Материал из eSyr's wiki.

Содержание 1 σ-алгебра 2 Случайный эксперимент 3 Случайная величина 3.1 Определение 3.2 Определение 4 Вероятность 5 Вероятностное пространство 5.1 Определение 5.1.1 Замечания 6 Распределение вероятностей 6.1 Определение 7 Случайная выборка 8 Источники

[править] σ-алгебра

Совокупность A подмножеств множества Ω называется σ-алгеброй:

• 
• , то
• если , то

[править] Случайный эксперимент

Случайный эксперимент -- это математическая модель соответствующего реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать.

[править] Случайная величина

Определение случайной величины различно для 2-х случаев: Ω -- счетное или не счетное

Случайная величина -- подмножество исходов случайного эксперимента. При многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

Случайная величина — это измеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве.

Случайная величина -- это функция, заданная на пространстве элементарных событий Ω = {ω₁,...,ω_n}.

[править] Определение

Пусть — вероятностное пространство. Функция , измеримая относительно и борелевской σ-алгебры на , называется случайной величиной.

Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением.

[править] Определение

Случайной величиной называется функция X = X(ω), заданная на пространстве элементарных событий Ω, для которой событие {X < x} = {ω:X(ω) < x} принадлежит σ-алгебре A для любого вещественного X.

[править] Вероятность

Вероятность (вероятностная мера) — мера достоверности случайного события. Оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента]. Согласно определению П. Лапласа мерой вероятности называется дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, а знаменатель - число всех возможных случаев.

Вероятность - мера, заданная на измеримом пространстве (Ω, X):

• Р(Ω)=1
• Р(А)>=0 для любого
• обладает свойством сигма-аддитивности (счетной аддитивности) .

[править] Вероятностное пространство

[править] Определение

Вероятностное пространство — это тройка , где

• — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
• — сигма-алгебра подмножеств , называемых (случайными) событиями;
• — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .

[править] Замечания

• Элементарные события (элементы ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
• Каждое случайное событие (элемент ) — это подмножество . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие , если (элементарный) исход эксперимента является элементом A.
  Требование, что является сигма-алгеброй подмножеств , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.

[править] Распределение вероятностей

Закон распределения случайной величины X -- соответствие. которое каждому значению x_l дискретной случайной величины X сопоставляет его вероятность p_l.

Распределение вероятностей — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.

[править] Определение

Определение Пусть задано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина . В частности, по определению, X является измеримым отображением измеримого пространства в измеримое пространство , где обозначает борелевскую сигма-алгебру на . Тогда случайная величина X индуцирует вероятностную меру на следующим образом:

Мера называется распределением случайной величины X.

[править] Случайная выборка

Случайной выборкой объема n, отвечающей случайной величине X, c функцией распределения F(x), называется набор n независимых случайных величин X₁,X₂,...,X_n, каждая из которых имеет распределение F(x)

[править] Источники

http://ru.wikipedia.org