Редактирование: История математики, теоретический минимум
Материал из eSyr's wiki.
Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.
ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ: Длина этой страницы составляет 151 килобайт. Страницы, размер которых приближается к 32 КБ или превышает это значение, могут неверно отображаться в некоторых браузерах. Пожалуйста, рассмотрите вариант разбиения страницы на меньшие части.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 3: | Строка 3: | ||
Древний Египет. Что они умели: арифметика, например, 10х12=24+96=120. | Древний Египет. Что они умели: арифметика, например, 10х12=24+96=120. | ||
- | Использовали дроби? Использовали, но только вида 1/n. Была таблица для представления дробей вида 2/n, как сумму | + | Использовали дроби? Использовали, но только вида 1/n. Была таблица для представления дробей вида 2/n, как сумму аликвтных дробей. |
Были как особые 2/3 и 3/4. | Были как особые 2/3 и 3/4. | ||
Как они записывали сумму дробей: 1/2 1/5 1/7 | Как они записывали сумму дробей: 1/2 1/5 1/7 | ||
- | Что умели в геометрии? Считать площадь треугольника, прямоугольника, трапеции, круга. Площадь круга --- | + | Что умели в геометрии? Считать площадь треугольника, прямоугольника, трапеции, круга. Площадь круга --- 8/9 d^2. |
Умели вычислять объём цилиндра, объём усечённого конуса. | Умели вычислять объём цилиндра, объём усечённого конуса. | ||
Есть задачи на сумму геометрической прогрессии. | Есть задачи на сумму геометрической прогрессии. | ||
Строка 108: | Строка 108: | ||
''Нормальная статья на [[wikipedia:ru:Начала Евклида|ру-википедии]]'' | ''Нормальная статья на [[wikipedia:ru:Начала Евклида|ру-википедии]]'' | ||
- | Одним из первых крупных ученых, связанных с Александрией, был Евклид, живший около 300 г | + | Одним из первых крупных ученых, связанных с Александрией, был Евклид, живший около 300 г. Ничего, кроме научных трудов, о его биографии не известно. Евклид - один из наиболее влиятельных математиков всех времен. Наиболее знаменитое его произведение “Начала”. Это первое значительное произведение, дошедшее до нас полностью. В истории Западного мира это, по-видимому, второе после Библии произведение по числу изданий. После изобретения книгопечатания (в Европе в XV веке) оно издавалось более 1000 раз. Большая часть школьной геометрии заимствована из “Начал”. Логическое построение “Начал” повлияло на научное мышление больше, чем какое-либо иное произведение. Оно основывается на строго логическом выводе теорем из системы определений, постулатов и аксиом. |
“Начала” состоят из 13 книг. В первых четырех книгах рассматривается геометрия на плоскости. В 5-ой и 6-ой книгах изложена теория отношений Евдокса и применена к подобию треугольников. Книги 7-9 посвящены теории чисел (теория делимости, алгоритм Евклида, теория простых чисел). В 10-й книге дана геометрическая классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей, т.е. чисел вида <math>\sqrt{a+\sqrt{b}}</math> . В последних трех книгах излагается геометрия в пространстве. Изложение завершается изучением правильных многогранников: тетраэдра(4 грани), куба (6), октаэдра (8), додэкаэдра (12) и икосаэдра (20). Доказывается, что их только пять. Они получили название платоновых тел и имели основополагаюшее значенние в космологии школы Платона. | “Начала” состоят из 13 книг. В первых четырех книгах рассматривается геометрия на плоскости. В 5-ой и 6-ой книгах изложена теория отношений Евдокса и применена к подобию треугольников. Книги 7-9 посвящены теории чисел (теория делимости, алгоритм Евклида, теория простых чисел). В 10-й книге дана геометрическая классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей, т.е. чисел вида <math>\sqrt{a+\sqrt{b}}</math> . В последних трех книгах излагается геометрия в пространстве. Изложение завершается изучением правильных многогранников: тетраэдра(4 грани), куба (6), октаэдра (8), додэкаэдра (12) и икосаэдра (20). Доказывается, что их только пять. Они получили название платоновых тел и имели основополагаюшее значенние в космологии школы Платона. | ||
