История математики, 06 лекция (от 09 октября 2008 года)

Материал из eSyr's wiki.

Версия 10:26, 31 октября 2010

• Диктофонная запись: http://esyr.org/lections/audio/math_history_2008_winter/HM_08_10_09.ogg

Рене Декарт имел юридическое образование. Один из трудов — Геометрия. Впервые здесь было чётко сформулировано понятие переменной величины и системы координат. Систему координат Декарт воспринимал в двояком виде. Первый вид может показаться не вполе стандартным, но может показаться и ст., если вы вспомните беговые дорожки, где отмечены расстояния. И первый вариант у него есть система, привязок к некой траектории, второй же вариант, которой мы называем декартовой системой координат, и есть та система. Почему Декарт не подозревал о той системе координат, которую мы называем декартовой? Декарт не очень уважал отрицательные числа. И систему координат он строил только для положительной полуоси, а ось y он даже не строил. Так что, во-первых он исследовал точки только в первой четверти, и у него была только одна полуось.

Тем не менее, он предлагал писать уравнения кривых, предлагал правила написания уравнений кривых, и доказывал, что все уравнения, решаемые циркулем и линейкой, решал уравнения не более второй степени. Он не давало общего правила, но рассматривал большое количество трудных задач. Декарт считал допустимыми только те прямые, которые только циркулем и линейкой, шарнирным механизмом. Он классифицировал кривые, давая ранг кривой, который определённым количеством звеньев шарнирного механизма, которым можно нарисовать кривую. Это была первая попытка классифицировать кривых. Остальные кривые были названы механическими. Позднее Лейбниц назвал их трансцендентными. У Декарта не было простых кривых. Трёхосная система координат появилась лишь в конце 18 века.

Декарт занимался общей теорией решения уравн. Не любил отрицательные числа, не пользовался, не знал комплексных чисел, и высказал гениальную гипотезу: уравнение n-ной степени имеет n корней. Доказано это было значительно позже Гауссом. Доказательства были ещё до Гаусса, но значительно после Декарта Но у всех этих доказательств был достаточно большой недостаток: они исходили из того, что корни сущестуют, и потом доказывали, что их n, Гаусс сумел без этого обойтись. Ещё Декарт говорил о том, что количество положительных корней совпадает с количеством знакоперемен в уравнении.

Уравнения 3, 4 степени он решал тригонометрическими методами, используя метод, аналогичный методу вставки в трисекции угла.

Недостатки какие: ограниченность только алгебраическими кривыми. Конечно, классификация его вряд ли может быть признана удачной. И нет проникновения в геометрическую алг. аппарата.

У него появились удобные обозначения +, -, = и · ввёл Декарт. y^2 — тоже Декарт. Неизвестные начал называть y, y, z, известные — a, b, c.

Не изучал он кривые по свойствам соответствующих уравнений.

Очень напряженные взаимоотношения у него были с Паскалем.

Современник и научный соперник декарта — Ферма. Жил примерно в то же самое время. Юрист. При жизни практически своих научных трудов не публиковал. Всё ограничивалось письмами, дневниками... В связи с этими и легенда о теореме Ферма. Что можно предположить:

• Доказательства не было и он лукавил
• Он считал, что у него оно есть и оно было неверным
• У него могло быть доказательство

Сильно насолил Ферма той теоремой. Поскольку она формулировалась уж больно просто.

Кроме великой теоремы Ферма есть ещё и малая.

Но вспомнил лектор о Ферма не поэтому, а в связи с переменными величинами и системами координат. У Ферма тоже использовалась система координат такая же, как и у Декарта, но у него есть одно достаточно серьёзное продвижение. Он, записывал уравнения, предлагал делать преобразования координат: предлагал делать сдвиг и поворот. Это позволяло приводить кривыек к каноническому виду, что достаточно удобно. Достаточно серьёзная инициатива, которую предлагал Ферма.

Умел решать задачи на отыскание экстремумов, построение касательных. И стучалось в дверь появление анализа бесконечно малых.

Что ещё можно сказать о Ферма? Он, как и Паскаль, внёс лепту в теорию вероятностей.

Появились зачатки аналитической геометрии. Раз есть система координат, раз есть уравнения, Ферма показал, что прямым соответствуют уравнения первой степени, коническим сечениям — второй, причём приводил к каноническому виду.

