МОТП, Задачи на экзамене

Материал из eSyr's wiki.

Математические основы теории прогнозирования

Материалы по курсу
Билеты (2009) | Примеры задач (2009) | Примеры задач контрольной работы (2013) | Определения из теории вероятностей

За нерешение данных задач оценка снижается на балл. — Д. П. Ветров

Содержание

1 Задача 1. Вывод формул для векторного дифференцирования
- 1.1 Решение
2 Задача 2. Поиск нормального псевдорешения
- 2.1 Решение
3 Задача 3. Метод главных компонент (PCA)
- 3.1 Решение
4 Задача 4. Метод максимального правдоподобия (ММП)
- 4.1 Решение
  - 4.1.1 Вариант 1: неизвестный сдвиг, единичный масштаб
  - 4.1.2 Вариант 2: нулевой сдвиг, неизвестный масштаб
5 Задача 5. Линейная регрессия
- 5.1 Решение
6 Задача 6. Правило множителей Лангранжа
- 6.1 Решение
7 Задача 8. Марковская сеть
- 7.1 Решение
8 Задача 10.
- 8.1 Решение
9 Задача 11.
- 9.1 Решение
10 Задача 13.
- 10.1 Решение
11 Задача 14. Алгоритм Витерби
12 Задача 15. Алгоритм вперед-назад
- 12.1 Решение

[править] Задача 1. Вывод формул для векторного дифференцирования

Вывести (считаем все матрицы вещественными):

$\frac{\partial \bar{c}^T\bar{u}}{\partial \bar{u}}=\bar{c}$
$\frac{\partial\|A\bar{u}-\bar{f}\|^2}{\partial \bar{u}}=2A^TA\bar{u} - 2A^T\bar{f}$
$\frac{\partial^2\|A\bar{u}-\bar{f}\|^2}{\partial \bar{u}^2}=2A^TA$

[править] Решение

[править] Формула 1

$\bar{c}^T\bar{u}=\sum_{i=1}^nc_iu_i \Rightarrow \frac{\partial \bar{c}^T\bar{u}}{\partial u_i}=c_i \Rightarrow \frac{\partial \bar{c}^T{u}}{\partial \bar{u}} = \bar{c}$

[править] Формула 2

Далее через $\bar{a}_i$ всюду обозначен столбец матрицы $A$ с номером $i$ .

$\|A\bar{u}-\bar{f}\|^2 = (A\bar{u}-\bar{f})^T(A\bar{u}-\bar{f})=(A\bar{u})^TA\bar{u}-2\bar{f}^TA\bar{u}+\bar{f}^T\bar{f}$

$\bar{f}^TA\bar{u}=\bar{f}^T(\bar{a}_1u_1+\dots+\bar{a}_nu_n) \Rightarrow \frac{\partial \bar{f}^TA\bar{u}}{\partial u_i} = \bar{f}^T\bar{a}_i = (\bar{f},\bar{a}_i) = \bar{a}_i^T\bar{f} \Rightarrow \frac{\partial \bar{f}^TA\bar{u}}{\partial \bar{u}} = A^T\bar{f}$

$(A\bar{u})^TA\bar{u}=(\bar{a}_1u_1+\dots+\bar{a}_nu_n)^T(\bar{a}_1u_1+\dots+\bar{a}_nu_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nu_iu_j\bar{a}_i^T\bar{a}_j \Rightarrow \frac{\partial (A\bar{u})^TA\bar{u}}{\partial u_i} = 2\sum_{j=1}^nu_j\bar{a}_i^T\bar{a}_j \Rightarrow \frac{\partial (A\bar{u})^TA\bar{u}}{\partial \bar{u}}=2A^TA\bar{u}$

$\frac{\partial\|A\bar{u}-\bar{f}\|^2}{\partial \bar{u}} = \frac{\partial (A\bar{u})^TA\bar{u}}{\partial \bar{u}} - 2 \frac{\partial \bar{f}^TA\bar{u}}{\partial \bar{u}} = 2A^TA\bar{u} - 2A^T\bar{f}$

[править] Формула 3

Далее через $\bar{b}_i$ всюду обозначен столбец матрицы $B$ с номером $i$ .

