Материал из eSyr's wiki.

Предыдущая лекция | Следующая лекция

[править] Глава 2. Интерполирование и приближение функций

[править] Параграф 6. Использование H₃(x) для оценки погрешности квадратурной формулы Симпсона

Пусть требуется найти ∫_ab f(x)dx, f(x_i) = f_i, f(x_i+0,5h) = f_{i + 1/2}

По формуле Симпсона:

• ∫_{xi − 1}^x_i f(x)dx ≈ h/6 × (f_{i − 1} + 4f_{i − 1/2} + f_i) (1)

Докажем, что для полинома третьей степени f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³:

• Посчитаем ∫_{xi − 1}^x_i x³dx = x⁴/4 |_{xi − 1}^x_i = (x_i⁴ − x_{i − 1}⁴)/4 = (x_i² − x_{i − 1}²)(x_i² − x_{i + 1}²)/4 = h/4 × (x_i + x_{i + 1})(x_i² + x_{i − 1}²)
• h/6 × (x_{i − 1}³ + 4x_{i − 1/2}³ + x_i³) = h/6 × (x_i³ + x_{i − 1}³ + 4 × ((x_i + x_{i + 1})/2)³) = h/6 × ((x_i + x_{i + 1})(x_i² − x_{i − 1}x_i + x_{i − 1}² + (x_i + x_{i + 1})² × (x_i + x_{i + 1})/2)) = h/6 × ((x_i + x_{i + 1}) × 3/2 × (x_i² + x_{i − 1}²) = h/4 × (x_i + x_{i + 1})(x_i² + x_{i − 1}²)

Теперь получим оценку погрешности.

• x_{i − 1}, x_{i − 1/2}, x_i
• H₃(x_{i − 1}) = f_{i − 1}
• H₃(x_{i − 1/2}) = f_{i − 1/2}
• H₃(x_i) = f_i
• H₃'(x_{i − 1/2}) = f'_{i − 1/2}
• ∃! ∫_{xi − 1}^x_i f(x)dx ≈ h/6 × (f_{i − 1} + 4x_{i − 1/2} + x_i)
• f(x) = H₃(x) + ψ_H3(x)
• ∫_{xi − 1}^x_i f(x)dx = ∫_{xi − 1}^x_i H₃(x)dx + ∫_{xi − 1}^x_i ψ_H3(x)dx
• Ψ_i(f) = ∫_{xi − 1}^x_i f(x)dx − ∫_{xi − 1}^x_i H₃(x)dx = ∫_{xi − 1}^x_i ψ_H3(x)dx
• h/6 × (H_{i − 1} + 4H_{i − 1/2} + H_i) = h/6 × (f_{i − 1} + 4f_{i − 1/2} + f_i)
• ψ_H3(x) = f⁽⁴⁾(ξ)/4! (x − x_{i − 1})(x − x_{i − 1/2})²(x − x_i)
• M₄ = sup_{a ≤ x ≤ b} |f⁽⁴⁾(x)|
• |Ψ_i(f)| ≤ M₄/4! ∫_{xi − 1}^x_i (x − x_{i − 1})(x − x_{i − 1/2})²(x − x_i)dx = M₄/4! h⁵ t(t − 1/2)²(1 − t)dt
  • x = x_{i − 1} + th, 0 ≤ t ≤ 1
  • dx = hdt
  • (x − x_{i − 1/2})² = h²(t − 1/2)²

Задача. Показать, что ∫₀¹ t(t − 1/2)²(1 − t)dt = 1/20

• |Ψ_i(f)| ≤ M₄h⁵/4! × 1/120 = O(h⁵)
• Ψ_h(f) = ∑_{i = 1}^NΨ_i(f)
  • Nh = b − a
• Ψ_h(f) ≤ (h/2)⁴ (M₄(b − a))/180 = O(h⁴)

[править] Параграф 7. Наилучшее среднеквадратичное приближение функции

Когда мы начинали эту главу, то говорили, что приближать можно бесконечным числом способов, ставя разными задачами. Приближение алгебраическим полиномом классическое. Часто надо будет приближать в совсем другом смысле.

Нам следует здесь хорошо понять, в чём заключается задача, и откуда следует единственность.

