ВПнМ, примеры задач/Задача 5

Материал из eSyr's wiki.

Содержание 1 Как решать эти задачи? 2 Задачи (не инв-ные) 2.1 Задача 1 2.2 Задача 2 2.3 Задача 3 2.4 Задача 4 2.5 Задача 5 3 Задачи (инв-ные) 3.1 Задача 1 3.2 Задача 2 3.3 Задача 3 3.4 Задача 4 3.5 Задача 5 3.6 Задача 6 3.7 Задача 7 3.8 Задача 8 3.9 Задача 9 3.10 Задача 10

Как решать эти задачи?

Для решения этих задач обязательно знать определения, а так же следующие шаблоны.

Задачи, по сути делятся на инвариантные к прореживанию и не обязательно инвариантные.

Инвариантная к прореживанию формула - это такая формула, результат вычисления которой не меняется от того, применяется прореживание или нет. Прореживание - это сужение нескольких состояний до одного (а м.б. и расширение одного до нескольких - доподлинно неизвестно).

Будьте готовы к тому, что вам скажут, что в формуле применять слабый until нельзя, поэтому здесь следующие форм-лы экв-ти:

p W q = ([]p) | (p U q)
p W q = <>(!p) -> (p U q)
p W q = p U (q | []p)

Задачи (не инв-ные)

Втаких задачах можно спокойно применять оператор Next (X).

Задача 1

После события 'процесс p находится на метке iter_begin' и до наступления события 'процесс p находится на метке iter_end' верно: сразу за событием 'значение глобальной переменной y равно 5' наступает событие 'значение глобальной переменной x равно 3' (полученное свойство не обязательно может быть инвариантным к прореживанию)

#define p_begin (p@iter_begin)
#define p_end (p@iter_end)
#define global5 (g==5)
#define global3 (g==3)

[](<>p_begin && p_begin -> X <> (global5 -> X global3 ))

TeX'ом:

(по-моему, в формуле вообще нету p_end. такого быть не должно.)

Задача 2

До наступления события 'значение глобальной переменной state равно leave' верно: событие 'процесс p находится на метке sent' наступает не более одного раза

#define state_leave (state==leave)
#define p_sent (p@sent)

[](p_sent -> X (!p_sent U state_leave))

Задача 3

Между событиями 'значение глобальной переменной state равно enter_critical' и 'значение глобальной переменной state равно leave_critical' верно: если наступило событие 'процесс p находится на метке lock', то до него было событие 'значение глобальной переменной state равно locked'

#define state_enter (state==enter_critical)
#define state_leave (state==leave_critical)
#define state_locked (state==locked)
#define p_lock (p@lock)

[]( state_enter -> X((!p_lock U state_leave) || (<>p_lock && !p_lock U state_locked) )

Задача 4

После наступления события 'значение глобальной переменной state равно enter_critical' верно: событие 'процесс q находится на метке received' наступает ровно один раз

#define S "state == enter_critical"
#define was_received Q@received

[](S -> (<>was_received && [](was_received -> X([]!was_received))))

Задача 5

До наступления события 'значение глобальной переменной state равно leave' верно: событие 'процесс p находится на метке sent' наступает не менее одного раза

#define R "state == leave"
#define was_sent P@sent

([]!R) || (!R U (was_sent && !R))

Задачи (инв-ные)

Задача 1

После события 'процесс p находится на метке iter_begin' и до наступления события 'процесс p находится на метке iter_end' верно: после события 'в канал c отправляется сообщение req' рано или поздно наступит событие 'из канала d принимается сообщение ack'

#define begin P@iter_begin
#define end P@iter_end
#define R ...@C_send_req
#define S ...@D_send_ack

[]((begin) -> [](R -> (!end U (S && !end))))

Задача 2

После события p и до наступления события q событие r наступает не более одного раза. (полученное свойство должно быть инвариантным к прореживанию)

1й вариант:

[] (p && !q -> !r W (q || (r W (q || !r W q))))

2й вариант:

ps. пояснение формулы:

1. до первого || — случай, когда q не факт, что произойдёт (после того, как произойдёт r, оно длится до тех пор, пока не прекратится)
2. после первого || — случай, когда q обязательно произойдет
   • до второго || — r встречается 0 раз
   • после второго || — r встречается 1 раз, записано с помощью трёх вложенных циклов (описание промежутков)

Задача 3

В одной итерации вычисления между метками Start и End операция R всегда предшествует (не обязательно непосредственно) выполнению операции S (полученное свойство должно быть инвариантным к прореживанию).