Всерьёз умели решать задачи инт. ... умел решать ещё Архимед, Евдокс. Но люди надо долгое время потеряли те знания, которые имели за 1.5 тыс. лет до этого. Где-то с 1609 по 1619 Кеплер открыл законы движения планет. Для этого ему требовалось искать площади: траектория планеты за равное время заметает равные вектора. Он предполагал это, но это надо было посчитать. Ему потр. возр. метод исчерпывания. Кеплер посвятил этому достаточно много времени и сил и написал большую книжку: о стереометрии, или новое в стереометрии винных бочек, как наиболее удобных, и так далее, и так далее. Кеплер там приводил методы вычисления объёмов и площадей. Они похожи на то, чт предлагал Архимед, но значительно менее строги. Наст. менее, что написал памфлет в защиту Архимеда от Кеплера. Какие Кепплер исследовал фигуры? Тела вращения. Причём он исследовал 92 тела вращения и это говорит о том, что нет общего метода. И надо было для каждого придумывать своё название. И он придумывал: яблоко, чалма, ... Он пытался разбить фигуру на множество частей, а потом из этого лепить другую фигуру, объём которой умел считать. Например, брал тор, нарезал на множество мелких частей, и приближал цилиндрами. Площидь круга — сумма площадей треугольников высотой в радиус и с суммой основания в длину.

Кавальери. Монах из Болонии. Всю жизнь посвятил математике. Его волновало, как выч. объём и площ. фигур, и он несильно продвиулся по срав. с Демокритом.

Когда лектор гвоорил про фЕрма, почему он увлёкса матем: он читал фил. древности, в частности, аполлония, который занимался кривыми. У кавальери же идеи своп. с идеями Дамакрита. Он проповедовал идею ндеелимых. Надо исп. для изм. чего-то элем. ежиницы на единицу меньше. Он строил прямую, регулу, и строил пар-но ейбеск. кол-во прямых. Что кас. прмых, т о онит покр. деск. кол-вом точек, но что это такое, у К. дело не доходило.

Одновременно с ним пытался выч. объёмы фигур Торричелли. Он выч. объём фигуры, получ. в рез-те вращ. ветки гиперболы.

Пожалуй, надо сказать о наиб. продвинутой в этом напр. вещи. Лектор вернётся к Паскалю. Лектор о П. говорил како созд. машины. Но П. это не только великий физик и конструктор, но и великуий матем. Его рез-ты в теор. вер-ти, треуг. П., но он тоже исп. теорию недел., но в знач. более продв. форме. Он в кач. неделимого ис.п ∑y dy. Он в этом смысле продв. знач. дальше.

Дальше это связано с именнами британцев, шоттландцев: ... Барроу. В трудах ... уже отд. труды по интергр. и диф. ур.

Барроу сформ. обр. связь задач на инт. и диф. Задача диф. — задача на отыск. экстр., а инт — на от. площадей, и он сформ. теорему о связи этих задач.

Инт. исч. в серьёзном виде возн. одновр. в виде теории флюксий у Ньютона, исч. диф. у Лейбница. Это творая половина 17-го века, и начнёт леткор с Исаака Ньютона, великуого учёного, выд.ю механика, физика, астронома, математика, причём физики сч. , что это великий физик, механики, что великий механик, матем., что выд. матем. Сам себя матем. не считал, поск. матем. у него была ср=вом, а не самоцелью для реш. задач фищики и механики. Он придумываал способы и методы, недост. серьёхно это обосн., поск. или не считал эт необх., или не мог это сделать. Но ему нужно было получать рез-ты и рез-ты получались верные, и пусть кто-то потомэти рез-ты обосн. Такой же точки зр. придерж. и Эйлер.

Н. Зак. trinity college. Зак. его и получил степень магистра. в 1665 случилась эпидемия, и он укрылся от неё укрылся в Вудсторке на три года. И это оказ. самые плодотворные годы в жизни Ньютона. Осн. вещи:

• Заложены осн. теории флюксий
• Закон всемирного тяготения
• Провод. изыск. в обл. теории света. Он открыл, что свет можно разл. на цветные составляющие. Он исп. корпуск. теорию света. Но при этом он первый измерил длину волны.

