ГОС

Материал из eSyr's wiki.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая: == Решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами == <math>y^{'''} ...)
(→Пределы)
 
(42 промежуточные версии не показаны)
Строка 1: Строка 1:
 +
== Пределы ==
 +
 +
[http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_{n-%3Einfty}+(sqrt(n^2+%2B+n)-n) Wolfram: lim_{n->infty} (sqrt(n^2+n)-n)]
 +
 +
<math>\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2 + n} - n = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2 + n} - n)(\sqrt{n^2 + n} + n)}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + n}+n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}+1} = \frac{1}{2}</math>
 +
 +
== Интегралы ==
 +
 +
<math> \int tg^2(x) dx = \int \left(\frac{1}{cos^2(x)} - 1\right) dx = tg(x) - x + C </math>
 +
 +
<math>\int cos^3(x) dx = \int (cos^2(x)cos(x)) dx = \int (1 - sin^2(x)) d(sinx) dx = \{t = sin(x)\} = \int 1-t^2 dt = t - \frac{t^3}{3} + C = \{t = sin(x)\} = sin(x)-\frac{sin^3(x)}{3} + C</math>
 +
 +
<math>\int (3x + 1)^3 dx = \frac{1}{3} \int (3x + 1)^3d(3x + 1) = \frac{1}{3} \frac{(3x + 1)^4}{4} + C</math>
 +
 +
<math>\int cos(3x) dx = \frac{1}{3} \int cos(3x)d(3x) = \frac{1}{3}sin(3x) + C </math>
 +
 +
 +
<math>\int (log(\frac{1}{x}))^5 dx = - \int log^5(x)dx</math>
 +
 +
Считаем используя правило:
 +
 +
<math>\int fdg = fg - \int g df</math>
 +
 +
<math>f = log^5(x)</math>
 +
 +
<math>dg = dx</math>
 +
 +
<math>df = 5\frac{log^4(x)}{x} dx</math>
 +
 +
 +
<math>\int (log(x))^5 dx = xlog^5(x) - 5\int log^4(x)dx</math>
 +
 +
== Ряды ==
 +
=== Гармонический ряд ===
 +
Доказать расходимость гармонического ряда:
 +
<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math>
 +
 +
Покажем по Критерию Коши:
 +
 +
<math>|S_{2n} - S_{n}| = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} > n*\frac{1}{2n} > \frac{1}{2} </math>
 +
 +
Не выполняется, если взять <math>\varepsilon = \frac{1}{4}</math>
 +
 +
Так как критерий Коши это необходимое и достаточное условие, то делаем вывод о расходимости ряда.
 +
 +
=== Знакопеременные ряды ===
 +
 +
Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{1}{n}</math>
 +
 +
Здесь можно воспользоваться признаком Лейбница, который говорит, что ряд если <math>a_n = (-1)^nb_n, a_n >= 0</math> и <math>b_n</math> монотонно стремится к 0, начиная с некоторого номера <math>n_0</math>, то ряд <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> сходится
 +
 +
Последовательность <math>\frac{1}{n}</math> монотонно стремится к 0, поэтому по признаку Лейбница <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{1}{n}</math> сходится.
 +
 +
Но модуль этого ряда -- это гармонический ряд (то есть расходится). Поэтому сходимость исследуемого ряда условная.
 +
== Решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ==
== Решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ==
<math>y^{'''} + 2y{'''} - y^{'} -2y = 0</math> <math>(1)</math>
<math>y^{'''} + 2y{'''} - y^{'} -2y = 0</math> <math>(1)</math>
Строка 9: Строка 64:
Находим корни этого уравнения:
Находим корни этого уравнения:
-
<math>\lambda = 1, \lambda = 2, \lambda = -1</math>
+
<math>\lambda = 1, \lambda = -2, \lambda = -1</math>
<math> y_1 = e^{t}, </math>
<math> y_1 = e^{t}, </math>
-
<math>y_2 = e^{2t},</math>
+
<math>y_2 = e^{-2t},</math>
<math> y_3 = e^{-t}</math>
<math> y_3 = e^{-t}</math>

Текущая версия

Содержание

[править] Пределы

Wolfram: lim_{n->infty} (sqrt(n^2+n)-n)

\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2 + n} - n = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2 + n} - n)(\sqrt{n^2 + n} + n)}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + n}+n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}+1} = \frac{1}{2}

[править] Интегралы

\int tg^2(x) dx = \int \left(\frac{1}{cos^2(x)} - 1\right) dx = tg(x) - x + C

\int cos^3(x) dx = \int (cos^2(x)cos(x)) dx = \int (1 - sin^2(x)) d(sinx) dx = \{t = sin(x)\} = \int 1-t^2 dt = t - \frac{t^3}{3} + C = \{t = sin(x)\} = sin(x)-\frac{sin^3(x)}{3} + C

\int (3x + 1)^3 dx = \frac{1}{3} \int (3x + 1)^3d(3x + 1) = \frac{1}{3} \frac{(3x + 1)^4}{4} + C

\int cos(3x) dx = \frac{1}{3} \int cos(3x)d(3x) = \frac{1}{3}sin(3x) + C


\int (log(\frac{1}{x}))^5 dx = - \int log^5(x)dx

Считаем используя правило:

\int fdg = fg - \int g df

f = log5(x)

dg = dx

df = 5\frac{log^4(x)}{x} dx


\int (log(x))^5 dx = xlog^5(x) - 5\int log^4(x)dx

[править] Ряды

[править] Гармонический ряд

Доказать расходимость гармонического ряда: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}

Покажем по Критерию Коши:

|S_{2n} - S_{n}| = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} > n*\frac{1}{2n} > \frac{1}{2}

Не выполняется, если взять \varepsilon = \frac{1}{4}

Так как критерий Коши это необходимое и достаточное условие, то делаем вывод о расходимости ряда.

[править] Знакопеременные ряды

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{1}{n}

Здесь можно воспользоваться признаком Лейбница, который говорит, что ряд если an = ( − 1)nbn,an > = 0 и bn монотонно стремится к 0, начиная с некоторого номера n0, то ряд \sum_{n=0}^\infty a_n сходится

Последовательность \frac{1}{n} монотонно стремится к 0, поэтому по признаку Лейбница \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{1}{n} сходится.

Но модуль этого ряда -- это гармонический ряд (то есть расходится). Поэтому сходимость исследуемого ряда условная.

[править] Решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

y''' + 2y''' − y' − 2y = 0 (1)

Решение этого уравнения ищется в виде y = eλt

Подставляем этот y в уравнение (1), сокращаем на eλt. Получаем характеристическое уравнение:

λ3 + 2 * λ2 − λ − 2 = 0

Находим корни этого уравнения: λ = 1,λ = − 2,λ = − 1

y1 = et,

y2 = e − 2t,

y3 = e − t


Решение уравнения (1) -- это линейная комбинация yi,i = 1,2,3:

y = C1y1 + C2y2 + C3y3

Получено с http://esyr.org/wiki/%D0%93%D0%9E%D0%A1
Личные инструменты
Разделы