Задача 4

В ходе итерации, начинающейся меткой START и заканчивающейся меткой END, выполнение оператора x==1 всегда влечет за собой приём сообщения, помеченного меткой S.

[] (START & !END & <>END -> ( (!P U END)||((P -> (!END U S))U END) )

Задача 5

Между событиями 'процесс p находится на метке iter_begin' и 'процесс p находится на метке iter_end' верно: если наступило событие 'в канал c отправляется сообщение req', то до него было событие 'из канала d принимается сообщение ack'

#define p_b p@iter_begin
#define p_e p@iter_end
#define c_r c!req
#define d_a d?ack

[](  (p_b && !p_e && <>p_e) -> ((!c_r U p_e) || (!c_r U d_a))  )

(Источник: практикум, задание 4, вариант 117, сдано не Савенкову)

Задача 6

Между событиями 'значение глобальной переменной state равно enter' и 'значение глобальной переменной state равно leave' верно: после события 'в канал c отправляется сообщение req' рано или поздно наступит событие 'из канала d принимается сообщение ack'

#define s_e state == enter
#define s_l state == leave
#define c_r c!req
#define d_a d?ack

[](  (s_e && !s_l && <>s_l) -> ((!s_l U c_r) -> (!s_l U d_a))  )

(Источник: практикум, задание 4, вариант 117, сдано не Савенкову)

Задача 7

До наступления события 'процесс p находится на метке iter_end' верно: после события 'значение глобальной переменной x равно 3' рано или поздно наступит событие 'значение глобальной переменной y равно 5'

#define p_e p@iter_end
#define x_3 x == 3
#define y_5 y == 5

(!p_e U x_3) -> (!p_e U y_5)

(Источник: практикум, задание 4, вариант 117, сдано не Савенкову)

Задача 8

После наступления события 'значение глобальной переменной state равно enter_critical' верно: всегда выполняется 'процесс p находится на метке unlock'

Решение.

формально:

1. define p 'значение глобальной переменной state равно enter_critical'
2. define q 'процесс p находится на метке unlock'

спин:

1. define p (state == enter_critical)
2. define q p@unlock

[](p -> []q)

(Источник: практикум, задание 4, вариант 24, сдано Савенкову)

Задача 9

До наступления события 'значение глобальной переменной state равно leave_critical' верно: всегда выполняется 'значение глобальной переменной x равно 3'

Решение. формально:

1. define p 'значение глобальной переменной state равно leave_critical'
2. define q 'значение глобальной переменной x равно 3'

спин:

1. define p (state == leave_critical)
2. define q (x == 3)

( <> p -> ( q U p ) ) || [] q

(Источник: практикум, задание 4, вариант 24, сдано Савенкову)

Задача 10

После события 'значение глобальной переменной state равно enter_critical' и до наступления события 'значение глобальной переменной state равно leave_critical' верно: после события 'процесс p находится на метке sent' рано или поздно наступит событие 'процесс q находится на метке received'

Решение. формально:

1. define a 'значение глобальной переменной state равно enter_critical'
2. define b 'значение глобальной переменной state равно leave_critical'
3. define p 'процесс p находится на метке sent'
4. define q 'процесс q находится на метке received'

спин:

1. define a (state == enter_critical)
2. define b (state == leave_critical)
3. define p p@sent
4. define q q@received

[]( ( a && !b ) -> ( ( ( p -> (!b U q) ) U b ) || [](p -> (!b U q) ) )

(Источник: практикум, задание 4, вариант 24, сдано Савенкову)