$\frac{\partial^2\|A\bar{u}-\bar{f}\|^2}{\partial \bar{u}^2}=\frac{\partial 2A^TA\bar{u}}{\partial \bar{u}}=\frac{\partial B\bar{u}}{\partial \bar{u}}$

$B\bar{u}=\bar{b}_1u_1+\dots+\bar{b}_nu_n \Rightarrow \frac{\partial B\bar{u}}{\partial u_i}=b_i \Rightarrow \frac{\partial B\bar{u}}{\partial \bar{u}}=B=2A^TA$

[править] Задача 2. Поиск нормального псевдорешения

Найти нормальное псевдорешение для системы линейных уравнений.

[править] Решение

В чём суть: Мы хотим решить несовместную систему линейных уравнений $Ax \approx b$ . Для этого мы будем минимизировать квадрат нормы невязки, т.е найдём $x$ такой, что при нём квадрат нормы невязки будет наименьшим: ${\|Ax-b\|}^2\to min_{x}$ . Теперь по шагам:

1. Представим норму в матричном виде и раскроем скалярное произведение:

${\|Ax-b\|}^2=\langle Ax-b,Ax-b \rangle = {(Ax-b)}^{T}(Ax-b) =$

$= (A x) T A x - b T A x - (A x) T b + b T b = x T A T A x - 2 x T A T b + b T b$

2. Теперь возьмём производную и приравняем её к нулю:

$\frac{\partial}{\partial x}(x^{T}A^{T}Ax-2x^{T}A^{T}b+b^{T}b) = 2{A}^{T}Ax - 2{A}^{T}b = 0$

3. Из этого получаем $x$ :

$x={({A}^{T}A)}^{-1}{A}^{T}b$

[править] Задача 3. Метод главных компонент (PCA)

Даны р точек в двухмерном пространстве. Найти методом главных компонент первую главную компоненту.

[править] Решение

Рассмотрим следующую задачу: $p = 5$ , $x 1 = (1,1)$ , $x 2 = (1,2)$ , $x 3 = (3,2)$ , $x 4 = (4,1)$ , $x 5 = (6,4)$ .

Находим $\bar{x}=\frac{1}{p}\sum_{i=1}^px_i=(3,2)$ .

Находим $S=\frac{1}{p}\sum_{i=1}^p(x_i-\bar{x})^T(x_i-\bar{x})= \frac{1}{5}\begin{pmatrix}18 && 7 \\ 7 && 6 \end{pmatrix}$

Решаем $|S-\lambda I| = 0 \Rightarrow \lambda=2.4\pm \sqrt{3.4}$ .

Находим собственный вектор, соответствующий $\lambda_1=2.4+\sqrt{3.4}$ , решая $(S-\lambda_1I)\hat{d}=0$ . Получаем $\hat{d}=(0.9085, 0.4179)$ — собственный вектор, соответствующий максимальному собственному значению матрицы ковариации. Он и будет являться первой главной компонентой.

[править] Задача 4. Метод максимального правдоподобия (ММП)

Как метко заметил Оверрайдер, будут задачки на поиск оценки максимального правдоподобия. Не сложные, но чтобы было интереснее, не с нормальным распределением. Что-нибудь типа найти оценку МП на параметр распределения Лапласа.

[править] Решение

Плотность распределения Лапласа: $p(x|b,\mu)=\frac{1}{2b}e^{-\frac{|x-\mu|}{b}}$ , $μ$ - сдвиг, $b$ - масштаб (подробнее в википедии).

[править] Вариант 1: неизвестный сдвиг, единичный масштаб

Пусть есть распределение Лапласа с неизвестным матожиданием и единичным параметром масштаба. Дана выборка, взятая из этого распределения: $(x_1, x_2, \dots, x_n )$ . Оценим параметр μ.

Функция распределения запишется так: $p(x | \mu) = \frac{1}{2} e^{-|x - \mu|}$

Функция правдоподобия: $L(\mu) = p(\mu | x_1, x_2, \dots, x_n ) = \prod_{i = 1}^{n} \frac{1}{2} e^{-|x_i - \mu|}$

$\log L(\mu) = \sum_{i = 1}^{n}(-|x_i - \mu|) + const$

Покажем, что эта функция достигает максимума в точке $\mu = \mbox{med}(x_1, x_2, \dots, x_n )$ -- когда параметр равен медиане выборки.