В чём заключается задача: пусть задан отрезок [a, b]. Рассматривается множество функций таких, что ∫_a^b f²(x)dx < ∞, f ∈ L₂. В этом функциональном пространстве вводим векторное произведение: ∀ f, g ∈ L₂: (f, g) = ∫_a^b f(x)g(x)dx. Норма: ||f|| = (f, f)^1/2 = (∫_a^b f²(x)dx)^1/2. Эта норма не согласована с нормой в дискретном L₂.

Рассмотрим φ₀(x), φ₁(x), ..., φ_n(x) ∈ L₂, {φ_k(x)}₀ⁿ — линейно независимые (1)

• ∫_a^b φ_i²(x)dx < ∞
• φ(x) = ∑_{k = 0}ⁿ c_kφ_k(x) (2) — обобщённый многочлен
• Требуется найти такой обобщённый многочлен φ(x) = ∑_{k = 0}ⁿ c_kφ_k(x), что
  • ||f − φ(x)|| = ∫_a^b (f(x) − φ(x))²dx = min_φ(x)||f − φ(x)||_L2²

Рассмотрим частный случай:

• n = 0, φ₀(x), f(x), φ(x) = c₀φ₀(x), φ(x) = c₀φ₀(x) — наилучшее среднее
• F(c₀) = ∫_a^b (f(x) − c₀φ₀(x))²dx = ∫_a^b f(x)²dx { = f f} − 2c₀ × ∫_a^b f(x)φ₀(x)dx { = f φ₀} + c₀² × ∫_a^b φ₀²(x)dx{ = φ₀ φ₀}
• F'(c₀) = 0
• ...

Пусть есть φ₀(x), φ₁(x), ..., φ_n(x)

• ∫_a^b φ_k²(x)dx < ∞, k = 0…n
• φ(x) = ∑_{k = 0}ⁿ c_kφ_k(x)
• F(c₀, c₁, …, c_n) = ∫_a^b (f(x) − φ(x))²dx = ||f − φ||_L2² = ∫_a^b f²(x)dx − 2∑_{k = 0}ⁿ c_k (∫_a^b f(x)φ_k(x)dx) + ∑_{k = 0}ⁿ c_k ∑_{l = 0}ⁿ c_l(∫_a^b φ_k(x)φ_l(x)dx) = (f, f) − 2∑_{k = 0}ⁿ c_k (f, φ_k(x)) + ∑_{k = 0}ⁿ c_k ∑_{l = 0}ⁿ c_l(φ_k, φ_l)
• δF(c₀, c₁, …, c_n)/δc_k = 0, k = 0…n
• ∑_{l = 0}ⁿ c_l(φ_k, φ_l) = (f, φ_k), k = 0… n

Выпишем эту систему (3) подробно:

• c₀(φ₀, φ₀) + c₁(φ₀, φ₁) + … c_n(φ₀, φ_n) = (f, φ₀)
• c₀(φ₁, φ₀) + c₁(φ₁, φ₁) + … c_n(φ₁, φ_n) = (f, φ₁)
• ...
• c₀(φ_n, φ₀) + c₁(φ_n, φ₁) + … c_n(φ_n, φ_n) = (f, φ_n)

Выпишем матрицу этой системы:

Это матрица Грамма. Определитель матрицы положительный, отличен от 0, тем самым система алгебраических уравнений имеет и при том единственное решение для любой правой части.

Решение даёт c₀, c₁, …, c_n, и мы получаем наилучшее приближение.

Тем не менее, существует ряд проблем:

• Теоретически, если мы будем добавлять точки, то это должно давать лучшее приближение. В чём проблема: если будет большой порядок, то будем решать численно. Если определитель отличен от 0, но маленький, и это даёт большие погрешности.

[править] Отклонение

∫_a^b (f(x) − ∑_{k = 0}ⁿ c_kφ_k(x))²dx = ∫_a^b f(x)²dx − 2∑_{k = 0}ⁿ c_k ∫_a^b f(x)φ₀(x)dx + ∑_{l = 0}ⁿ c_l ∑_{k = 0}ⁿ c_k ∫_a^b φ₀²(x)dx = ∫_a^b f(x)²dx − ∑_{k = 0}ⁿ c_k² ≥ 0

• ∑_{k = 0}ⁿ c_k² ≤ ||f||² — неравенство Бесселя
• ∑_{k = 0}ⁿ c_k² = ||f||² — равенство Парсеваля

Приходится задействовать много разных областей и решать много проблем, поэтому требуется понимание, что с чем связано.

В качестве обобщения: абсолютно так же для сеточных функций.

Таким образом завершим главу.