МОТП, Задачи на экзамене

Материал из eSyr's wiki.

Версия 15:12, 26 мая 2010

За нерешение данных задач оценка снижается на балл. — Д. П. Ветров

Задача 1. Вывод формул для векторного дифференцирования

Вывести (считаем все матрицы вещественными):

Решение

Формула 1

Формула 2

Далее через всюду обозначен столбец матрицы A с номером i.

Формула 3

Далее через всюду обозначен столбец матрицы B с номером i.

Задача 2. Поиск нормального псевдорешения

Найти нормальное псевдорешение для системы линейных уравнений.

Решение

В чём суть: Мы хотим решить несовместную систему линейных уравнений . Для этого мы будем минимизировать квадрат нормы невязки, т.е найдём x такой, что при нём квадрат нормы невязки будет наименьшим: . Теперь по шагам:

1. Представим норму в матричном виде и раскроем скалярное произведение:

= (Ax)^TAx − b^TAx − (Ax)^Tb + b^Tb = x^TA^TAx − 2x^TA^Tb + b^Tb

2. Теперь возьмём производную и приравняем её к нулю:

3. Из этого получаем x:

Задача 3. Метод главных компонент (PCA)

Даны р точек в двухмерном пространстве. Найти методом главных компонент первую главную компоненту.

Решение

Рассмотрим следующую задачу: p = 5, x₁ = (1,1), x₂ = (1,2), x₃ = (3,2), x₄ = (4,1), x₅ = (6,4).

Находим .

Находим

Решаем .

Находим собственный вектор, соответствующий , решая . Получаем — собственный вектор, соответствующий максимальному собственному значению матрицы ковариации. Он и будет являться первой главной компонентой.

Задача 4. Метод максимального правдоподобия (ММП)

Как метко заметил Оверрайдер, будут задачки на поиск оценки максимального правдоподобия. Не сложные, но чтобы было интереснее, не с нормальным распределением. Что-нибудь типа найти оценку МП на параметр распределения Лапласа.

Решение

Плотность распределения Лапласа: , μ - сдвиг, b - масштаб (подробнее в википедии).

Вариант 1: неизвестный сдвиг, единичный масштаб

Пусть есть распределение Лапласа с неизвестным матожиданием и единичным параметром масштаба. Дана выборка, взятая из этого распределения: . Оценим параметр μ.

Функция распределения запишется так:

Функция правдоподобия:

Покажем, что эта функция достигает максимума в точке -- когда параметр равен медиане выборки.

Упорядочим выборку по возрастанию. Пусть теперь она выглядит так: . Рассмотрим последнюю функцию на интервалах вида . На первом из них все функции под знаком суммы возрастают, итоговая производная равна n, на втором -- одна убывает, остальные возрастают, производная равна (n-2), и т.д. Переломный момент наступает в середине -- в одной точке перегиба (если n нечётно), или на центральном интервале производная равна 0 (если n чётно). После этого функция только убывает. Там и достигается максимум правдоподобия. Короче, нужно нарисовать график, и всё будет понятно: максимум правдоподобия достигается в точке, равной медиане выборки.

Вариант 2: нулевой сдвиг, неизвестный масштаб

Задача 5. Линейная регрессия

Даны 3-4 точки в двухмерном пространстве - одна координата, это х, другая - t. Задача построить по ним линейную регрессию вида , т.е. найти коэффициенты k и b.

Решение

Подставляем значения для x_i и t_i, получаем k, затем b. Решение проверено на нескольких наборах данных в MATLAB.

Еще один вариант - посчитать напрямую (k,b) = (X^TX) ^{− 1}X^TY, где X - матрица, первый столбец которой составлен из x_i, второй - из единиц, а Y - столбец из t_i.

Задача 6. Правило множителей Лангранжа

Обязательно кому-то дам задачку на условную максимизацию квадратичной функции с линейным ограничением в виде равенства. Писанины там немного, но вот без правила множителей Лагранжа обойтись вряд ли удастся.

Решение

множители Лагранжа на вики

Пусть нам необходимо максимизировать функцию f(x,y) = − 5x² + 2xy − 3y² при условии x − y + 1 = 0.

Запишем функцию Лагранжа .

Приравняем частные производные к нулю:

.

(По-моему, гораздо проще без функции Лагранжа: y = x + 1;f(x) = − 6x² − 4x − 3;x = − b / 2a = − 4 / 12 = − 1 / 3)

Задача 10.

Решение

g - гамма, a - альфа, b - бета. Очевидно, выборка из наблюдений дискретной случайно величины со следующим распределением:

1 с вероятностью ga

2 с вероятностью g(1-a)+(1-g)(1-b)

3 с вероятностью b(1-g)

Первый шаг. С учетом начального приближения, вероятности 1, 2 и 3 - 0.25, 0.5 и 0.25 соответственно.

Распределения скрытой компоненты очевидны:

Если текущий элемент выборки 1, то Z=0 с вероятностью 1

Если текущий элемент выборки 3, то Z=1 с вероятностью 1

Если текущий элемент выборки 2, то Z=0 и 1 с вероятностями по 0.5

Учитывая данные в задаче числа, показывающие количество единиц, двоек и троек, получаем, что нужно максимизировать следующую функцию:

30 * log(g * a) + 60 * log(b * (1 − g)) + 20 * (0.5 * log(g * (1 − a)) + 0.5 * log((1 − g) * (1 − b)))

Для поиска максимума нужно взять производные по a, b, g приравнять их к нулю. После первой итерации получаем новые значения:

a=3/4

b=6/7

g=4/11

Второй шаг. С учетом нового начального приближения, вероятности 1, 2 и 3 - 3/11, 2/11 и 6/11 соответственно.