Упорядочим выборку по возрастанию. Пусть теперь она выглядит так: $(x_1', x_2', \dots, x_n' )$ . Рассмотрим последнюю функцию на интервалах вида $(-\infty, x_1'), (x_1', x_2'), \dots, (x_{n-1}', x_n'), (x_n', +\infty),$ . На первом из них все функции под знаком суммы возрастают, итоговая производная равна n, на втором -- одна убывает, остальные возрастают, производная равна (n-2), и т.д. Переломный момент наступает в середине -- в одной точке перегиба (если n нечётно), или на центральном интервале производная равна 0 (если n чётно). После этого функция только убывает. Там и достигается максимум правдоподобия. Короче, нужно нарисовать график, и всё будет понятно: максимум правдоподобия достигается в точке, равной медиане выборки.

[править] Вариант 2: нулевой сдвиг, неизвестный масштаб

$p(x|b)=\frac{1}{2b}e^{-\frac{|x|}{b}}=\frac{\lambda}{2}e^{-\lambda|x|}=p(x|\lambda)$

$p(X|\lambda)=\prod_{i=1}^n\frac{\lambda}{2}e^{-\lambda|x_i|}=\left(\frac{\lambda}{2}\right)^n\prod_{i=1}^ne^{-\lambda|x_i|}$

$\log p(X|\lambda)=n\log(\frac{\lambda}{2}) - \lambda\sum_{i=1}^n|x_i|=n\log\lambda-\lambda\sum_{i=1}^n|x_i| - n \log 2 \rightarrow \max_{\lambda}$

$\frac{\partial \log p(X|\lambda)}{\partial \lambda}=\frac{n}{\lambda}-\sum_{i=1}^n|x_i|=0 \Rightarrow \frac{1}{\lambda}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|x_i|$

[править] Задача 5. Линейная регрессия

Даны 3-4 точки в двухмерном пространстве - одна координата, это х, другая - t. Задача построить по ним линейную регрессию вида $\hat{t}=kx+b$ , т.е. найти коэффициенты $k$ и $b$ .

[править] Решение

$E(T,X,k,b)=\sum_{i=1}^n(t_i-kx_i-b)^2$

$\frac{\partial E(T,X,k,b)}{\partial k}=2\sum_{i=1}^n(t_i-kx_i-b)(-x_i)=0 \Rightarrow \sum_{i=1}^n(t_i-kx_i-b)x_i=0$

$\frac{\partial E(T,X,k,b)}{\partial b}=2\sum_{i=1}^n(t_i-kx_i-b)(-1)=0 \Rightarrow \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(t_i-kx_i)=b$

$k \left(\sum_{i=1}^nx_i^2-\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2\right)=\sum_{i=1}^nt_ix_i-\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)\left(\sum_{i=1}^nt_i\right)$

Подставляем значения для $x i$ и $t i$ , получаем $k$ , затем $b$ . Решение проверено на нескольких наборах данных в MATLAB.

Еще один вариант - посчитать напрямую $(k, b) = (X T X) - 1 X T Y$ , где $X$ - матрица, первый столбец которой составлен из $x i$ , второй - из единиц, а $Y$ - столбец из $t i$ .

Либо еще другой вариант: $k = \frac{cov(X,T)}{DX}$ , $b = \overline{T} - k\overline{X}$

[править] Задача 6. Правило множителей Лангранжа

Обязательно кому-то дам задачку на условную максимизацию квадратичной функции с линейным ограничением в виде равенства. Писанины там немного, но вот без правила множителей Лагранжа обойтись вряд ли удастся.

[править] Решение

множители Лагранжа на вики

Пусть нам необходимо максимизировать функцию $f (x, y) = - 5 x 2 + 2 x y - 3 y 2$ при условии $x - y + 1 = 0$ .

Запишем функцию Лагранжа $F(x,y,\lambda)=-5x^2+2xy-3y^2+\lambda(x-y+1) \rightarrow \max_{x,y,\lambda}$ .

Приравняем частные производные к нулю:

$\begin{cases} \frac{\partial F}{\partial x}=-10x+2y+\lambda=0 \\ \frac{\partial F}{\partial y}=2x-6y-\lambda=0 \\ \frac{\partial F}{\partial \lambda}=x-y+1=0 \end{cases} \Rightarrow$

$\Rightarrow x=y-1 \Rightarrow 2(y-1)-6y=-4y-2=\lambda \Rightarrow -10(y-1)+2y-4y-2=8-12y=0 \Rightarrow y=\frac{2}{3} \Rightarrow x=-\frac{1}{3}$ .

