Редактирование: История математики, теоретический минимум

Интуициони́зм — система философских и математических идей и методов, связанных с пониманием математики как совокупности «интуитивно убедительных» умственных построений. С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности математического суждения является интуитивная убедительность возможности проведения мысленного эксперимента, связываемого с этим суждением. Поэтому в интуиционистской математике отвергается теоретико-множественный подход к определению математических понятий, а также некоторые способы рассуждения, принятые в классической логике.

Интуиционистская математика является достаточно разработанным направлением, которое достигло многих существенных результатов, в том числе и в таких областях, как теория меры, функциональный анализ, топология, теория дифференциальных уравнений.

=== Критика классической математики ===

Отдельные черты интуиционизма можно проследить ещё в античной математике, а позднее в высказываниях таких учёных, как [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]], [[Кронекер, Леопольд|Кронекер]], [[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре]], [[Лебег]], [[Борель, Эмиль|Э.Борель]]. Однако в своём современном виде интуиционизм возник как результат критического пересмотра основ классической математики, проведённого начиная с [[1907]] года [[Брауэр, Лейтзен Эгберт Ян|Л. Э. Я. Брауэром]].

В основе критики Л. Э. Я. Брауэра лежит вопрос о природе [[математический объект|математических объектов]] и суждений о них. Так, естественно представить, что произвольное [[натуральное число]] может быть построено в виде последовательного ряда однородных предметов, например, ряда [[точка (геометрия)|точек]]. Столь же естественно представить, что, построив некоторое натуральное число, можно построить затем и следующее, добавив к уже построенному ещё одну точку. Поэтому природа натуральных чисел является интуитивно ясной. Однако наряду с такими объектами в классической математике рассматриваются и объекты с интуитивно неясной природой, например, «[[множество всех натуральных чисел]]» и «[[Мера_Лебега#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.80_.D0.BD.D0.B5.D0.B8.D0.B7.D0.BC.D0.B5.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.BC.D0.BD.D0.BE.D0.B6.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B0|множество, неизмеримое по Лебегу]]». С ними не связывается никакого способа их мысленного построения, и потому их действительное существование представляется сомнительным.

Одним из источников возникновения такого рода «монстров» в классической математике являются ''[[Теорема чистого существования|теоремы чистого существования]]'', в которых наличие искомого объекта утверждается лишь на основе формального опровержения гипотезы о его невозможности. Иначе говоря, фундамент таких теорем составляет представление об абсолютной непогрешимости законов классической логики.

Это представление также стало одной из мишеней критики Брауэра. С его точки зрения, законы [[Классическая логика|классической логики]] возникли в результате рассмотрения конечных совокупностей, при работе с которыми доказательство чистого существования заведомо может быть дополнено эффективным способом построения искомого объекта — полным перебором. При переходе же к рассмотрению бесконечных совокупностей эти законы становятся недостоверными, поскольку полного перебора таких совокупностей мы провести уже не можем.

В качестве простейшего примера рассмотрим следующую теорему чистого существования:

: ''«для любого вещественного числа <math>x</math> найдётся натуральное число <math>n</math>, равное <math>1</math> в случае <math>x=0</math>, и равное <math>2</math> в случае <math>x\neq 0</math>»''

Признать такое число <math>n</math> действительно существующим мы могли бы лишь в том случае, если бы умели сравнивать произвольное [[вещественное число]] <math>x</math> с нулём, чего, однако, мы делать не умеем. Действительно, число <math>x</math> на деле задаётся некоторой [[бесконечная последовательность|бесконечной последовательностью]] рациональных чисел <math>\{x_n\}_{n=1}^{\infty}</math>. Эффективным способом сравнения числа <math>x</math> с нулём был бы лишь такой, который позволял бы производить это сравнение на основе просмотра некоторого конечного (пусть и очень большого) набора чисел <math>x_k</math>. Однако такое рассмотрение не позволяет надёжно установить верность равенства <math>x=0</math>.

Аналогичные трудности возникают при попытках прояснения статуса существования многих других объектов классического анализа, например, точек [[экстремум]]а [[непрерывная функция|непрерывной функции]] на [[отрезок|отрезке]], нулей знакопеременных непрерывных функций на отрезке и т. д. Никакого способа эффективного построения указанных объектов в нашем распоряжении не имеется.

Такая критика классической математики не связана непосредственно с [[антиномия]]ми [[теория множеств|теории множеств]]. Появление антиномий можно рассматривать как дополнительный довод в пользу неудовлетворительности теоретико-множественного подхода, но критика относится и к таким разделам математики, где антиномий не возникает.