec{\mu_1} = \frac{1}{4} \left( \begin{pmatrix} 2.3 \\ 1.8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3.0 \\ 1.9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3.2 \\ 2.1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3.1 \\ 0.6 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 2.9 \\ 1.6 \end{pmatrix}</math>

<math> \vec{\mu_2} = \frac{1}{3} \left( \begin{pmatrix} -0.9 \\ -3.6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -0.1 \\ -3.8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0.1 \\ -2.8 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} -0.3 \\ -3.4 \end{pmatrix}</math>

Посчитаем ковариационные матрицы:

<math> \Sigma_1 = \frac{1}{4} \left( \begin{pmatrix} (2.3-2.9)\cdot(2.3-2.9) & (2.3 - 2.9)\cdot(1.8 - 1.6)\\ (1.8 - 1.6)\cdot(2.3 - 2.9)& (1.8 - 1.6)\cdot(1.8 - 1.6) \end{pmatrix} + ... \right) = \begin{pmatrix} 0.125& -0.035 \\ -0.035& 0.345 \end{pmatrix}</math>

<math> \Sigma_2 = \begin{pmatrix} 0.187& 0.093 \\ 0.093& 0.187 \end{pmatrix}</math>

<math> \left( \Sigma_1 + \Sigma_2 \right)^{-1} = \begin{pmatrix} 0.312& 0.058 \\ 0.058& 0.532 \end{pmatrix}^{-1}  = \frac{1}{0.163}\begin{pmatrix} 0.532& -0.058 \\ -0.058& 0.312 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3.26& -0.36 \\ -0.36& 1.91 \end{pmatrix} </math>

<math>\vec{w} =  \begin{pmatrix} 3.26& -0.36 \\ -0.36& 1.91 \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} 2.9 \\ 1.6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -0.3 \\ -3.4 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 3.26& -0.36 \\ -0.36& 1.91 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3.2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8.63 \\ 8.4 \end{pmatrix}</math>

[[Изображение:MOTP_2013_3.png]]

'''Ответ:''' <math> \begin{pmatrix} 8.63 \\ 8.4 \end{pmatrix} </math>

== Задача 4 ==

При проведении выборов на ряде избирательных участков производятся фальсификации результатов голосования. Посылка наблюдателя на такой участок предотвращает фальсификации. Пусть известно несколько точек ROC-кривой для метода идентификации "грязных" участков. Требуется определить оптимальную стратегию распределения наблюдателей по участкам и максимальный выигрыш относительно стратегии равномерного распределения по участкам, если всего участков 1000, наблюдателей --- 200 и доля "грязных" участков --- 30%. При этом под оптимальностью понимается максимизация количества честных участков.

{| border = 1
 | Чувствительность
 | Ложная тревога
 |-
 | 0.86
 | 0.11
 |-
 | 0.90
 | 0.31
 |-
 | 0.92
 | 0.32
 |}

=== Решение: ===

''Чувствительность'' - отношение числа верно распознаных примеров позитивного класса к общему размеру класса: <math> \frac{TP}{TP + FN} </math>

''Ложная тревога'' - отношение числа ошибочно распознанных примеров позитивного класса к размеру негативного класса: <math> \frac{FP}{FP + TN} </math>

''Позитивный исход'' - идентификация "грязного" участка.

В случае стратегии равномерного распределения наблюдателей по всем участкам, на выбранном участке будет наблюдатель с вероятностью <math> \frac{200}{1000} = 20% </math>. Всего чистых участков: <math>1000 \cdot 70% + 1000 \cdot 30% \cdot 20% = 760.  </math>

Рассмотрим первый алгоритм.

Решая систему, получаем, что <math> TP = 258 </math>, <math> FP = 77 </math>, <math> FN = 42 </math>, <math> TN = 623 </math>. Всего метод возвращает 258+77 = 335 результатов. Наблюдателей в распоряжении - меньше, поэтому распределим их равномерно среди участков, которые вернул метод. Вероятность того, что наблюдатель попадёт на произвольны среди выбранных классификатором участков, равна <math> \frac{200}{335} = 0.597 </math>, поэтому среди выбранных участков наблюдатели попадут в среднем на <math> 258 \cdot 0.597 = 154 </math> участка, и всего чистыми будут <math> 700 + 154 = 854</math> участка. Выигрыш составил <math>854-760 = 94</math> участка.

Аналогично для других точек.

== Задача 5 ==

адана таблица совместных значений прогнозируемой переменной Y и объясняющей переменной X. Требуется вычислить ковариацию между Y и X, коэффициент корреляции между Y и X, коэффициенты одномерной линейной регрессии.