(По-моему, гораздо проще без функции Лагранжа: $y = x + 1; f (x) = - 6 x 2 - 4 x - 3; x = - b / 2 a = - 4 / 12 = - 1 / 3$ )

[править] Задача 8. Марковская сеть

Дана марковская сеть с бинарными переменными вида решетка:

---рисунок---

Пусть все унарные энергии совпадают для всех вершин $Θ(x i) = Θ(x)$ и равны $Θ(0) = a,Θ(1) = b$ . Аналогично все бинарные энергии совпадают между собой $Θ i j (x i; x j) = Θ(x; y)$ и равны $Θ(0;0) = c;Θ(0;1) = d;Θ(1;0) = e;Θ(1;1) = f .$ Требуется выполнить репараметризацию в этом графе так, чтобы все энергии $Θ i j (0;0) = Θ i j (1;1) = 0$ .

[править] Решение

[править] Задача 10.

[править] Решение

g - гамма, a - альфа, b - бета. Очевидно, выборка из наблюдений дискретной случайно величины со следующим распределением:

1 с вероятностью ga

2 с вероятностью g(1-a)+(1-g)(1-b)

3 с вероятностью b(1-g)

Первый шаг. С учетом начального приближения, вероятности 1, 2 и 3 - 0.25, 0.5 и 0.25 соответственно.

Распределения скрытой компоненты очевидны:

Если текущий элемент выборки 1, то Z=0 с вероятностью 1

Если текущий элемент выборки 3, то Z=1 с вероятностью 1

Если текущий элемент выборки 2, то Z=0 и 1 с вероятностями по 0.5

Учитывая данные в задаче числа, показывающие количество единиц, двоек и троек, получаем, что нужно максимизировать следующую функцию:

$30 * l o g (g * a) + 60 * l o g (b * (1 - g)) + 20 * (0.5 * l o g (g * (1 - a)) + 0.5 * l o g ((1 - g) * (1 - b)))$

Для поиска максимума нужно взять производные по a, b, g приравнять их к нулю. После первой итерации получаем новые значения:

a=3/4

b=6/7

g=4/11

Второй шаг. С учетом нового начального приближения, вероятности 1, 2 и 3 - 3/11, 2/11 и 6/11 соответственно.

Распределения скрытой компоненты рассчитываются аналогично, для X=1 и 3 отличий нет, для X=2 формула новая, но значения вероятностей тоже совпадают с первым шагом:

P(Z=0)=g*(1-a) / (g*(1-a)+(1-g)*(1-b )) = (4/11 * 1/4) / (2/11) = 1/2

Таким образом, функция для оптимизации будет такая же, как на предыдущем шаге. Алгоритм сошелся за два шага.

Ответ:

a=3/4

b=6/7

g=4/11

[править] Задача 11.

[править] Решение

P(a=0) = 0.6 ; P(b=0) = 0.592 ; P(a=0 & b=0) = 0.336

Вероятности получены сложение значений вероятностей всех комбинаций, где выполняется условие. Если бы a и b были независимы, то по определению, третья вероятность была бы произведением первых двух, но это не так, поэтому a и b не независимы.

Однако a и b независимы при с=0:

P(a=0 | c=0) = P(a=0 & c=0)/P(c=0) = 0.5 (определение условной вероятности)
P(b=0 | c=0) = 0.8
P(a=0 & b=0 | c=0) = P(a=0 & b=0 & c=0)/P(c=0) = 0.4 = P(a=0 | c=0) * P(b=0 | c=0)

Все остальные соотношения проверяются аналогично.

[править] Задача 13.

[править] Решение

all.pdf, страницы 168-169.

Оценка МП $% p i$ - значение первой скрытой переменной, оно нам дано, поэтому вероятность $P (t 11 = 1) = 1, P (t 12 = 1) = 0$ .

Оценка МП для матрицы A записана на странице 169. Содержательно эта формула означает следующее. Элемент A[i,j] - вероятность прехода из состояния i в состояние j. Оценка МП - отношение количества известных нам переходов из i в j к количеству раз, которые наблюдали систему в состоянии i. В данной задаче мы наблюдали состояние 1 100 раз, состояние 2 - 99 раз (последний раз не считается). Переход 1->2 наблюдали 25 раз, переход 1->1 - 75 раз, переход 2->1 - 24 раза, переход 2->2 - 75 раз.

