Редактирование: ГОС
Материал из eSyr's wiki.
Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
- | == Пределы == | ||
- | |||
- | [http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_{n-%3Einfty}+(sqrt(n^2+%2B+n)-n) Wolfram: lim_{n->infty} (sqrt(n^2+n)-n)] | ||
- | |||
- | <math>\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2 + n} - n = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2 + n} - n)(\sqrt{n^2 + n} + n)}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + n}+n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}+1} = \frac{1}{2}</math> | ||
- | |||
- | == Интегралы == | ||
- | |||
- | <math> \int tg^2(x) dx = \int \left(\frac{1}{cos^2(x)} - 1\right) dx = tg(x) - x + C </math> | ||
- | |||
- | <math>\int cos^3(x) dx = \int (cos^2(x)cos(x)) dx = \int (1 - sin^2(x)) d(sinx) dx = \{t = sin(x)\} = \int 1-t^2 dt = t - \frac{t^3}{3} + C = \{t = sin(x)\} = sin(x)-\frac{sin^3(x)}{3} + C</math> | ||
- | |||
- | <math>\int (3x + 1)^3 dx = \frac{1}{3} \int (3x + 1)^3d(3x + 1) = \frac{1}{3} \frac{(3x + 1)^4}{4} + C</math> | ||
- | |||
- | <math>\int cos(3x) dx = \frac{1}{3} \int cos(3x)d(3x) = \frac{1}{3}sin(3x) + C </math> | ||
- | |||
- | |||
- | <math>\int (log(\frac{1}{x}))^5 dx = - \int log^5(x)dx</math> | ||
- | |||
- | Считаем используя правило: | ||
- | |||
- | <math>\int fdg = fg - \int g df</math> | ||
- | |||
- | <math>f = log^5(x)</math> | ||
- | |||
- | <math>dg = dx</math> | ||
- | |||
- | <math>df = 5\frac{log^4(x)}{x} dx</math> | ||
- | |||
- | |||
- | <math>\int (log(x))^5 dx = xlog^5(x) - 5\int log^4(x)dx</math> | ||
- | |||
- | == Ряды == | ||
- | === Гармонический ряд === | ||
- | Доказать расходимость гармонического ряда: | ||
- | <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math> | ||
- | |||
- | Покажем по Критерию Коши: | ||
- | |||
- | <math>|S_{2n} - S_{n}| = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n} > n*\frac{1}{2n} > \frac{1}{2} </math> | ||
- | |||
- | Не выполняется, если взять <math>\varepsilon = \frac{1}{4}</math> | ||
- | |||
- | Так как критерий Коши это необходимое и достаточное условие, то делаем вывод о расходимости ряда. | ||
- | |||
- | === Знакопеременные ряды === | ||
- | |||
- | Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{1}{n}</math> | ||
- | |||
- | Здесь можно воспользоваться признаком Лейбница, который говорит, что ряд если <math>a_n = (-1)^nb_n, a_n >= 0</math> и <math>b_n</math> монотонно стремится к 0, начиная с некоторого номера <math>n_0</math>, то ряд <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> сходится | ||
- | |||
- | Последовательность <math>\frac{1}{n}</math> монотонно стремится к 0, поэтому по признаку Лейбница <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{1}{n}</math> сходится. | ||
- | |||
- | Но модуль этого ряда -- это гармонический ряд (то есть расходится). Поэтому сходимость исследуемого ряда условная. | ||
- | |||
== Решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами == | == Решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами == | ||
<math>y^{'''} + 2y{'''} - y^{'} -2y = 0</math> <math>(1)</math> | <math>y^{'''} + 2y{'''} - y^{'} -2y = 0</math> <math>(1)</math> | ||
Строка 64: | Строка 9: | ||
Находим корни этого уравнения: | Находим корни этого уравнения: | ||
- | <math>\lambda = 1, \lambda = | + | <math>\lambda = 1, \lambda = 2, \lambda = -1</math> |
<math> y_1 = e^{t}, </math> | <math> y_1 = e^{t}, </math> | ||
- | <math>y_2 = e^{ | + | <math>y_2 = e^{2t},</math> |
<math> y_3 = e^{-t}</math> | <math> y_3 = e^{-t}</math> |