Это всё в этот период предывания в Вуллсторке(?)

В 1969 году вернулся в Кембридж к учителю Барроу. И Б. просил Н. возглавить кафедру матем., которую возгдл. сам Барроу. И 32 года он возгл. каф. мат. в Кембридже.

В 1672 году он стал членом Лонд. корол. общ., впосл. его возглавил. Потом стал членом париж. академии наук.

Он был назн. смотр. монетного двора и упорядочил монетное дело в Англии.

Он получил дворянское звание, похоронен был в вестми... аббатстве.

Бернулли разослал две сложных задачи всем изв. ему мат. Европы и дал 6 месяцев на реш. задач. Прошло немного времени, и он получ. анонимное реш., но по стилю изл. быо ясно, что это Ньютон.

Чнм он зан.: фищ., мех., мат:

• Мех. Три закона Ньютона. ЧЕстно, не только он, первый, например, Галлилей, но Н. собрал из в кучку. он же показал, что законы движ. планет вытекают из закона всемир. тяг
• Иссл. движ. тел в сплош. среде
• Решал конкр. задачи земной и неб. механики
• Главная заслуга — рез-ты в теории диф. исчисления.

Главное, о чём лектор хотел бы сказать — теория флюксий. Это флюэта, от "течь" — зависимая переменная, зависит она от непр. меняемой вел-ны. Скорость изм. наз. флюксией. Т. о., это произв. по времени от флюенты. Если флюенты обозн. y, то флюксия — y с точкой, изм. флюксии — y с двумя точками, и так далее. В мех. до сих. пор такое обозн.

Если дана флюксия, то как получить флюенту? 'y, или □y — отсюда квадратура.

В теор. флюксий в перв. очедерь появлиось неопр. интегрирование.

Пример самого Н., как он диф. функции, алг. диф функции, и тут лектор хочет отметить некую особенность: он диф. не функции, а соотн. И вы увидите, почему он сам не шибко удовл. своими изысканиями:

x^3 - ax^2 + axy - y^3 = 0 — соотн. для флуент x, y.

К каждой флюенте доб. момент:

(x+x·O)^3 - a(x+x·O) + a(x+y·O)(y+y·O) - (y+y·O)^3 = 0
x^3 + 3x^2 x·O + 3x x·^2 O^2 + x·^3 O^3 - ax^2 - 2axx·O - ax·^2O^2 + axy + axy·O + ax·yO + ax·y·O^2 - y^3 - 3y^2 y·O - 3yy·^2 O^2 - y·^3 O^3 = 0

Делим это всё на O:

3x^2 x· - 2axx· + axy· + ax·y - 3y^2 y = 0

Получится диф., но понятно, что это нечто неформальное.

Более того, он метод форм. метод в виде правила. Он говорит так: «разложи по степеням переменных»

x^3 - ax^2 + axy - y^3     - y^3 + 0y^2 + axy - ax^2 + x^3

Расположи в арифм. прогр. коэф с x·/x:

3x·/x 2x·/x x·/x 0           3y·/y 2y·/y y·/y 0

Умножь почленно:

...
3x^2 x· - 2axx· + ax·y     - 3y^2 y + axy·

...

D xkj;ys[ ckexfz[ Y/ ращлагал функции во врем. ряды. Но, чтобы иметь возм. отбр., док..., Ньютон не мог.

В кач. примера его рез-тов: интерполирование. Есть интерп. формула Ньютона. Что он предложил:

f(a + n δx) = f(a) + nδf(a) + h(n-1)/2! aδ^2 f(a) + ... + δ^n f(a)
δf(x) = f(x + δx) - f(x)
δ^2 f(x) = δf(x+δx) - δf(x)

В след. году Тейлор предл. рассм. слуай беск. большого кол-ва слагаемых.

Почему лектор на это напирает? У Ньютона формула приближённая. Тейлор предложил ф-лу точную. Что дальше? Дальше — упомянуты метод рунгк-кутта. Можно аппрокс. производные.

Если гов. об англ. мат. того периода, то там есть Симпсон, Стирлинг.

Главное: Ньютон — родонач. теор. диф. в виде флюксий.

Следующий — Лейбниц.