Итого матрица A:

$75/100 ~ 25/100$

$24/99 ~75/99$

[править] Задача 14. Алгоритм Витерби

Программа на python, решающая задачу (алгоритм взят из [1])

# Helps visualize the steps of Viterbi.
def print_dptable(V):
    print "    ",
    for i in range(len(V)): print "%7s" % ("%d" % i),
    print
 
    for y in V[0].keys():
        print "%.5s: " % y,
        for t in range(len(V)):
            print "%.7s" % ("%f" % V[t][y]),
        print
 
def viterbi(obs, states, start_p, trans_p, emit_p):
    V = [{}]
    path = {}
 
    # Initialize base cases (t == 0)
    for y in states:
        V[0][y] = start_p[y] * emit_p[y][obs[0]]
        path[y] = [y]
 
    # Run Viterbi for t > 0
    for t in range(1,len(obs)):
        V.append({})
        newpath = {}
 
        for y in states:
            (prob, state) = max([(V[t-1][y0] * trans_p[y0][y] * emit_p[y][obs[t]], y0) for y0 in states])
            V[t][y] = prob
            newpath[y] = path[state] + [y]
 
        # Don't need to remember the old paths
        path = newpath
 
    print_dptable(V)
    (prob, state) = max([(V[len(obs) - 1][y], y) for y in states])
    return (prob, path[state])

states = ('first', 'second')
 
observations = ('0', '0', '1', '0', '0', '1', '1')
 
start_probability = {'first': 0.5, 'second': 0.5}
 
transition_probability = {
   'first' : {'first': 0.9, 'second': 0.1},
   'second' : {'first': 0.2, 'second': 0.8},
   }
 
emission_probability = {
   'first' : {'0': 0.8, '1': 0.2},
   'second' : {'0': 0.2, '1': 0.8},
   }

def example():
    return viterbi(observations,
                           states,
                           start_probability,
                           transition_probability,
                           emission_probability)
print example()

Вывод программы:

           0       1       2       3       4       5       6
secon:  0.10000 0.01600 0.02304 0.00368 0.00074 0.00215 0.00137
first:  0.40000 0.28800 0.05184 0.03732 0.02687 0.00483 0.00087
(0.0013759414272000007, ['first', 'first', 'first', 'first', 'first', 'second', 'second'])

То есть наиболее вероятная последовательность состояний: 1-1-1-1-1-2-2

[править] Задача 15. Алгоритм вперед-назад

[править] Решение

Описание алгоритма с простыми обозначениями можно прочитать здесь: [2]

Значения "альфы" (первой и второй) на каждом шаге:

1: 0.4 и 0.1

2: 0.304 и 0.024

3: 0.05568 и 0.03968

Значения "беты" на каждом шаге, от третьего к первому:

3: 1 и 1

2: 0.61 и 0.68

1: 0.4664 и 0.1576

Нормировочные константы:

3: 0.09536

2: 0.20176

1: 0.20232

И наконец, маргинальные распределения (гамма нулевое - вероятность того, что система была в состоянии 0):

Для t3: 0 с вероятностью ~0.58

Для t2: 0 с вероятностью ~0.919

Для t1: 0 с вероятностью ~0.922

Математические основы теории прогнозирования

Получено с http://esyr.org/wiki/%D0%9C%D0%9E%D0%A2%D0%9F%2C_%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BD%D0%B0_%D1%8D%D0%BA%D0%B7%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B5

МОТП, Задачи на экзамене

Материал из eSyr's wiki.

Содержание

[править] Задача 1. Вывод формул для векторного дифференцирования

[править] Решение

[править] Формула 1

[править] Формула 2

[править] Формула 3

[править] Задача 2. Поиск нормального псевдорешения

[править] Решение

[править] Задача 3. Метод главных компонент (PCA)

[править] Решение

[править] Задача 4. Метод максимального правдоподобия (ММП)

[править] Решение

[править] Вариант 1: неизвестный сдвиг, единичный масштаб

[править] Вариант 2: нулевой сдвиг, неизвестный масштаб

[править] Задача 5. Линейная регрессия

[править] Решение

[править] Задача 6. Правило множителей Лангранжа

[править] Решение

[править] Задача 8. Марковская сеть

[править] Решение

[править] Задача 10.

[править] Решение

[править] Задача 11.

[править] Решение

[править] Задача 13.

[править] Решение

[править] Задача 14. Алгоритм Витерби

[править] Задача 15. Алгоритм вперед-назад

[править] Решение

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

инструменты

Разделы

Спецкурсы

9 семестр

7 семестр

5 семестр

3 семестр

Поиск

Инструменты