Строка 176: | Строка 176: | ||
=Логарифмы, логарифмическая шкала, логарифмические линейки. Непер, Гюнтер, Отред, Деламейн, Уатт, Ньютон= | =Логарифмы, логарифмическая шкала, логарифмические линейки. Непер, Гюнтер, Отред, Деламейн, Уатт, Ньютон= | ||
- | [[wikipedia:Slide rule]] | + | [[wikipedia:Slide rule]] |
Логарифмические линейки: впервые изобрел Отред в 1620-23, затем совершенствовали Ньютон, Уатт. Вроде бы в 1654 Р. Бесакер изобрел криволинейную логарифмическую линейку. | Логарифмические линейки: впервые изобрел Отред в 1620-23, затем совершенствовали Ньютон, Уатт. Вроде бы в 1654 Р. Бесакер изобрел криволинейную логарифмическую линейку. | ||
- | + | ==== Джон Непер (1550--1617) ==== | |
+ | [[wikipedia:John Napier]] | ||
- | ===[[wikipedia:ru:Непер, Джон|Джон Непер]] (1550 – 1617)=== | ||
В 1614 опубликовал работу "Описание удивительных таблиц логарифмов" - логарифмы и тригонометрические функции(0-90 градусы,шаг 1 минута) с точностью до восьмого знака. Таблицу Непера составляли логарифмы тригонометрических функций. Прежде всего отдельную колонку составляли логарифмы синусов углов первой четверти, выбранных с интервалом 1 минута. Они давали и значения логарифмов косинусов (как синусов дополнительных углов). В специальной колонке под названием "разности" приведены разности логарифмов дополнительных углов, т.е. логарифмы тангенсов. Неперу было известно, что логарифмы обратных тригонометрических функций получаются просто изменением знака. | В 1614 опубликовал работу "Описание удивительных таблиц логарифмов" - логарифмы и тригонометрические функции(0-90 градусы,шаг 1 минута) с точностью до восьмого знака. Таблицу Непера составляли логарифмы тригонометрических функций. Прежде всего отдельную колонку составляли логарифмы синусов углов первой четверти, выбранных с интервалом 1 минута. Они давали и значения логарифмов косинусов (как синусов дополнительных углов). В специальной колонке под названием "разности" приведены разности логарифмов дополнительных углов, т.е. логарифмы тангенсов. Неперу было известно, что логарифмы обратных тригонометрических функций получаются просто изменением знака. | ||
1617 - проф. '''Бриг''' из Лондона, 8-значные таблицы чисел от 1 до 1000. Затем он же логарифмы - от 1 до 20000, 80000-100000. | 1617 - проф. '''Бриг''' из Лондона, 8-значные таблицы чисел от 1 до 1000. Затем он же логарифмы - от 1 до 20000, 80000-100000. | ||
- | + | [[wikipedia:Edmund Gunter|'''Эдвард Гюнтер''']] из Оксфорда: логарифмическая шкала, в 1624 Edmund Wingate опубликовал его результаты в Париже. На дощечке наносил логарифмы чисел, затем измерительным циркулем мерял расстояния - разности и суммы. Разработал логарифмическую шкалу, явившуюся первым вариантом широко ныне распространенной логарифмической линейки. Он же, а кроме него Кеплер и другие ученые, составлял таблицы логарифмов чисел и тригонометрических функций, как десятичные так, и натуральные, и широко использовал их в астрономии. | |
- | + | ||
- | ===[[wikipedia: | + | ==== Отред ==== |
+ | [[wikipedia:William Oughtred]] | ||