Распределения скрытой компоненты рассчитываются аналогично, для X=1 и 3 отличий нет, для X=2 формула новая, но значения вероятностей тоже совпадают с первым шагом:

P(Z=0)=g*(1-a) / (g*(1-a)+(1-g)*(1-b )) = (4/11 * 1/4) / (2/11) = 1/2

Таким образом, функция для оптимизации будет такая же, как на предыдущем шаге. Алгоритм сошелся за два шага.

Ответ:

a=3/4

b=6/7

g=4/11

Задача 11.

Решение

P(a=0) = 0.6 ; P(b=0) = 0.592 ; P(a=0 & b=0) = 0.336

Вероятности получены сложение значений вероятностей всех комбинаций, где выполняется условие. Если бы a и b были независимы, то по определению, третья вероятность была бы произведением первых двух, но это не так, поэтому a и b не независимы.

Однако a и b независимы при с=0:

P(a=0 | c=0) = P(a=0 & c=0)/P(c=0) = 0.5 (определение условной вероятности)
P(b=0 | c=0) = 0.8
P(a=0 & b=0 | c=0) = P(a=0 & b=0 & c=0)/P(c=0) = 0.4 = P(a=0 | c=0) * P(b=0 | c=0)

Все остальные соотношения проверяются аналогично.

Задача 13.

Решение

all.pdf, страницы 168-169.

Оценка МП %pi - значение первой скрытой переменной, оно нам дано, поэтому вероятность P(t₁₁ = 1) = 1,P(t₁₂ = 1) = 0.

Оценка МП для матрицы A записана на странице 169. Содержательно эта формула означает следующее. Элемент A[i,j] - вероятность прехода из состояния i в состояние j. Оценка МП - отношение количества известных нам переходов из i в j к количеству раз, которые наблюдали систему в состоянии i. В данной задаче мы наблюдали состояние 1 100 раз, состояние 2 - 99 раз (последний раз не считается). Переход 1->2 наблюдали 25 раз, переход 1->1 - 75 раз, переход 2->1 - 24 раза, переход 2->2 - 75 раз.

Итого матрица A:

Задача 14. Алгоритм Витерби

Программа на python, решающая задачу (алгоритм взят из [1])

# Helps visualize the steps of Viterbi.
def print_dptable(V):
    print "    ",
    for i in range(len(V)): print "%7s" % ("%d" % i),
    print
 
    for y in V[0].keys():
        print "%.5s: " % y,
        for t in range(len(V)):
            print "%.7s" % ("%f" % V[t][y]),
        print
 
def viterbi(obs, states, start_p, trans_p, emit_p):
    V = [{}]
    path = {}
 
    # Initialize base cases (t == 0)
    for y in states:
        V[0][y] = start_p[y] * emit_p[y][obs[0]]
        path[y] = [y]
 
    # Run Viterbi for t > 0
    for t in range(1,len(obs)):
        V.append({})
        newpath = {}
 
        for y in states:
            (prob, state) = max([(V[t-1][y0] * trans_p[y0][y] * emit_p[y][obs[t]], y0) for y0 in states])
            V[t][y] = prob
            newpath[y] = path[state] + [y]
 
        # Don't need to remember the old paths
        path = newpath
 
    print_dptable(V)
    (prob, state) = max([(V[len(obs) - 1][y], y) for y in states])
    return (prob, path[state])

states = ('first', 'second')
 
observations = ('0', '0', '1', '0', '0', '1', '1')
 
start_probability = {'first': 0.5, 'second': 0.5}
 
transition_probability = {
   'first' : {'first': 0.9, 'second': 0.1},
   'second' : {'first': 0.2, 'second': 0.8},
   }
 
emission_probability = {
   'first' : {'0': 0.8, '1': 0.2},
   'second' : {'0': 0.2, '1': 0.8},
   }

def example():
    return viterbi(observations,
                           states,
                           start_probability,
                           transition_probability,
                           emission_probability)
print example()

Вывод программы:

           0       1       2       3       4       5       6
secon:  0.10000 0.01600 0.02304 0.00368 0.00074 0.00215 0.00137
first:  0.40000 0.28800 0.05184 0.03732 0.02687 0.00483 0.00087
(0.0013759414272000007, ['first', 'first', 'first', 'first', 'first', 'second', 'second'])

То есть наиболее вероятная последовательность состояний: 1-1-1-1-1-2-2

Задача 15. Алгоритм вперед-назад

Решение

Описание алгоритма с простыми обозначениями можно прочитать здесь: [2]

Значения "альфы" (первой и второй) на каждом шаге:

1: 0.4 и 0.1

2: 0.304 и 0.024

3: 0.05568 и 0.03968

Значения "беты" на каждом шаге, от третьего к первому:

3: 1 и 1

2: 0.61 и 0.68

1: 0.4664 и 0.1576

Нормировочные константы:

3: 0.09536

2: 0.20176

1: 0.20232

И наконец, маргинальные распределения (гамма нулевое - вероятность того, что система была в состоянии 0):

Для t3: 0 с вероятностью ~0.58

Для t2: 0 с вероятностью ~0.919

Для t1: 0 с вероятностью ~0.922