{| border = 1
 | Y 
 | 5.9 
 | 4.0 
 | 2.4 
 | 1.7
 |-
 | X 
 | 8.3 
 | 7.6 
 | 3.0 
 | 2.3
 |}

=== Решение ===

<math> cov(X,Y) = \overline{(X - \overline{X})(Y - \overline{Y})} </math>

<math> \overline{X} = 5.3 </math>

<math> \overline{Y} = 3.5 </math>

<math> DX = \overline{(X-\overline{X})^2} = 7.145 </math>

<math> DY = \overline{(Y-\overline{Y})^2} = 2.615 </math>

Воспользуемся методом наименьших квадратов для расчета коэффициентов одномерной линейной регрессии <math> Y = a + bX </math>:

<math> a =  \overline{Y} - b\overline{X} = 3.5 - 0.57 \cdot 5.3 = 0.479 </math>

Получаем линейную регрессию: <math> Y = 0.479 + 0.57X </math>

Пожалуйста, обратите внимание, что все ваши добавления могут быть отредактированы или удалены другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. eSyr's_wiki:Авторское право).
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Описание изменений:

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, использованные на этой странице:

Шаблон:Курс МОТП

Получено с http://esyr.org/wiki/%D0%9C%D0%9E%D0%A2%D0%9F%2C_%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_2013

@@ Строка 11: / Строка 11: @@
 По определению [http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%91%D0%B0%D0%B9%D0%B5%D1%81%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80 баесовского классификатора]:
-<math>a(x) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} P_y p_y(x),</math>
+<math>a(x) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} \lambda_{y} P_y p_y(x),</math>
-где <math>x</math> - классифицируемый пример, <math>a(x)</math> - классификатор, <math>Y</math> - множество классов (<math>K_1, K_2</math>), <math>P_y</math> - вероятность появления объекта класса <math>y</math> (априорная вероятность), <math>p_y(x)</math> - плотность распределения класса <math>y</math> в точке <math>x</math>.
+где <math>x</math> - классифицируемый пример, <math>a(x)</math> - классификатор, <math>Y</math> - множество классов (<math>K_1, K_2</math>), <math>\lambda_y</math> - цена ошибки (<math>\lambda_1 = \lambda_2</math>), <math>P_y</math> - вероятность появления объекта класса <math>y</math> (априорная вероятность), <math>p_y(x)</math> - плотность распределения класса <math>y</math> в точке <math>x</math>.
-Построим множество, на котором <math> P_1 p_1(x) \lessgtr P_2 p_2(x).</math> Для этого решим уравнение:
+Построим множество, на котором <math> \lambda_{1} P_1 p_1(x) \lessgtr \lambda_{2} P_2 p_2(x).</math> Для этого решим уравнение:
-<math> 0.3 p(x|K_1) \lessgtr 0.7 p(x|K_2) </math>
+<math> \lambda_{1} 0.3 p(x|K_1) \lessgtr \lambda_{2} 0.7 p(x|K_2) </math>
 <math> 0.3 \cdot 7.3 \cdot x e^{(-\frac{7.3}{2}x^2)} \lessgtr 0.7 \cdot 1.3 \cdot x e^{(-\frac{1.3}{2}x^2)} </math>
@@ Строка 221: / Строка 221: @@
 == Задача 5 ==
-Задана таблица совместных значений прогнозируемой переменной Y и объясняющей переменной X. Требуется вычислить ковариацию между Y и X, коэффициент корреляции между Y и X, коэффициенты одномерной линейной регрессии.
+адана таблица совместных значений прогнозируемой переменной Y и объясняющей переменной X. Требуется вычислить ковариацию между Y и X, коэффициент корреляции между Y и X, коэффициенты одномерной линейной регрессии.
 {| border = 1
@@ Строка 262: / Строка 262: @@
 Получаем линейную регрессию: <math> Y = 0.479 + 0.57X </math>
-== Задача 6 ==
-Заданы таблицы значений бинарных признаков для классов <math>K_1</math> и <math>K_2</math>. Требуется найти все тупиковые тесты минимальной длины, а также указать для каждого класса по одному представительному набору, который не совпадает по признакам с тупиковым тестом.
-{| border = 1
- |colspan="4" | Класс 1
- |-
- | X_1 || X_2 || X_3 || X_4
- |-
- | 0 || 0 || 0 || 0
- |-
- | 1 || 0 || 1 || 0
- |-
- | 0 || 0 || 0 || 1
- |}
- {| border = 1
- |colspan="4" | Класс 2
- |-
- | X_1 || X_2 || X_3 || X_4
- |-
- | 1 || 0 || 1 || 1
- |-
- | 1 || 1 || 0 || 0
- |-
- | 1 || 1 || 0 || 0
- |}
-=== Решение ===
-Кратчайший тупиковый тест состоит из трёх столбцов: <math> (X_1, X_2, X_4), (X_1, X_3, X_4) </math> или <math> (X_2, X_3, X_4) </math>. Тестов длины 2 не существует, т.к. для любой пары столбцов найдутся две одинаковые строки в каждой из таблиц.
-Представительный набор определяется для класса и для элемента. Например, для первого элемента первого класса представительным будет набор - <math>(0, 0, X_3, X_4)</math> (заметим, что этот набор не тупиковый, подходит также <math>(0, X_2, X_3, X_4)</math>), а для первого элемента второго класса - набор <math>(X_1, X_2, 1, 1)</math>
 {{Курс МОТП}}

Редактирование: МОТП, Контрольная 2013

Материал из eSyr's wiki.

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

инструменты

Разделы

Спецкурсы

9 семестр

7 семестр

5 семестр

3 семестр

Поиск

Инструменты