- | Отред из Кембриджа внёс решающий вклад в изобретение удобной для пользования логарифмической линейки тем, что предложил использовать две одинаковые шкалы, скользящие одна вдоль другой. 1630 год — он и его ученик '''Ричард Деламейн''' создают круговую логарифмическую линейку, но результаты не публикуют, подобно Ньютону, который передавал знания только лично. Саму идею логарифмической шкалы ранее опубликовал валлиец | + | Отред из Кембриджа внёс решающий вклад в изобретение удобной для пользования логарифмической линейки тем, что предложил использовать две одинаковые шкалы, скользящие одна вдоль другой. 1630 год — он и его ученик '''Ричард Деламейн''' создают круговую логарифмическую линейку, но результаты не публикуют, подобно Ньютону, который передавал знания только лично. Саму идею логарифмической шкалы ранее опубликовал валлиец Эдмунд Гантер, но для выполнения вычислений эту шкалу нужно было тщательно измерять двумя циркулями. Двойная шкала Отреда сразу давала результат. В 1662 году Сет Партридж изобрёл бегунок и визир, и в этом виде логарифмическая линейка верно служила инженерам и математикам более 300 лет, пока не появились электронные калькуляторы. |
Отред изобрёл также компактную круговую логарифмическую линейку, которая получила некоторую известность и вызвала ряд подражаний. В окончательном виде круговая линейка Отреда имела десять шкал и позволяла умножать, делить и находить значения нескольких тригонометрических функций. | Отред изобрёл также компактную круговую логарифмическую линейку, которая получила некоторую известность и вызвала ряд подражаний. В окончательном виде круговая линейка Отреда имела десять шкал и позволяла умножать, делить и находить значения нескольких тригонометрических функций. | ||
- | ===[[wikipedia:Nicholas Mercator | + | ==== Н.Меркатор (Кауфман) ==== |
- | Умел вычислять логарифм от 1+х через разложение в ряд: | + | [[wikipedia:Nicholas Mercator]] |
+ | |||
+ | Николас Меркатор (1620-1681). Умел вычислять логарифм от 1+х через разложение в ряд: | ||
<math>\ln(1+x) = x - \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{4} x^4</math> | <math>\ln(1+x) = x - \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{4} x^4</math> | ||
Строка 422: | Строка 424: | ||
=Аналитическая машина Бэббиджа= | =Аналитическая машина Бэббиджа= | ||
Аналитическая машина (принцип - зубчатые передачи): (по лекциям Вали) | Аналитическая машина (принцип - зубчатые передачи): (по лекциям Вали) | ||
- | + | ||
- Склад (память) | - Склад (память) | ||
- Мельница (АЛУ) | - Мельница (АЛУ) | ||
Строка 449: | Строка 451: | ||
1815-1852. Дочь лорда Байрона. Присутствовала на презентации разностной машины Бэббиджа. Перевела на английский статью о аналитической машине Бэббиджа. Снабдила ее комментариями относительно алгоритма и программы вычислений.В числе прочего она сообщила Бэббиджу, что составила план операций для аналитической машины, с помощью которых можно решить уравнение Бернулли, которое выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. подпрограмма и библиотека подпрограмм, модификация команд и индексный регистр, которые стали употребляться только в 50-х годах XX века. Сам термин «библиотека» был введён Бэббиджем, а термины «рабочая ячейка» и «цикл» предложила Ада Лавлейс. Считала, что машина может вычислить многое, если ей задать способ вычисления. | 1815-1852. Дочь лорда Байрона. Присутствовала на презентации разностной машины Бэббиджа. Перевела на английский статью о аналитической машине Бэббиджа. Снабдила ее комментариями относительно алгоритма и программы вычислений.В числе прочего она сообщила Бэббиджу, что составила план операций для аналитической машины, с помощью которых можно решить уравнение Бернулли, которое выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. подпрограмма и библиотека подпрограмм, модификация команд и индексный регистр, которые стали употребляться только в 50-х годах XX века. Сам термин «библиотека» был введён Бэббиджем, а термины «рабочая ячейка» и «цикл» предложила Ада Лавлейс. Считала, что машина может вычислить многое, если ей задать способ вычисления. | ||
