Редактирование: ГОС

Материал из eSyr's wiki.

Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.

== Пределы ==

<math>\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2 + n} - n = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2 + n} - n)(\sqrt{n^2 + n} + n)}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 - n}+n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{n}}+1} = \frac{1}{2}</math>

== Интегралы ==

<math> \int tg^2(x) dx = \int \left(\frac{1}{cos^2(x)} - 1\right) dx = tg(x) - x + C  </math>

Считаем используя правило:

== Ряды ==
=== Гармонический ряд ===
Доказать расходимость гармонического ряда:
<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n}</math>

Покажем по Критерию Коши:

Не выполняется, если взять <math>\varepsilon = \frac{1}{4}</math>

Так как критерий Коши это необходимое и достаточное условие, то делаем вывод о расходимости ряда.

=== Знакопеременные ряды ===

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд  <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{1}{n}</math>

Здесь можно воспользоваться признаком Лейбница, который говорит, что ряд если <math>a_n = (-1)^nb_n, a_n >= 0</math> и <math>b_n</math> монотонно стремится к 0, начиная с некоторого номера <math>n_0</math>, то ряд <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> сходится

Последовательность <math>\frac{1}{n}</math> монотонно стремится к 0, поэтому по признаку  Лейбница  <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{1}{n}</math> сходится.

Но модуль этого ряда -- это гармонический ряд (то есть расходится). Поэтому сходимость исследуемого ряда условная.

== Решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ==
<math>y^{'''} + 2y{'''} - y^{'} -2y = 0</math> <math>(1)</math>

Решение этого уравнения ищется в виде <math>y = e^{\lambda t}</math>

Подставляем этот y в уравнение (1), сокращаем на <math>e^{\lambda t}</math>. Получаем характеристическое уравнение:

<math>\lambda^{3} + 2*\lambda^{2} - \lambda - 2 = 0</math>

Находим корни этого уравнения:
<math>\lambda = 1, \lambda = 2, \lambda = -1</math>

Решение уравнения (1) -- это линейная комбинация <math>y_i, i=1,2,3</math>:

Пожалуйста, обратите внимание, что все ваши добавления могут быть отредактированы или удалены другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. eSyr's_wiki:Авторское право).
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Описание изменений:

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Получено с http://esyr.org/wiki/%D0%93%D0%9E%D0%A1

Редактирование: ГОС

Материал из eSyr's wiki.

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

инструменты

Разделы

Спецкурсы

9 семестр

7 семестр

5 семестр

3 семестр

Поиск

Инструменты

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 == Пределы ==
-[http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_{n-%3Einfty}+(sqrt(n^2+%2B+n)-n) Wolfram: lim_{n->infty} (sqrt(n^2+n)-n)]
+<math>\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2 + n} - n = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2 + n} - n)(\sqrt{n^2 + n} + n)}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 - n}+n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{n}}+1} = \frac{1}{2}</math>
-<math>\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2 + n} - n = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2 + n} - n)(\sqrt{n^2 + n} + n)}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + n}+n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}+1} = \frac{1}{2}</math>
 == Интегралы ==
@@ Строка 11: / Строка 9: @@
 <math>\int cos^3(x) dx = \int (cos^2(x)cos(x)) dx = \int (1 - sin^2(x)) d(sinx) dx = \{t = sin(x)\}  = \int 1-t^2 dt = t - \frac{t^3}{3} + C = \{t = sin(x)\} = sin(x)-\frac{sin^3(x)}{3} + C</math>
-<math>\int (3x + 1)^3 dx = \frac{1}{3} \int (3x + 1)^3d(3x + 1) = \frac{1}{3} \frac{(3x + 1)^4}{4} + C</math>
+<math>\int (3x + 1)^3 dx = \frac{1}{6} \int (3x + 1)^2d(3x + 1)^2 = \frac{1}{6} \frac{(3x + 1)^4}{2} + C</math>
 <math>\int cos(3x) dx = \frac{1}{3} \int cos(3x)d(3x) = \frac{1}{3}sin(3x) + C </math>
@@ Строка 34: / Строка 32: @@
 === Гармонический ряд ===
 Доказать расходимость гармонического ряда:
-<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math>
+<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n}</math>
 Покажем по Критерию Коши:
@@ Строка 64: / Строка 62: @@
 Находим корни этого уравнения:
-<math>\lambda = 1, \lambda = -2, \lambda = -1</math>
+<math>\lambda = 1, \lambda = 2, \lambda = -1</math>
 <math>  y_1 = e^{t}, </math>
-<math>y_2 = e^{-2t},</math>
+<math>y_2 = e^{2t},</math>
 <math>  y_3 = e^{-t}</math>