- | = | + | =Н.И. Лобачевский и неевклидова геометрия= |
- | + | 1792-1856. Учился и работал в Казанской университете. | |
- | + | Он исходил из попытки доказать 5 постулат евклида. | |
- | + | Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского. Постулат Лобачевского: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. Лобачевский считает аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. Евклидова геометрия может быть из нее получена предельным переходом (при стремлении кривизны пространства к нулю). В самой геометрии Лобачевского кривизна отрицательна. | |
- | + | Применение его геометрии нашла Бельтрани(траектрисса, псевдосфера), Клейн | |
- | + | ||
Развитие геометрии Лобачевского связано с введением пучков прямых: сходящихся, расходящихся и параллельных. Относительно пучков прямых вводятся циклы. Это - геометрические места точек, являющиеся ортогональными траекториями пучка прямых. Их положение определяется начальной точкой, выбранной на одной из прямых пучка. Эти циклы для трех видов пучков соответственно называются: окружность, эквидистанта (или гиперцикл) и орицикл (образ предельной окружности при R -> ~). Соответствующие пространственные образы, образованные вращением циклов вокруг избранной прямой, соответственно будут: сфера, гиперсфера и орисфера. | Развитие геометрии Лобачевского связано с введением пучков прямых: сходящихся, расходящихся и параллельных. Относительно пучков прямых вводятся циклы. Это - геометрические места точек, являющиеся ортогональными траекториями пучка прямых. Их положение определяется начальной точкой, выбранной на одной из прямых пучка. Эти циклы для трех видов пучков соответственно называются: окружность, эквидистанта (или гиперцикл) и орицикл (образ предельной окружности при R -> ~). Соответствующие пространственные образы, образованные вращением циклов вокруг избранной прямой, соответственно будут: сфера, гиперсфера и орисфера. | ||
Строка 460: | Строка 461: | ||
Во все соотношения геометрии Лобачевского входит единица длины (масштаб), а углы и длины зависят друг от друга. Единицей длины является OR - длина абсолютной дуги орицикла. Это - дуга, отсчитываемая от избранной точки O на одной из параллельных прямых пучка до R - пересечения орицикла с прямой пучка, параллельной касательной к орициклу в точке О. В настоящее время отрезок, равный по длине абсолютной дуге, называют радиусом длины Лобачевского. | Во все соотношения геометрии Лобачевского входит единица длины (масштаб), а углы и длины зависят друг от друга. Единицей длины является OR - длина абсолютной дуги орицикла. Это - дуга, отсчитываемая от избранной точки O на одной из параллельных прямых пучка до R - пересечения орицикла с прямой пучка, параллельной касательной к орициклу в точке О. В настоящее время отрезок, равный по длине абсолютной дуге, называют радиусом длины Лобачевского. | ||
- | Для бесконечно малых размеров его геометрия превращается в евклидову | + | Аппарат вычислений в геометрии Лобачевского основывается на оперировании с гиперболическими функциями. Вся тригонометрия оказалась в основном тригонометрией гиперболических функций. |
+ | |||
+ | Для бесконечно малых размеров его геометрия превращается в евклидову. | ||
- | + | Первой интерпретацией геометрии Лобачевского можно считать результаты Бельтрами, касающиеся задачи картографии: отобразить поверхность на плоскость таким образом, чтобы все геодезические линии на поверхности изображались прямыми на плоскости. Но эта интерпретация оказалась неполной. | |
- | + | Полным доказательством непротиворечивости геометрии Лобачевского является модель Клейна. | |
=Петербургская математическая школа. Остроградский, Буняковский= | =Петербургская математическая школа. Остроградский, Буняковский= |